从函数概念教学中探寻概念教学的有效途径

钟婷茹

［摘  要］ 概念是数学知识的核心，是学好数学的基础. 在概念教学中，教师应以学生的已有认知为出发点，通过创设巧妙的问题带领学生体验概念形成和发展的过程，让学生通过观察、思考、探究、交流、应用等活动全面地、系统地理解概念，有效提高学生的学习水平和数学核心素养.

［关键词］ 概念；过程；数学核心素养

函数是高中数学教学的重点内容之一，理解好函数概念对学生今后学习函数的其他内容至关重要，因此教师应重视函数概念教学. 不过，在函数概念教学中，部分教师不重视概念产生、形成和发展的过程，习惯直接将概念抛给学生，让学生生硬理解和记忆，然后大量机械练习，使得学生对概念的理解不够深入，不了解函数概念的本质，学生常常是知其然而不知其所以然.

众所周知，数学概念具有高度概括性，若直接将概念抛给学生让学生记忆，则学生对概念的认识仅停留于浅析的意识上，很容易遗忘和混淆，影响后期的应用效果. 因此，在实际教学中，教师要有意识地带领学生亲历概念形成和发展的过程，让学生亲身感悟数学概念抽象的过程，并在初步应用中逐渐理解概念的本质，让学生充分地理解概念的内涵及外延，提高数学应用水平，提升数学素养. 笔者以函数概念的一些教学片段为例，谈谈对概念教学的一些认识，仅供参考.

引入概念——重视搭建思维的阶梯

数学知识具有较强的逻辑性，已有知识、已有经验往往是新知学习的出发点和生长点. 在教学中，教师要认真地研究教材、研究学生，借助已有知识、已有经验为新知探寻搭建梯子，引导学生通过观察、比较、思考等活动更好地接受知识、理解知识、应用知识. 学生对抽象概念的认识亦是如此，若教学中没有铺垫，教师直接将概念抛给学生，则很难让他们理解和接受，这样更谈不上揭示概念的本质了. 因此，在概念教学中，教师应从学生的最近发展区出发，通过“小坡度”问题进行启发和引导，让学生逐渐领悟概念的内涵.

片段1：引入概念

师：函数是初中数学的一个重点，还记得当时我们学习了哪些基本函数吗？

生1：一次函数、二次函数.

生2：反比例函数.

师：你们能分别给出一个实例吗？

生3：y=x，y=x²，y=1/x.

師：非常好，大家还有其他补充吗？

接下来学生又列举了一些实例进行说明，课堂气氛活跃.

师：观察以上函数，思考这样一个问题：自变量x任取一个值，因变量y会有几个值与之对应呢？

生齐声答：1个.

师：很好，此时若将自变量x取的值看成集合A，与之对应的因变量y的值看成集合B，你能用集合语言来描述函数概念吗？

教师让学生尝试用集合语言描述函数概念后板书函数概念，这样以学生已有的学习函数和集合的经验为基础，易于学生理解和接受. 试想，若教学中教师不带领学生经历以上探究过程，而是直接将概念抛给学生，学生势必会有这样的疑惑：为什么可以这样描述呢？若教师说这是规定，只要记住就行了，显然不具备说服力，让人有“牵强附会”的感觉，无法激发学生学习的热情.

评析 在概念引入阶段，教师先带领学生回顾旧知，即通过回顾、思考、交流为概念的抽象做铺垫. 虽然通过以上概念的引入难以揭示概念的本质，但是以学生的感性经验为出发点更易于引发学生情感共鸣，有利于激发学生学习数学的热情.

理解概念——重视揭示概念的本质

理解概念是应用概念的前提. 理解概念的过程就是逐渐揭示概念本质的过程，而学生对概念本质的认识往往需要一个慢过程. 因此，在概念的理解阶段，教师应放慢节奏，引导学生阅读课本相关内容，让学生多体会、多交流、多质疑，以此逐渐丰富概念的内涵，使学生真正理解概念.

片段2：理解概念

为了让学生能更好地理解函数概念，教师预留了充足的时间让学生思考、交流，使学生根据函数概念判断一个给定的对应关系是否为函数. 问题解决后，教师继续鼓励学生列举一些函数的实例，以此让学生进一步理解函数概念.

评析 函数概念教学不是简单地让学生熟背概念，而是引导学生从具体实例中抽象出概念的本质属性，让学生经历概念形成的过程，通过亲身经历概念的抽象概括过程体会函数反映的变化规律，促进理解深化. 另外，经历函数概念的抽象过程后，教师预留时间让学生自己举例，不仅调动了学生参与课堂的积极性，而且通过真假判别揭示了函数概念的本质，让学生全面深刻地理解了函数概念的内涵.

运用概念——感悟学以致用的本质

运用是检测学生知识掌握情况，提高学生数学能力的重要手段，是数学教学中的重要一环. 为了让学生理解抽象的概念，练习是必不可少的. 不过教师设计练习时要掌握好“度”——既要控制好难度，又要把握好梯度；既要让学生够得着，又要让学生吃得饱. 面对一些抽象的、难以理解的概念时，教师不妨将其具体化，这样既能锻炼学生的数学抽象素养，又能让学生感悟“学以致用”的教学真谛.

片段3：应用概念

在应用阶段，教师给出了如下两个问题：

问题1：若函数f（x）=x²+1，则函数f（x－1）的解析式是______.

问题2：若函数f（x－1）=x²+1，则函数f（x）的解析式是______.

解题时发现，大多数学生禁锢在惯性思维上，通过代入解决问题1，虽然最终得到了答案，但解决问题2时就无从下手了. 那么是什么原因使得学生在知识和方法的迁移过程中遇到了障碍呢？究其根本就是学生并未深刻把握问题的本质，不能把函数的文字概念转化为数学符号语言. 求解问题1和问题2时，教师不妨带领学生从集合的角度进行分析，让学生认清问题1的本质是已知集合A中的元素x与集合B中的元素x²+1相对应，求解集合A中的元素x－1与集合B中的什么元素相对应. 同理，问题2的本质是已知集合A中的元素x－1与集合B中的元素x²+1相对应，求解集合A中的元素x与集合B中的什么元素相对应. 这样从问题的本质出发，可以获得解决一类题的方法，从而真正达到“会一题，通一类”的效果.

其实，解题时经常会遇到一些“似懂非懂”的情况，究其原因就是学生未理解问题的本质，不具备举一反三的能力，常常模棱两可，进而影响了解题效果.

又如，在解决函数定义域的问题时，教师给出了如下两题：

问题3：已知函数y=f（x）的定义域为［1，3］，求函数y=f（2x+1）的定义域.

问题4：已知函数y=f（2x+1）的定义域为［1，3］，求函数y=f（x）的定义域.

评析 一些抽象的问题往往是学生难以理解的，教师不妨以直观背景为依托，将其转化为学生熟悉的问题，从而化抽象为具体，化陌生为熟悉，让学生更好地理解和接受. 其实有些问题看似比较抽象，但是其有着丰富的直观背景，若教学中教师能够带领学生充分挖掘出来，定能收到事半功倍的效果. 另外，教学中教师应重视引导学生进行对比分析，以帮助学生理解相关知识，提高学生的数学应用水平.

在数学教学中，教师既要关注数学结论的运用，又要关注数学结论背景的探究；既要让学生知其然，又要让学生知其所以然，真正理解数学的本质，以此提升学生的数学素养.

总之，在概念教学中，教师要充分地理解学生、理解教材，以学生的感性经验为起点精心设计教学活动，以此最大限度地调动学生参与课堂的积极性，通过由浅入深、由具体到抽象、循序渐进的启发和引导让学生真正地理解概念的本质，有效提高教师的教学水平和学生的学习品质，落实学生的数学核心素养.