源于教材意料之外，高于教材情理之中

王珍

摘 要：高中数学教材的一些例（习）题经常是高考命题结合高考真题实例，合理链接高考.关注例（习）题的拓展性，教材的整合性与交汇性，教材的再加工以及相关探究栏目等，合理挖掘教材，回归教材本质，源于教材内涵，高于教材层次，进而指导与引领平时的实际数学教学与数学学习.

关键词：教材；例题；习题；拓展

高考命题源于教材意料之外，高于教材情理之中.高中数学教材已经成为高考数学命题的一个“母题库”.作为一线教师，要将此理念充分落实到新课教学与高考复习备考中去，静下心来认真深入钻研教材，多层面领悟教材的意图与内涵，挖掘教材各方面的精华与本质，同时对教学资源进行必要的整合与拓展.

1 挖掘教材，关注例（习）题的拓展性

高中数学教材的一些例（习）题的答案往往可作为一些重要的结论，或推广、延伸获得更具一般性的规律.有目的性地积累高中数学教材中的一些小结论，可提高数学解题速度，甚至实现“秒杀”的奇效.

分析：根据椭圆的另一顶点的引入，结合椭圆的对称性来分析对应直线斜率的关系式，结合椭圆的第三定义进行应用，合理构建对应参数的比值问题，结合椭圆的离心率公式加以分析与求解.

【链接教材】（人民教育出版社《数学》（选择性必修第一册）复习参考题3第11题）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），求顶点C的轨迹.

其实，该习题是关于动点的轨迹方程问题，就是椭圆的第三定义.以上高考真题，是对椭圆的“第三定义”的再变形、再改造、再拓展.

借助椭圆第三定义法，是回归教材的本质，通过课后习题所阐述的一些相关结论或“二级结论”的掌握来快速、正确解决相应的填空题或选择题.

2 挖掘教材，关注教材的整合性、交汇性

对高中数学教材中一些典型例（习）题进行变换、整合、交汇、深化等，从而形成“合力”，加强不同知识之间的纵横联系与不同知识之间的交汇融合，体现高考在知识交汇点处命题的理念，有效培养数学思维的深刻性、广泛性，渗透数学核心素养.

分析：根据平面向量中的极化恒等式，合理转化对应的平面向量数量积，将平面向量的数量积由平面向量的线性运算的模导出.合理建立平面向量的数量积与线性运算之间的联系，是解决平面向量的数量积问题中一种有力工具.

【链接教材】（人民教育出版社《数学》（必修第二册）第六章《平面向量及其应用》中6.2平面向量的运算中第22页练习第3题）求证：（a+b）2-（a-b）2=4a·b.

这个证明的结论，变式可得：a·b=1/4［（a+b）2-（a-b）2］.这就是著名的“极化恒等式”：平面向量的数量积表示为以这组平面向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”的平方差的1/4.

抓住平面向量中的极化恒等式，搭建起平面向量与几何长度（数量）之间的桥梁，有效实现向量与几何、代数等不同知识点之间的整合与转化，也为问题的深入、拓展与提升提供理论支持.

3 挖掘教材，关注教材的再加工

对高考数学教材的一些原型题的挖掘、再加工，将教材内容通过“组合”“联姻”“嫁接”“演变”“交叉渗透”等方式推陈出新，合理创新与综合，在纵横交错、多方变换中考查学生的综合与创新能力.

例3 （2022年高考数学新高考Ⅰ卷·7）设a=0.1e0.1，b=1/9，c=-ln0.9，则（）.

A. a＜b＜c

B. c＜b＜a

C. c＜a＜b

D. a＜c＜b

分析：根据题设条件中函数关系式的结构特征，涉及指数式、分式与对数式，合理利用相关结论以及相应的不等式结论来合理转化，进而两两确定函数关系式之间的大小关系.

【链接教材】（人民教育出版社《数学》（选择性必修二册）第五章《一元函数的导数及其应用》中5.3导数在研究函数中的应用中第94页练习第2题）证明不等式：x-1≥lnx，x∈（0，+∞）.

在教材中（习题5.3第99页第12题）的其他地方，也涉及到类似的不等式证明与应用：

利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：

（1） ex＞x+1，x≠0；（2） lnx＜x＜ex，x＞0.

在不等式的证明、大小关系的判断以及其他综合应用中，经常将一些相关的知识进行必要的再加工，实现多个知识点的交汇与综合.

4 挖掘教材，关注“探究”“拓广探索”“思考”及阅读材料

回归高考数学教材，除对一些数学典型题进行演算变换外，还需加强对高中数学教材的“探究”“拓广探索”“思考”及阅读材料等内容进行相应的研究，挖掘问题的内涵，拓展结论的本质.

例4（2022年高考数学全国甲卷·23（1））已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：a+b+2c≤3.

分析：借助题设条件，结合已知中的三元二次幂的关系式，对比所证结论中的三元一次幂的关系式，分析两者之间的结构特征，与柯西不等式的应用条件相吻合，进而合理配凑相关的系数，结合柯西不等式的应用加以转化与证明.

【链接教材】（人民教育出版社《数学》（必修第二册）第六章《平面向量及其应用》中6.3平面向量基本定理及坐标表示中第37页习题6.3“拓广探索”第16题）用向量方法证明：对于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

以上“拓广探索”中涉及的这个重要的不等式就是柯西不等式的二维形式.柯西不等式是高中数学不等式部分的一个重要不等式，高考的基本知识点之一，经常需要利用其进行不等式证明、恒等式证明，以及求解相关代数式的最值或综合应用等.

高中数学教材中的例（习）题等，都是不同时期背景下几代人智慧的精华与经验的积累，具有很好的示范与引领作用.借助教材例（习）题并加以改编、变式、拓展与提升，进一步综合此类命题的背景、知识、思想、方法、技巧与策略等，源于教材，又高于教材，充分体现传承、创新与发展.

參考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 韩文美.高考数学试题的题源探秘［J］.高中生之友，2018，392（11）：21-22.