小学数学学习中常见的逻辑问题及应对策略

郝高峰 薛维畅 白翠霞

【摘 要】小学数学学习中存在的循环论证、以偏概全、碎片说理等逻辑问题虽不可避免，但已成为阻碍学生深度学习的绊脚石。教师必须保持清醒的头脑和敏锐的眼光，追根溯源，循序渐进，整体建构，逐渐理顺知识间的逻辑关系，完善逻辑结构，重塑逻辑体系，积极寻求应对之策，促进学生深度学习，提升学生的数学核心素养。

【关键词】逻辑问题；追根溯源；循序渐进；整体建构；深度学习

一、引言

笔者在多年来的教学和听评课活动中发现，学生在数学学习中经常会出现一些逻辑问题，不仅不自知，更是常常被教师所忽略。比如，在教学北师大版数学四年级下册“三角形内角和”时，有一个问题是要求学生进行小组活动：每人准备一个三角形，量一量三角形每个内角的度数，并计算三个内角的和。这个活动的目的是通过测量活动，归纳得出三角形内角和相对固定，即集中在180°左右。从而引发猜想：三角形内角和会不会就是180°呢？为后面进一步用“拼角”等其他方法验证做好铺垫。而学生常常出现“凑180°”的现象（见表1），即把结论误当成条件，通过三角形内角和是180°和其他两个角的度数，推知第三个角的度数，从而计算出一组“完美”却不真实的数据，完成了一次不自知的虚假测量活动。

再如，对于北师大版数学五年级上册“分数基本性质”的教学，在学生完成了问题1（如图1）后，教师提出问题2：“请你再举一组这样的例子，并与同伴进行交流。”学生往往会直接写出1个分数，再给分子和分母同时扩大相同的倍数，先后得到2个不同的等值分数，最后给3个分数分别对应图形，使得结果看起来“正确”。实际在没有归纳出分数基本性质的时候，学生已经不知不觉地运用它来构造分数，之后又会通过这几组等值分数归纳得出分数基本性质。

不难看出，不管是在没有得出三角形内角和是180°时，就应用其虚构测量数据，再根据这些数据得出结论；还是把分数基本性质当成条件先构造出等值分数，再用这些等值分数作为条件，归纳得出分数基本性质，都存在循环论证的逻辑问题。而类似的逻辑问题在小学数学学习中时有发生，使得学生学习停留在浅层思维水平，严重阻碍了学生深度学习的发生，应该引起教师的警惕和重视。

二、小学数学学习中常见的逻辑问题

逻辑（logic），在英文中等同规律、规则、法则等意思，在现代汉语中内涵则更为丰富。广义的逻辑泛指规律（思维规律和客观规律），狭义的逻辑一般指思维规律。本文所说的逻辑问题既指解决问题时思维过程违反形式逻辑的基本规律，即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，从而导致偷换论题、论据不真实、循环论证和形式论证而内涵不符等常见逻辑错误［1］；也包括局部虽未有明显的逻辑错误，但整体来看说理方式各行其道，缺少统一而引起的思维混乱。在小学数学学习中常表现为循环论证、以偏概全和碎片说理等。

1.循环论证

循环论证，是指用来证明论题的论据本身的真实性要依靠论题来证明的逻辑错误［2］。小学生在数学学习中经常会出现此类现象，他们会不自觉地用自己认为的“事实”理所当然地说明或验证该“事实”。如前文“三角形内角和”的学习中，探究三角形内角和时，学生不明就里地将需要证明的结论当作已知事实，运用三角形内角和等于180°推算出三角形内角的度数，以推算出来的数据代替实际测量数据，并循环使用这些数据说明三角形内角和就是180°，这显然违反了逻辑规律。当然，学生在经过测量计算、提出猜想、拼角验证等方法得出三角形内角和等于180°之后，再应用其解决求内角度数的问题又是另外一回事了。

2.以偏概全

以偏概全的现象在小学数学学习中普遍存在。它是指解决问题的过程中囿于各种原因用片面的部分规律来看待整体问题。小学生的思维特点倾向于直观和具体，因此多数概念、性质的学习都是通过具体实例，用不完全归纳法得出。于是，会出现用“分数除以整数”和“整数除以单位分数”的算理代替整个“分数除法”的算理等现象，造成以偏概全［3］，从而人为地避开学习中的难点，偷换概念，让学习看起来“一帆风顺”。

3.碎片说理

碎片说理，是指面对同一类学习对象，分别按照不同的逻辑方式碎片化讲述各自的道理。局部来看虽无明显逻辑错误，但整体考量却各讲各的理，各行其道，缺少进一步的加工、整合，以及整体一致性的沟通，从而造成逻辑上的混乱。比如，同为加减运算，整数强调数位对齐，小数则要求小数点对齐，分数则是先通分成同分母分数再相加减；同为小数四则运算，加减法强调小数点对齐，乘法要求末位对齐，除法则先要将除数转化成整数再计算。再比如，同样是研究倍数特征，2、5的倍数看个位，3、9的倍数得看各个数位之和。整体来看，这些知识的逻辑并不统一，如果不加以整理、归类，学生很容易陷入混乱。

三、归因分析

小学数学学习之所以会存在以上种种逻辑问题，究其根本，主要是由小学生的思维特点和认知基础所决定的。另外，教材“混而不错”的编排及教师对教学内容理解的局限性和认知的不断发展也是造成这种现象普遍存在的直接原因。

1.小学生的思维特点和认知基础

小学生的思维特点是以具体形象思维为主要形式，并逐步向以抽象逻辑思维为主要形式过渡。而在过渡期间，适量的直观形象支撑不可或缺。皮亚杰的认知发展理论也指出，小学生的认知水平基本处于具体运算阶段，即位于前运算阶段和形式运算阶段之间。随着年龄的增长，特别是到了第三学段，开始逐漸向形式运算阶段过渡。他们虽逐步具备了一定的逻辑运算能力，但其运算仍离不开具体事物的支持，运算的形式也没有完全与内容分离。而高度的抽象性是数学的本质特征。擅长具体形象思维的小学生要逐步走近高度抽象的数学，就必然会经历暂时的逻辑混乱阶段，以形象帮助理解抽象，因此在逻辑的严谨性上可能有所欠缺。

2.教材编写中的“混而不错”

基于小学生的思维特点和认知基础，苏步青认为，小学数学教材编写要坚持“混而不错”的原则，从而保持一定的逻辑严谨性。这也成了小学数学教材编写者长期的一个共识。适度的“混”一定程度上适应了小学生的思维特点和认知规律，给学生的数学学习以缓冲，在小学数学教育教学中能发挥积极的作用。但“混”到什么程度，什么该“混”，什么又坚决不能“混”都是极有讲究的。另外，面对不断变化的小学生，几近不变的“混而不错”的教材编排也很难保证不会培养出“混而有错”的学生。更何况中小学教材要完全做到“混而不错”也并不容易［4］。

3.教师对教学内容理解的局限性和认知的不断发展

教师作为教学活动的组织者、引导者和合作者，对教材及其他教学内容内在逻辑的准确理解和个性化解读，是影响学生深度学习的关键因素之一。实践表明，一些教师对教材的盲目“迷信”，以及对教学内容理解的局限性，使得学生长期处在“混乱”的逻辑环境中，严重阻碍了小学生思维能力的发展。另外，随着教育理念的日益革新，教师的认知也在不断发展。如以前看着理所当然的逻辑在“大单元”“大概念”等理念的冲击下暴露了它的不足，即缺乏逻辑的整体性和一致性，愈发显得支离破碎，问题频出。

四、应对之策

张奠宙曾指出，如果一味地将未加证明的“发现”不加怀疑地当作真理，久而久之，养成一种不加论证就断然肯定的思维习惯，必将对以后学习数学理性文明带来负面影响［5］。因此，面对已经暴露出来或隐藏在小学数学学习过程中的逻辑问题，教师必须保持清醒的头脑和敏锐的眼光，积极寻求应对之策，为实现学生的深度学习创造条件。

1.追根溯源，理顺逻辑关系

面对循环论证等逻辑问题，教师在教学中要帮助学生厘清逻辑起点，理顺“条件”与“结果”之间的逻辑关系。尤其是在概念建立初期就要明确因果关系，尽可能追根溯源，厘清知识的来龙去脉，从而为后续学习奠定坚实的逻辑基础。以前文中“分数基本性质”的教学为例，问题2显然是在问题1的基础之上，让学生自己通过数形结合的方式找出一组相等的分数。比如教材给出了两组分数（如图2），让学生进行交流。第一组是先把1个正方形平均分成2份，涂出其中的1份，即[12]，再把每1小份平均分成2份，相应地正方形被平均分成了4份，涂色部分也可以表示为[24]，继续细分，涂色部分还可以表示为[48]等。因为涂色部分都占了这个正方形的“一半”，说明3个分数的大小相等，即[12]=[24]=[48]。而第二组则是“合并”的过程，即将[812]中的2小份合并成1份得到[46]，再合并得到[23]。因为这3个分数所表示的阴影部分面积一样大，所以它们相等，得到[812]=[46]=[23]。最后通过观察多组等值分数的分子、分母之间的关系，归纳出分数基本性质。可见，本节课正确的逻辑关系应是在问题1示例的基础上，先借助数形结合，根据分数的意义找出若干组等值分数，再通过观察这些等值分数归纳出分数基本性质，最后才是应用这一性质解决问题。只有当师生都理顺了教材的逻辑关系，学生才能在学习中真正触及知识本质，明确什么是“因”，什么是“果”，并建立起正确的因果关系，使得学习从浅表走向深入。

2.循序渐进，完善逻辑结构

由于小学生的思维现状，教师不得不退而求其次，常常以合情推理代替严格的演绎推理，致使逻辑结构出现一定的漏洞。在教学中，教师决不可碍于此而止步不前。相反，教师更应该在顺应小学生思维水平的基础上，循序渐进，积极引导学生的思维水平向更深的层次发展。以北师大版数学四年级上册“乘法分配律”学习为例。教师一般结合“厨房贴瓷砖”情境，先引导学生列式计算、对比得出两组等式（3+5）×10=3×10+5×10和（4+6）×8=4×8+6×8，再引导学生观察规律，同时写出几组类似的等式，进而用字母表示为（a+b）×c=a×c+b×c，明确这就是乘法分配律。实际上，学生即使举出再多的例子，通过不完全归纳法也只能得出一个猜想，而非结论。教学中，教师不能仅仅满足于此，可分三个阶段逐步完善逻辑结构。

阶段一：在传统教学的基础上，教师可着重引导学生从算式本身的意义角度来解释乘法分配律。比如（3+5）×10=3×10+5×10可理解为（3+5）个10，即8个10，等于3个10加上5个10；进一步，8个10还可以理解成1个10加上7个10或2个10加上6个10等。教师应逐步引导学生感受（a+b）个c实际就是a个c加上b个c。

阶段二：单元复习时，教师可进一步引导学生体会（3+5）×10=3×10+5×10也可理解为10个（3+5），即10个8，等于10个3加上10个5。再进一步，10个8还可以理解成10个1加上10个7等，引导学生感受c个（a+b）实际就是c个a加上c个b。同时，教师可以通过面积模型（如图3）等方式，让学生直观理解乘法分配律的原理。

阶段三：在五、六年级再次应用乘法分配律，最晚到六年级总复习时，教师可引导学生体会乘法分配律和加法交换律、结合律之间的因果关系，进一步完善逻辑结构。即

（a+b）×c=[（a+b）+（a+b）+（a+b）+…+（a+b）c个（a+b）]

=[（a+a+a+…+a）c个a]+[（b+b+b+…+b）c个b]

=a×c+b×c

3.整体建构，重塑逻辑体系

目前的小学数学学习内容存在“碎片式”说理现象，表现为教师更多关注知识本身，对知识之间的关联不够，尤其是缺失逻辑的整体性和一致性。随着“大单元”“大概念”等思想深入人心，特别是《义务教育数学课程标准（2022年版）》的出台，重新审视当下的教学内容和数学课堂，完成教学内容的整体建构，重塑知识间的逻辑体系已势在必行。其中，巩子坤等对于“数与代数”领域中数的概念与运算的一致性研究较为深入［6］。

筆者以“图形与几何”领域中“周长”“面积”和“体积”教学的一致性为例，进行简要说明。在传统教学中，周长被描述为图形一周的长度，面积指物体的表面或封闭图形的大小，体积则是物体所占空间的大小，它们的计算各不相同。学生在学习中往往不明就里，孤立地掌握了一个又一个公式。教师可以抓住单位这个核心概念，从度量的角度进行整体建构。所谓周长，就是以长度单位度量图形的“一周”，即以“长”度“周（长）”；面积则是用面积单位度量平面图形“面的大小”，即以“面”积“面”；体积则是用体积单位度量物体（图形）的“空间大小”，即以“体”积“体”。学生明确了三者单位的区别也就理解了这三个概念。它们和数的认识与运算也具有一致性，即本质是“单位”和“单位的个数”的问题。这样，我们就跨越代数与几何领域完成了一次整体建构，重塑了一个统一的逻辑体系。

综上所述，小学数学学习中普遍存在的循环论证、以偏概全、碎片说理等逻辑问题已成为学生深度学习的绊脚石。教师既要基于学情，认清现状，也要敢于作为，勇于突破。对于基本知识，要懂得追根溯源，理顺知识间的逻辑关系；遇到难点知识，要尝试循序渐进，分阶段完善知识间的逻辑结构；面对碎片化知识，要善于整体建构，重塑知识间的逻辑体系，走向结构化教学，促进学生深度学习，最终实现学生数学核心素养的整体提升。

参考文献：

［1］李凌燕.数学分析论证形式逻辑推理中易出现的错误及分析［J］.景德镇学院学报，2019（3）：17-20.

［2］陈晓燕.小学数学教学中“循环论证”逻辑错误案例及分析［J］.中小学数学（小学版），2015（Z1）：16-18.

［3］郝高峰.智慧老人，你为何“以偏概全”：“除数是分数的除法”算理教学的思考及重构［J］.小学数学教师，2021（1）：53-56.

［4］张奠宙.适合儿童年龄特征和避免数学差错：关于“找规律”及其他［J］.小学教学（数学版），2014（3）：8-9.

［5］张奠宙.小学数学课程必须坚持“混而不错”的原则：以“平行与垂直”的教材编排为例［J］.小学教学（数学版），2015（2）：4-6.

［6］巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性［J］.课程·教材·教法，2022（6）：45-51，56.

（责任编辑：罗小荧）