从问题解决谈思维进阶的教学尝试与思考

史厚勇

【摘 要】数学是思维的体操，发展学生的数学思维是数学教学的重中之重。在教学中，教师要聚焦学生的问题解决过程，引领学生的思维由表及里、由点成体、由浅入深、由窄到宽、由单到合，促进学生思维的进阶、发展。

【关键词】问题解决；数学思维；思维进阶

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用［1］1，为人们提供了一种理解和解释现实世界的思考方式［1］6。这种思考方式是指学生的数学眼光与数学学科相结合的“独特”思考角度，即学生以个性化的眼光，经历数学化思维的审视过程，认识、理解和表达现实世界。因此，在数学教学中，教师要聚焦学生思维，促使学生将“隐性”的数学思维进行多元化的表达，从而实现思维的“可视化”，促进学生数学思维的发展，助力学生数学思维的进阶、深化。笔者尝试聚焦学生的问题解决和数学学习过程，对学生的思维进阶进行了一些思考和探索。

一、关注过程，引思维由表及里

学生的数学学习本质是思维不断地自我构建和自我完善的过程。学生对数学知识的理解、数学知识的掌握以及数学问题的解决都体现在自身的思维之中，隐藏于自身的思维深处，很难“外化”于“可见”层面。同时，教师评价学生对知识的理解程度往往以结果来衡量，评价显得片面，可能会掩盖某些存在的误区。笔者认为，评价学生对知识的理解程度，要根植于学生的思维过程，将学生隐藏的思维“外显”，由表及里，层层推进，这样才能真正地引导学生追溯知识的本质，使学生学会“数学的思维”。

例如，苏教版数学五年级上册“小数乘法和除法”中有一道练习题：“每套衣服用布2.2米，30米布可以做多少套这样的衣服？”教材的编写意图很明确，即通过除法竖式运算，引导学生发现此题用“四舍五入”法取近似值不符合生活实际，从而突出以生活实际为依据取商的近似值的合理性。学生在解答时，呈现了如图1所示的解法。

从学生解答的结论来看，学生已经达成教材的编写意图，但仔细观察学生的解答过程，我们可以发现学生思维的不足。解法1中，学生将商的小数部分“0.6363…”错误地理解为剩余布的米数；解法2中，学生将余数“14”错误地理解为“剩余14米布”。如果只看结论，不关注过程，教师很难看出学生思维的不足。为了帮助学生真正進行数学理解，笔者对题目做了一些改进。题目改为：“每套衣服用布2.2米，30米布可以做多少套这样的衣服？小华的解答如图2所示，你能读懂吗？”

从改进的题目看，竖式过程与学生的思维过程相同，关键是引导学生对竖式运算过程的实际意义进行理解。即从小数2.2（除数）“扩大”成整数22开始，厘清30÷2.2与300÷22的转化过程，将“30里面有几个2.2”的除法意义迁移至“300里面有几个22”。在此基础上，学生发现余数“14”是经过放大10倍后的数值，它实际表示“14分米”，也就是13套衣服做好后，还剩下14分米（1.4米）布，不足以再做一套衣服。在竖式继续除下去的过程中，需要在“14”后面添“0”继续除，“14”转化成“140”，其实际表示“140厘米”。学生通过对解题过程的解读、理解，不仅获得结论，而且把握了知识的本质，思维由浅层向深层发展。

二、前后串联，引思维由点成体

美国教育家杜威认为，一次完整的思维包含着两种运动，即既包含归纳——从一些既定的局部性和凌乱的资讯，联想到综合的（或包含的）整体情况，又包含演绎——从一个整体（一定的内涵、外延的意义，一种看法）回过来思索那些具体的事实，使它们互相连接，而且与留心联想到的事实相连接。其思维的过程就是在观察到的事实和推想之间来回运动，在运动中，让一些原本不相联结的细节相互联系，最终构成了一次完整的体验。［2］笔者认为，学生思维的成功与否，在于把思维过程中的每一个点、每一条线、每一个面串联起来，即在于点动成线、线动成面、面动成体的归纳构建。学生只有将所获得的知识点连成线、形成面、构成体，这样的思维才是深刻的，才具有生长的可能。例如，在苏教版数学五年级上册“多边形的面积”中，教材有如下练习题。

练习 图3中正方形的周长是20厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？

学生通过观察可以发现，正方形和平行四边形等底等高，因此正方形的面积与平行四边形的面积相等，据此求出平行四边形的面积。此题的解答可谓“水到渠成”，但如果只局限于问题解决，显然还不够。此题的本质是图形间的“等积变形”，教师要有意识地通过图形间的关联，将“等积变形”的核心在平面图形中延伸，从而帮助学生建立起平面图形的整体结构意识，发展学生的空间思维。

为此，笔者设计了如下题目，将“等积变形”进一步发散、拓展，引发学生的发散性思维。

题1 图4中哪几对三角形的面积相等（两条虚线互相平行）？你还能画出和△ABC面积相等的三角形吗？

题2 图5中哪几个梯形的面积相等？为什么？

题3 我们曾经用下面的方法解决了求三角形面积的问题（如图6）。有了这样的经验，你能求出图7中几何体的体积吗？把你的想法画出草图并列式计算（单位：厘米，π取3.14）。

教师通过多种题型的设计，从基础的“点”走向脉络的“线”，形成立体的“面”，层层推进，不断丰富“等积变形”的表象，提升学生思维的广度和思考的深度，使学生思维的立体感更强。

三、动态发展，引思维由浅入深

动态思维是一种运动的、调整性的、不断优化的思维活动。它要求思维根据不断变化的环境和条件来改变自己的思维程序和思维方向，对事物进行调整、控制，以达到优化的思维目标。［3］学生的学习过程实质是经验再改造的过程。在数学教学活动中，教师要引导学生通过观察、操作、类比、分析、归纳等数学学习过程，从动态发展的角度去思考、体会，实现知识的应用和认知的延伸，从而培养动态思维。

例如，对于平面图形的面积推导，苏教版数学教材的整体思路是将陌生的图形转化成学生熟悉的图形，然后推导出新图形的面积公式（如图8）。

这种思路明确且自然，但教材只是提供一种思路，图形面积推导的路径并非仅此一种，教师如果仅用固化的方式进行课堂教学，那么学生的思维必然有所限制。其实，对于圆的面积公式的推导，教师还可以借助运动的变化来引导学生，即将一个圆看作是由无数条曲线组成（如图9）。由图9可知，最外面的曲线就是圆的周长2 r，最短的曲线是圆心，将圆沿半径剪开，以圆的半径为高，得到一个三角形。则三角形的高就是圆的半径，三角形的面积与圆的面积相等，从而推导出圆的面积公式。

另外，梯形、长方形、正方形、三角形、平行四边形等图形的面积公式可以实现通用。如将梯形的上底延长，可以转化成平行四边形、长方形；将梯形的上底缩短为一个点，可以转化为三角形（如图10）。这种具有联系的、运动的学习活动，让学生用动态的思维进行思考，使学生思维得到更深刻的锻炼。

四、开放追问，引思维由窄到宽

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，要发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神［1］6。学生发展批判性思维并非无意识地批判，而是在教师引导从思维深处联想、融会贯通后，对情境中的数学信息进行充分的观察、提取、加工和概括，再结合个人的知识经验，提出质疑和问题。在教学过程中，教师要有意识地引导学生质疑问难。在学生提问时，教师要不呵斥、不打断、不敷衍［4］，这样才能看到学生思维的深处，提升学生思维的宽度。例如，在容积的学习中，学生曾遇到如下练习题。

练习 如图11，用一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，在四个角剪去四个边长为5厘米的正方形之后，做成一个无盖长方体容器（焊接处和铁皮厚度不计）。这个容器的容积是多少立方厘米？

学生通过观察发现，在长方形铁皮的四个角各剪去一个边长为5厘米的正方形，所做成的长方体容器的长是原来长方形的长减去2个5厘米，长方体的宽是原来长方形的宽减去2个5厘米，长方体容器的深度便是所剪的正方形的边长，无盖长方体容器的容积也就迎刃而解。学生对此题的解答，关键在于能够将除去四个角剩下的图形（如图12）转化成长方体的展开图，然后再还原成长方体容器。这个过程中，学生需要具备一定的空间观念，有一定的难度，但这种难度尚处于浅层次。学生只要理解去除四个角，就能解决问题。

教师可以引导学生再继续观察，并提出设想：从长方形铁皮中剪下的四个角，如果还用在这个长方形铁皮中，是不是可以增加这个无盖长方体容器的容积？如果可以，那么这个无盖长方体容器又该如何剪拼？由于长方形铁皮没有任何损耗，所做的长方体容器的容积肯定会变大，学生猜想正确。但如何验证成为学生问题解决的难点，是学生思维最大的障碍，也是学生思维的生长点。此时需要教师进行适当引导，帮助学生完成这种“生长”，使学生从“混沌”思维中突破，变得“清明”。

师：我们从四个角剪下相同的正方形，目的是使剩下的图形可以折成一个无盖长方体容器。如果只剪一个、两个或三个相同的正方形，再进行重新组合，能不能拼成长方体？请同学们试一试。

师：如果我们把长方形铁皮分成两部分，一部分做无盖长方体容器的底面，另一部分做无盖长方体容器的四个面，又需要怎样操作？

在教师的引导下，学生不断地猜想、尝试，形成两种剪拼方式：（1）从长方形铁皮中只剪下两个角，然后焊接到另一面，做成一个新的无盖长方体容器（如图13）；（2）将长方形铁皮平均分成两部分，一部分做无盖长方体容器的底面，另一部分再平均分成四份，做无盖长方体容器的四个面（如图14）。

學生通过充分的剪拼活动，形成新的思考方式，其思维进一步拓宽，由窄变宽，思维在“再创造”中，走向深入，走向深刻。

五、学科拓展，引思维由单到合

学科拓展是一种关注整体和整合的教育理念。学生生活的世界是一个系统、有机的整体，所面临的生活实际问题是综合性的。如果单纯从数学学科角度解决实际问题，其效果具有一定的局限性。因此需要多种知识协同合作解决，用跨学科、整体化的思想推进学科课程，形成学科内容的综合化、协同化，帮助学生建立不同学科知识之间的联系，实现知识与生活的整合，使学生能以数学的眼光观察、思考、表达世界，形成数学的理性思维。

需要注意的是，学科整合拓展不是一味地做“加法”，也不是一味地做“减法”，而是基于共同的需求，在目标一致的基础上进行整合，将数学知识的“点”与其他学科的“点”进行融合，形成具有挑战性的作业。例如，组织学生进行数学手抄报的设计创作便是数学学科拓展的典例之一。在整理和复习平面图形知识时，有学生将小学阶段所学的平面图形进行图形展示，然后将各个图形的要点内嵌于图形之中，做到图形与知识间的对等关联，最终以图文并茂的手抄报形式呈现，将平面图形的知识要点表现得淋漓尽致。也有学生从平面图形的面积推导入手，以思维导图形式设计手抄报。学生在分析各个平面图形面积的推导过程后，发现各个平面图形的推导过程均以转化作为推导的内在思想，于是通过转化这一思维点关联各个图形的面积推导过程，关联面积公式，关联面积计算等，以思维前行的方式将知识点进行整合，将隐性的思维点、抽象的知识点和显性的图形点进行完美融合。数学思维从单一的问题解决走向综合应用，这样的思维更具有理性的质感。

总而言之，思维虽然隐匿于学生头脑之中，其发展提升更是不可摸、不可感，但只要我们抓住学生思维的“弦”，从多层次、多点面、多视角、多关联、多学科去审视、去表达、去整合，就能将学生思维“可视化”，实现学生数学思维的进阶与发展。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］杜威.我们如何思维［M］.伍中友，译.北京：新华出版社，2010.

［3］姚凤云，朱光.创造学与创新管理［M］.北京：清华大学出版社，2015.

［4］邢瑾.基于“精彩观念的诞生”问学课堂的建构［J］.中小学课堂教学研究，2021（5）：39-40，53.

（责任编辑：罗小荧）