三版高中数学新教材“等比数列前n项和”内容的比较研究

杨晓云　韩龙淑

摘 要：等比数列前n项和是高中数学的核心内容，以人教A版、北师大版、苏教版教材中的等比数列前n项和为研究对象，对三版高中数学教材中等比数列前n项和内容的呈现位置和顺序、例习题数量和难度以及数学史的融入情况进行比较研究，以此提出在教学中要注重启发学生感悟数学思想方法的自然生成过程；突出问题情境创设的丰富性；重视例习题选择的典型性和层次性；加强相关数学史的合理融入等启示与建议.

关键词：高中数学教材；等比数列前n项和；比较研究

1 问题的提出

随着《普通高中数学课程标准（2017年版）》的颁布，高中数学教材也随之进行了修订.教材作为重要的教育教学资源和课程资源，是教师课堂教学与学生学习的重要载体［1］.在一标多本的大背景下，不同版本教科书的优势需相互借鉴.因此，深入分析三版新教材的异同有利于更好地进行数学教学设计与实施.

等比数列前n项和作为高中数学的核心内容，公式推导过程中渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，对于学生的数学学习以及日常生活起着至关重要的作用［2］，有利于发展学生的数学运算、逻辑推理等学科核心素养.

在中国知网搜索，目前关于“等比数列前n项和”的教材比较研究的文章只有3篇，较为欠缺.对三版高中数学教材“等比数列前n项和”内容进行比较研究，有利于挖掘核心素养背景下教材内容的设计意图，从而优化教师对于教材的深度理解和合理运用.

2 三版高中数学新教材“等比数列前n项和”内容的比较研究

2.1 内容的呈现位置和顺序不同

从章节的呈现位置和顺序看，人教A版教材将“等比数列前n项和”放在选择性必修二第四章3.2节，北师大版放在选择性必修二第一章3.2节，苏教版放在选择性必修一第四章3.3节.

2.2 课题导入的情境不同

人教A版通过“古印度国王奖赏国际象棋的发明者”的故事情境引入特殊等比数列前n项和问题，使得求等比数列前n项和的问题成为必要，激发学生的内在学习需求.

北师大版以“小林和小明做贷款游戏”为故事情境引入，通过小明得到的贷款数复习回顾等差数列的前n项和，再通过小明要还的贷款数引出等比数列前n项和S30=1+2+…+229，求S30采用从特殊到一般的方法［3］.

苏教版直接提出问题：已知等比数列{an}的第一项a1、公比q，如何求出它的前n项和Sn？通过变形、转化推导出公式.

北师大版的“贷款”游戏在运用等差数列的前n项和知识基础上引入，要解决此问题，需计算出第10天、第20天、第30天小林贷款的钱数，即等差数列的前n项和，以及他还贷支出的钱数，即等比数列的前n项和，因此具有复习旧知（等差数列的前n项和）、导入新课（等比数列的前n项和）、承上启下、自然过渡的特点.此设计使得新旧知识相互融合，学生容易将新知的学习与旧知的复习进行类比、联想.人教A版则从趣味故事入手，以计算棋盘上的麦粒总和为突破点引入新知.

人教A版和北师大版通过引入趣味的故事情境，引发学生感受新学习内容产生的必要性，人教A版同时渗透了数学史，增强了学生的数学文化意识，激发学生内在的学习欲望.

2.3 公式推导中思路和方法的生成不同

人教A版教材将“古印度国王奖赏国际象棋的发明者”的故事抽象成数学问题：1+2+22+…+262+263粒麦粒有多少颗？它可以看成是一个首项为1，公比为q的等比数列.设等比数列{an}首项为a1，公比为q，它的前n项和Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1（1），类比等差数列前n项和公式的求法，即倒序相加法，倒序相加法的目的是凑出相同的项从而消项.观察发现（1）式从第二项起，每一项都在前一项的基础上乘了q，为了出现更多相同的项，在（1）式两边同乘以q，得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn （2）.

比较两式发现，（2）式的第一项是（1）式的第二项，（2）式的第二项是（1）式的第三项，通过（1）-（2）作差，得（1-q）Sn=a1-a1qn=a1（1-qn） ，当1-q≠0.即q≠1时，Sn=a1（1-qn）/1-q，当q=1时，等比数列为常数列，每一项都等于a1，则Sn=na1.这种通过Sn构造出qSn，再作差的方法叫错位相减法，此方法是通过构造相同项，作差抵消，化繁为简［4］.

构造（2）式的目的是使兩个等式中出现n-1个相同的项，实现了由繁到简，由多到少，体现“化无限为有限”的策略［5］.

人教A版和苏教版教材都体现了为何要在等式两边同乘以公比q以及错位相减法是怎样产生的思维难点，在北师大版教材中则未能体现.

2.4 苏教版教材的例习题难度较高

“等比数列前n项和”在人教A版教材中占用篇幅10页，其中例题6道，练习8道，习题12道.在北师大版教材中占用篇幅6页，其中例题4道，练习4道，习题14道.在苏教版教材中占用篇幅8页，其中例题6道，练习9道，习题13道，如表2.人教A版教材将习题和复习题分为复习巩固、综合运用、拓广探索三类，北师大版教材将习题分为“A组”“B组”，苏教版将习题分为“感受·理解”“思考·运用”“探究·拓展”三个版块，如表3北师大版教材分类更明确，拓广探索类习题设计了开放探究性题目，增强习题的探索性和开放性，发挥了教科书引导学生积极思考和探究发现的价值，习题的代表性更强，题目类型更加丰富，注重习题与实际生活的紧密联系；三个版本教材都十分重视习题的结构［6］.依据难度对习题进行分类，如表4.

例习题难度比较采用鲍建生的综合难度模型，综合难度模型包含五个难度因素：背景因素、探究因素、运算因素、推理因素、知识含量因素［7］.

为了便于各因素的观察和比较，根据以上数据制作了例习题综合难度的雷达图.

可以发现：从整体上看苏教版教材例习题综合难度较大，三版新教材中“等比数列前n项和”的例习题在运算方面的数值最高，这与数列学习的特点有关，大都涉及公式的运用和符号运算，其次是知识含量方面，而在背景、探究及推理三方面的数值较低.说明教材注重对学生运算能力与知识综合能力的培养，但在推理及数学探究能力的培养方面略显不足.

2.5 相关内容融入数学史有所不同

在数学史渗透方面，人教A版教材通过创设国际象棋传说中棋盘摆麦粒的问题情境，引入“等比数列前n项和”内容，并且在“阅读与思考”部分介绍了中国古代数学家刘徽、沈括、杨辉求数列和的方法.北师大版教材和苏教版教材在“等比数列前n项和”中数学史的融入比较欠缺.

数学史和数学文化的融入体现了中国古代数学家的勤于实践、勇于探索、敢于創新的求知精神，这些数学文化知识、思想方法的形成与积淀过程，有利于让学生充分感受数学文化的魅力.

3 启示与建议

3.1 注重启发学生感悟数学思想方法的自然生成过程

《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读中指出：基于核心素养的教学，要特别重视情境的创设与问题的提出.知识的形成过程也是发展核心素养的重要依托.在错位相减法的生成过程中，教师从学生的认知规律和已有经验出发，通过类比等差数列的求和公式，探索等比数列求和公式的推导方法，引导学生理解问题的本质，提升思维的高度，符合学生的认知结构特点和思维发展规律［8］.人教A版教科书重视启发引导学生感悟错位相减法的自然生成，北师大版和苏教版教材则有所欠缺.在学生经历探究过程后，教师应及时整合知识内容，使学生形成结构化的认知体系，将数学思想方法与知识系统的学习相结合，将巩固基础知识与提高知识的综合性、应用性相结合.

对于乘以公比q之后错位再相减问题，可以引导学生发现从第二项起，后一项是在前一项的基础上乘以q得到的，前一项乘以q变为后一项，每项乘以公比q实质是为了出现更多相同的项.通过环环相扣、逐步深入的问题串激发了学生的思维，学生在探究过程中感悟了特殊到一般、类比、加减消元、分类讨论等数学思想方法，提升了逻辑推理和数学运算等核心素养，学生通过真实的探究活动，较好地突破了难点，即“为什么等式两边同乘以公比q？”［9］教师向学生提出一系列问题，让学生自主地观察发现、比较、思考和探究，进而自然地引出错位相减法，提高学生类比、分析、综合的能力，使学生体会到知识的发生发展过程.

3.2 突出问题情境创设的丰富性

人教A版通过使用“古印度国王奖赏国际象棋的发明者”的故事情境引入，进而把情境中的问题转化为求等比数列前n项和问题；北师大版通过“小林和小明做贷款游戏”的故事情境，根据所要还贷款钱数引出等比数列前n项和问题.人教A版和北师大版教材都以实际问题情境导入，突出等比数列前n项和产生的现实需要.

教师是学生思维向导的主角，创设问题情境有助于更好地集中学生的注意力，诱发学生思维的积极性，引起学生更多的联想，调动起学生已有的知识、经验、感受和兴趣，从而积极地参与知识的获取过程、问题的解决过程［10］.核心素养视角下的数学问题情境创设需要根据不同知识内容的特点及学生学习需要，向学生呈现多样化的问题情境，可通过设置探究式问题进行情境设计；通过组织教学活动构建问题情境；立足学生兴趣进行问题情境创设以及利用多媒体创设动态问题情境［11］.

3.3 重视例习题选择的典型性和层次性

人教A版在习题综合运用的第九题设置了运用等比数列前n项和求流行病感染轮数和天数，北师大版在B组习题第一题设置了放射性物质衰减情况的题目，苏教版在例5设置了银行贷款的题目，突出了等比数列前n项和在实际生活中的广泛应用，如贷款、医疗诊断、工厂产量等都要用到等比数列前n项和的知识，使学生体味到等比数列前n项和的应用价值，人教A版在拓广探索习题中设计了数列求和的证明题，有利于发展学生的逻辑推理素养.

人教版的习题设置了“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个层次，北师大版的习题分为“A组”和“B组”两个层次，苏教版习题分为“感受·理解”“思考·运用”“探究·拓展”三个层次，教师可以根据学生的不同情况布置分层练习，从而达到因材施教、满足学生个性化发展要求.

3.4 加强相关数学史的合理融入

数学史是提升学生数学素养的重要依托，教师在数学史材料的选取过程中，需遵循科学性、趣味性、人文性、有效性的原则，重视中国优秀传统文化中的数学元素，促进学生德智共同发展［12］.人教A版在“等比数列前n项和”开头介绍了古印度国王奖赏国际象棋发明者，进而求棋盘麦粒数的故事，有助于提升学生数学抽象和数学建模的核心素养.在阅读与思考栏目展示了中国古代数学家求数列和的方法，通过利用几何图形与几何模型进行求和公式的推导，培养学生的直观想象素养，在数学教材中融入数学史有利于培养和提高学生的数学核心素养［13］.在三版新教材中“等比数列前n项和”比较研究的基础上，需要整合各版本的优势，从而创造性地运用教材.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 潘伊人.苏教版与人教A版数学教材的比较研究——以“等比数列的前n项和”为例［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2018（24）：11-13.

［3］ 张世凡，杨刚，余业兵.着眼“四能”提升 培育数学核心素养——以“等比数列的前n项和”教学为例［J］.中学数学教学参考，2020（31）：40-43.

［4］ 杨孝斌，李光伟，包艳.“等比数列的前n项和”公式推导的多样化教学设计与对比分析［J］.中小学课堂教学研究，2020（4）：34-37+40.

［5］ 卓斌.相信学生的“再创造”——“等比数列前n项和公式的推导”教学再现与反思［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2012（2）：81-84.

［6］ 全俐绒.人教A版与北师大版高中数学教材数列内容的比较研究［D］.天水师范学院，2019.

［7］ 鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较［J］.全球教育展望，2002，31（9）：48-52.

［8］ 何伟.激活思维 灵动课堂——以“等比数列的前n项和”的同课异构教学为例［J］.数学教学通讯，2022（33）：23-25.

［9］ 詹大军，陈香君，赵思林.等比数列前n项和公式的探究教学与思考［J］.数学之友，2022，36（20）：37-40.

［10］ 金鹏.问题引领探究 演绎美妙课堂——《等比数列前n项和》教学实录与反思［J］.数学之友，2017（1）：46-49.

［11］ 樊吉如.浅谈新课程背景下高中数学问题情境的创设［J］.数学学习与研究，2021（3）：19-20.

［12］ 常海斌.高中数学教材中数学史内容对比研究的一个框架——以新人教A版高中数学必修册和北师版高中数学必修册为例［J］.中学数学杂志，2022（7）：17-21.

［13］ 王保红，郭甜甜，陈梦瑶.高中数学必修教材中数学史内容的比较研究——以人教A版和北师大版为例［J］.中学数学，2019（13）：24-27.

基金项目：山西省研究生精品教学案例项目 “数学课例分析”（编号：2023AL35）.

韩龙淑为本文通讯作者.