基于“三个理解”打造好课

张菊

［摘  要］ 一节好课能够诱发学生数学思考，激发学生的潜能，培养学生的数学学习能力. 在打造好课的过程中，教师必须认真地研究教材、研究学生、研究教学，在“三个理解”的基础上创设可以揭示问题本质、引导学生自主探究、优化学生认知结构的教学活动，以此提高教学品质，落实数学素养.

［关键词］ 好课；三个理解；教学品质

教师的教学水平和数学水平直接影响着数学教学的效果，影响着学生学习能力的提升，影响着学生学习兴趣的激发. 对于一个高水平的数学教师来讲，他们往往可以用最简单、最朴实、最易于理解的语言表达出数学的深意，以此让学生掌握问题本质，激发学生的潜能［1］. 那么若想达到这一教学效果，教师应不断提升自己的数学水平和教学水平，从而将数学知识“深入浅出”地传授给学生，以此激发学生的积极情感，落实学生数学素养. 作为数学教师，只有将知识点理解透彻，才能恰当地应用多种教学手段和教学方法将知识讲懂、讲透，以此帮助学生获得更深层次的数学理解，建构完善的认知体系. 同时，教师要理解学生，知晓他们的认知水平、学习习惯、思维习惯、情感规律等，从而通过有效引导激发学生的动机和潜能，提高学生的数学能力. 当然，教师还要理解教学，让学生获取知识和技能的同时，实现综合能力和综合素养的全面提升.

笔者以探究“圆与圆的位置关系”为例，在“三个理解”的基础上谈几点对“深入浅出”的数学教学活动的理解，仅供参考.

理解数学是“深入”的前提

教师对数学的理解水平除了概念、定理等基础知识的理解和把握水平外，还包括思想方法、表征方式等内容的理解和把握水平. 教师对数学的理解水平直接影响着学生对数学的理解水平，直接影响着“教”与“学”的品质. 一个好教师应具有整体意识，要跳出单一知识点的束缚，善于从整体的角度出发帮助学生建立和完善认知结构. 在本课教学中，为了更好地教学，教师应理解以下两方面的问题.

1. 关注联系性，建构完善的认知体系

在探究圆与圆各种位置关系的过程中，其探究的思路、方法、结论具有明显的关联性，因此教师要把握好这种联系，从整体出发带领学生科学建构认知体系. 在教学中，教师可以引导学生从最易于理解的内切和外切出发，通过直观观察引导学生用两圆的圆心距d和两圆的半径r₁，r₂来表示两圆的位置关系. 若两圆外切，则有d=r₁+r₂；若两圆内切，则有d=|r₁－r₂|.这样理解两圆内切和外切，可为学生理解两圆的其他位置关系提供线索：由两圆外切易于联想两圆外离，即当d>r₁+r₂时，两圆外离；由两圆内切易于联想两圆内含，即当d1－r₂时，两圆内含. 这样由两圆外切联想到两圆外离，由两圆内切联想到两圆内含，将知识有效串联在一起，有助于学生形成完善的认知体系：至此，就有两圆相交的位置关系，通过观察和联想易得两圆相交时圆心距d和半径r₁，r₂的数量关系为|r₁－r₂|1+r₂.

在教学中，这样将两圆的位置关系置于一个动态的系统中来认识，让学生在动态的变化中领悟其中蕴含的数量关系，强化了数学知识的联系性，既有助于知识的深化，又有助于建构完善的认知体系，有利于提升学习品质［2］.

2. 多渠道表征，理解问题的本质

众所周知，个体的学习能力和思维方式是存在差异的，而这些差异会导致知识输出时产生不同的表征方式，继而产生不同的解题方法. 在数学教学中，教师要引导学生通过不同的表征，拓宽视野，提高解题能力.

如例题：求过点A（0，6）且与圆C：x²+y²+10x+10y=0切于原点的圆方程.

该例求解的关键是对两圆外切关系的处理，教师可以引导学生通过不同的表征，由表及里地进行探究，逐渐认清问题的本质.

表征1：研究已知不难发现两圆外切，根据两圆外切的性质易得两圆的圆心及切点共线. 由“两圆切于原点”可知，两圆圓心和原点共线，共线方程为y=x.分析至此，可设所求圆的圆心为（a，a），半径为r，则圆的标准方程为（x－a）²+（y－a）²=r²，根据待定系数法求解.

表征2：从几何的角度出发，可知所求圆的圆心在直线y=x上，且在线段OA的中垂线上，这样可以先求圆心坐标再求半径，该表征优于表征1.

表征3：进一步研究已知条件，设所求圆的圆心E为（a，a），又原点在该圆上，所以利用AE=OE求出a即可. 这样通过对条件的进一步思考，使解题过程更加优化.

在教学中，教师要尽量避免“就题论题”，应引导学生从不同角度思考、表征，找到不同的解决问题的方法，促进学生对数学知识本质的理解. 当然，若想达到这一效果离不开教师对教材资料的深度解读，只有将知识理解透彻，才能巧妙诱发学生深度思考，以此拓展学生的思维.

理解学生是“深入浅出”的基础

在数学教学中，只有理解学生才能设计出适合学生发展的教学策略，做到有的放矢. 教学中理解学生，既要理解学生的知识基础，还要理解学生的学习习惯、学习方式、思维特点等.

1. 理解学生的差异

众所周知，因受学习环境、学习兴趣、认知水平等内外因素的影响，学生的学习能力和思维习惯存在一定的差异性. 在教学前，教师要对学生的差异有所了解，这样才能根据不同的认知体系设计不同的教学活动，从而为不同的学生提供有效的帮助.

例如，两圆相交时数量关系的建构和理解是本节课教学的一个重难点，对于大部分学生来讲，通过观察容易找到d1+r₂这一数量关系，然d>|r₁－r₂|这一数量关系单凭观察却很难发现. 对于一些学习能力较强的学生，他们会构建如图1所示的图形，通过三角形的三边关系推导出|r₁－r₂|1+r₂，但该方法与部分学生已有的认知结构存在一定的“距离”，这需要教师在认识方法上进行启发和引导，让全部学生理解两圆相交时圆心距与两圆半径的数量关系. 这样将抽象的问题直观化，使问題落在学生的最近发展区内，能让学生解决问题的同时，突破教学重难点，促进知识深化.

2. 理解学生的已有经验

数学知识间存在着千丝万缕的联系，教学中只有理解学生，掌握学生的已有经验和知识水平，才能通过合理的开发和利用使其顺利迁移到当前知识. 同时，只有理解学生的已有经验才能知晓在探寻新知时是否会出现障碍及突破路径，以便教师做好充分的准备，灵活处理课堂中出现的各种“意外”，确保教学计划的顺利实施.

比如，大多数学生习惯利用表征1的解答思路求解例题，这与学生的已有经验息息相关. 在初中阶段，学生求一次函数、正比例函数等表达式时大多数应用的是待定系数法；到了高中阶段，学生求直线、圆的方程时大多数也会应用待定系数法，可见利用待定系数法求解成了一种定式，影响着学生的思考习惯. 另外，在教学中发现，大多数学生对“圆心在OA的中垂线上”这一条件的认识不够，因此没有在第一时间提取这一有价值的信息，可见学生的数形结合意识不强，解决解析几何问题时还是习惯从“数”的角度去分析，对于“形”可优化运算的理解不到位. 因此，在教学中，教师必须进行引导和示范，通过方法的优化帮助学生形成新的数学经验，有效发展学生的数学思维.

3. 理解学生的发展需求

在本课教学中，若仅仅照本宣科地将两圆的位置关系讲授给学生，恐怕难以激发学生的学习热情，不利于学生发展. 因此，教学中教师应从学生的已有知识和经验出发，带领学生经历概念、规则等内容的形成过程，引导学生经历问题探究和解决的过程，并在这些过程中参与抽象、反思、拓展等活动，这样通过“做中学”和“做中思”不仅可以帮助学生深刻理解和应用概念、规则等内容，还可以引导学生更好地感悟蕴含其中的思想方法，有效提升学生的学习品质.

理解学生是“因材施教”的前提，教学中教师只有理解学生才能通过有针对性的指导和有效的帮扶去更好地发展学生，提高学生的数学学习能力；只有清楚地掌握学生的已有经验、行为习惯和思维特点，才能使教学设计更具普适性，以此推动全员全面发展.

理解教学是“学入浅出”的关键

好的课堂离不开好的教学，其是实现教学目标的关键. 想打造好的课堂，教师要理解教学，既要明晰数学教学的基本规律，还要关注教学内容和学生的实际需求，继而以学生为出发点设计出能够推动教学目标实现和促进学生发展的教学方案，提升教学的有效性.

1. 创设问题情境，引导数学探究

在教学中，大多数教师会精心设计问题情境，让学生在问题的驱动下积极思考、主动探究，以此激发学生的学习动机，提高教学的有效性. 不过教师创设问题时应关注教材、关注学生，要有一定的针对性和启发性，既能引出主题，又能引发思考，同时还能激发学生的学习欲望，让学生在问题探究中能够有所思、有所获.

在本课教学中，教师设计了这样一个问题：如图2所示，半径为r₂的小圆C₂在半径为r₁的大圆C₁外面的圆周上滚动，在运动的过程中有没有什么不动的东西呢？

以学生现有的水平，能够给出“C₁C₂=r₁+r₂”这一结论，继而引出本节课探究的主题——用圆心距d和两圆半径r₁，r₂表示两圆的位置关系. 上述问题的创设具有目的性和合理性，既让学生获得了相应的结论，又激发了学生的数学学习欲望. 另外，该问题还有一定的探究性和拓展性：问题设计的是“在外面的圆周上滚动”，因此学生易于联想到“若在里面的圆周上滚动又会得到什么结论”，这能够自然引出内切.

这样由相切到相离再到相交，引导学生通过逐层分析，观察和探究，使学生发现蕴含其中的关系，得到相应结论；揭示学生获取知识的过程，有效发展学生的数学探究能力，实现知识的理解与深化.

2. 关注数学探究，感悟数学思想

在教学中，为了能够让学生深入理解知识，教师应该带领学生经历数学探究的过程，并在过程中感悟基本思想方法，以此帮助学生认清问题的本质，掌握数学研究方法，落实数学素养.

在本课教学中，探究两圆的位置关系及对应的数量关系是重难点，在突破这一重难点的过程中蕴含着“对应”思想. 两圆“外离”—“外切”—“相交”对应的数量关系为“d>r₁+r₂”—“d=r₁+r₂”—“d1+r₂”，两圆“内含”—“内切”—“相交”对应的数量关系为“d<|r₁－r₂|”—“d=|r₁－r₂|”—“d>|r₁－r₂|”，由此可得两圆相交应满足|r₁－r₂|1+r₂. 这样通过“对应”思想能让学生发现两圆相交对应的数量关系，帮助学生突破本课的重难点.

学生的思想方法不是孤立存在的，其蕴含在知识形成和发展的过程中，蕴含在问题探索和解决的过程中. 在日常教学中，教师要引导学生进行数学思想方法的抽象，从而让学生在基本思想方法的指导下更好地认识知识、理解知识、应用知识.

3. 把握教学目标，提升教学品质

为了更好地教学，教师必须认真研读教材，准确理解教材，制订科学的教学目标. 在教学中，教师只有弄清楚教什么、教到什么程度，学生学什么、学到什么水平，才能制订可以体现教学内容实质的、有价值的目标.

在本课教学中，要求学生掌握“利用圆心距d和两圆半径r₁，r₂表示两圆的位置关系”. 目标是“掌握”，这是一个较高层次的要求，学生既要掌握相关的知识点，还要灵活应用该知识点解决问题. 因此，在本课教学中，教师既要引导学生探究、总结、归纳判定两圆位置关系的方法，还要带领学生经历具体应用的过程（如上述例子）.

在教学中，只有准确地把握教学目标，才能设计有意义的教学活动，以此提高教学质量，提升教学品质.

总之，“三个理解”是教学基础，其有助于教师优化教学设计，把握数学本质. 理解学生是教学的根本出发点，只有符合学生认知、适合学生发现的教学活动才能激发学生的潜能，真正做到因材施教，让学生获得不同程度的发展；理解教学有助于教师整合教学资源，在教学目标的指引下设计出适合学生发展的教学活动，从而有效落实数学教学的“三维目标”，提高数学教学品质.

参考文献：

［1］ 贺玉亮.初中数学深度教学重在触及本质、引领思维［J］. 福建教育学院学报，2020，21（12）：35-37.

［2］ 方长林. 基于“三个理解”促进深度学习［J］. 中学数学研究，2021（01）：1-4.