基于学生模型观念培养的初中数学教学设计及思考

赵颖

摘 要：模型观念是学生数学学科核心素养的重要体现之一.初中数学教师要通过优化教学设计，来提升课堂效率，有针对性地培养学生的模型观念，并以此为抓手促进学生核心素养的发展.本文立足于初中数学的课堂教学实践，结合反比例函数的概念教学进行了阐述.

关键词：初中数学；模型观念；教学设计；反比例函数

模型观念是数学学科核心素养的基本要素之一，在大力发展学生核心素养的今天，教师要关注学生模型意识和模型观念的发展现状，深度把握学生的思维发展规律，不断改进自己的教学设计，提升课堂教学质量，以发展学生模型观念为重要抓手，促进学生核心素养的全方面发展.

1 立足新课程标准钻研模型观念的内涵

《义务教育数学课程标准（2022版）》（下文简称《课程标准（2022版）》）提出数学观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识，知道数学建模是数学与现实联系的基本途径.建模意识的培养应该是学生搭建数学知识和外在世界的重要途径，也是学生加强理解、发展应用能力的基本方式.所谓“数学建模”，就是对数学问题进行抽象操作，在此基础上形成概括和假设，并结合数学知识的运用作形式化、符号化处理，进而完成对数学问题的解决.

我们在初中数学课堂强调建模观念的培养，就是引导学生内化数学建模的基本观念，让学生初步感知数学建模的基本过程，能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，能用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义，训练学生利用数学模型解决问题的基本能力，从而进一步帮助学生开展跨学科主题学习，感悟数学应用的普遍性.

模型观念的培养能够引导学生深入到数学问题的内核之中，不仅有利于学生内化所学知识，而且有助于学生对数学文化产生深层次的感悟，进而达成他们核心素养的发展.学生在建模训练的过程中，可以进一步领会隐含在数学知识中的思想内涵，进而让学生由表面化的习得进化为有意义的学习，同时他们的自我效能感也将得到提升，学生也将在后阶段的学习和研究中自主采用模型化的思维来分析和研究问题.

关于数学模型建立和研究的基本过程，《课程标准（2022版）》指出学生需要依托真实的生活情境或具体场景形成数学问题，并运用数学语言来表征问题，即用方程、函数、不等式等等将隐藏在问题中的数量关系表述出来，在此基础上完成对数学模型的分析，对形成的结论进行讨论［1］.在上述过程中，学生的思维经历了由具体到抽象，再由抽象回归具体的过程，模型意识也将因此而得以强化，模型的价值内涵也将真正渗入学生的内心.因此在教学过程中，教师要善于围繞学生的认知过程进行引导，要让教学设计能够真正激发学生的建模意识，并提升课堂教学的实效.

2 注重模型观念发展的数学教学设计思路分析

如何贯彻课程标准的具体要求，并将培养学生模型观念落实到位呢？下面，笔者以反比例函数的概念教学为例，探讨一下教学设计的基本思路.

2.1 优化情境创设，让学生对模型形成感悟

数学教学要对接学生的知识背景和已有经验，这样才能引导学生有意识地发展知识的内涵，并建构有意义的学习［2］.数学模型看似抽象，实际上都与现实原型有着紧密联系，教师要引导学生建构这种联系，让学生积极展开联想，从生活实际出发来建立模型，在此基础上体会到模型在生活中的广泛应用.当然，有的数学概念已经高度抽象，学生很难将对应的模型与生活联系起来，这就需要教师优化情境创设，启发学生检索自己的认知体系，感受相关事物之间的关联，由此来促成新知识的形成.

在引入反比例函数的概念时，教师可以创设以下情景来启发学生进行探究.

情境一：为创建文明城市，社区进行绿化改造工程，准备修建一个矩形花坛，设计面积为100m2，若矩形花坛的长度为xm、宽度为ym，则这两个数量之间存在怎样的关系式？受整体布局的限制，这个花坛的长度最终确定为20m，则其宽度为多少？

情境二：小明是一个生活在广州的男孩，他的爷爷奶奶都在北京定居，放假时准备从广州乘坐高铁去看望家人，他通过网络查到高铁的总里程为2294千米，如果设高铁的平均速度为v（km/h），全程花费时间为t（h），则两个数量之间存在怎样的关系？小明买票后发现，票上注明火车需要8小时到达目的地，则高铁的平均速度为多少？

反比例函数是一个抽象的概念，如果教师仅止于引导学生对表达式进行变形处理，他们的思维将被束缚.在上述情境的创设中，教师从学生熟悉的实例出发，引导学生在实际问题中感受模型的存在.

2.2 重视问题引领，渗透数学建模的思想

教师在教学实践中要重视问题引领，并突出建模思想的渗透，引导学生对模型展开更加主动的研究，提炼隐含在其背后的核心思想［3］.为了达成这一效果，教师要善于以问题为铺垫，通过问题链来引领学生逐级深入地建构数学模型，让学生围绕模型形成属于自己的认识，这也必然能够促使学生形成数学建模的思想.

在反比例函数的概念教学中，教师从生活情境出发，引导学生提炼一系列反比例函数，并对此进行总结，帮助学生提炼概念，结合场景来体会反比例函数的意义.问题链设计如下：

（1） 创设情境，引导学生提炼函数表达式，学生通过分析得出一系列表达式，如y=1/x、y=5/x等等.

（2） 请对比以上表达式，简述他们的共同点，你能提炼出它们的一般式吗？

（3） 类比已学内容，你认为描述这些表达式时，还必须注意哪些地方？

（4） 对比例系数k有什么要求？请简述原因.

（5） 你能概括一下反比例函数的定义吗？

（6） 请你联系生活，再列举两个有关反比例函数的例子.

（7） 以上反比例函数的模型是怎么发现的？这对我们的数学学习有何启示？

（8） 通过反比例函数的模型来分析和研究问题，有何意义？你能结合生活实际进行分析吗？

上述问题链有着明显的推进关系，前五个让学生从具体的情境着手，提炼反比例函数的基本模型，学生也将在问题的分析过程中深入体会概念形成的过程，并领会其中的思想.后面的三个问题则引导学生以更加开阔的视野来分析生活周边的数学问题，并引导学生对数学模型的建立过程进行分析，这样的处理有助于学生加深对建模意义的理解，也为学生感悟建模思想奠定基础.

2.3 提高认识站位，全方位感悟模型观念形成的过程

在教学过程中，教师要引导学生提高认识站位，让学生能够从全局的角度把握建模过程，多角度地形成感悟，这样有助于学生把握知识之间的联系，也有助于学生认识模型的本质，进而提升他们的思维品质.

当学生在自主建模的过程中对反比例函数的概念形成初步认识之后，教师可以通过以下问题引导学生多角度地体会建模过程.

问题1：下面有9个函数表达式，请区分它们的类别.

① y=2x；② y=x/4；③ y=-8x+1；④ y=4x-1；⑤ y=-2/5x+1；⑥ y=3x/4+9；⑦ xy=1；⑧ y=a/x；⑨ y=x/10.

问题2：根据疫情防控的需要，学校每天都要对教室进行消毒处理，在喷雾消散的过程中，消毒范围内每立方米的消毒液含量y（毫克）与时间x（秒）成正比，喷雾结束后，y与x成反比.现测得消毒液喷雾消散8分钟时，每立方米的喷雾含量为6毫克.

（1） 当教室内的消毒液含量小于1.5毫克/立方米时，学生才能进入对应区域，因此从消毒工作开始到学生可以进入教室，至少需要经过多长时间？

（2） 科学研究表明，当室内的消毒液喷雾含量不低于2毫克/立方米，持续时间保持在十五分钟以上时，才能将空气中的病菌有效杀灭，请分析上述消毒过程是否有效？

上述两个问题，前者引导他们对比新旧模型，让他们在比较思维中进一步加深对基本函数模型的理解；后者则提供一个具象的情境，让学生通过建模来完成问题分析，这有助于他们建模意识的发展.

3 结束语

在初中数学的教学过程中，模型观念的培养不能是一种口号，也不能简单理解为一种解题方法，教师在教学的每一个环节都要注重模型观念的渗透，同时教师也要鼓励学生积极思考，自发提炼隐藏在概念学习、科学探究等过程中的建模思想.

比如在反比例函数的概念学习结束之际，教师要让学生通过思考来进行提炼：反比例函数的表达式有哪几种？需要注意什么？它与其他函数的学习相比，有何差异？反比例函数的研究对学生的数学学习有何启发？等等，这些问题将促使学生有意识地展开比较和总结，从而促进建模思想的進一步发展.

以上立足于初中数学的课堂教学实践，结合学生数学核心素养发展的实际需要，探索了推动学生模型观念形成的基本途径，希望给初中数学教师的教学设计提供一些启示.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 孔凡哲.有关模型思想若干问题的分析与解读［J］.中学数学教学参考，2015（1）：4-7.

［3］ 周立栋.数学模型思想及其渗透教学［J］.上海教育科研，2015（10）：64-66.