基于“三层面”看人教A版新教材变化

兰素梅　孙海

摘 要：基本不等式是高中阶段的重难点之一，具有工具性作用，在解决函数最值、实际问题等方面都具有重要的作用，同时也可以发展学生的数学抽象、数学运算等核心素养.因此，以新、旧人教A版教材为例，从教材参考依据、结构编排、内容呈现、课后习题四个方面对基本不等式的变化作出分析，并从“知识、学生、教学”三个层面分析其变化原因.

关键词：新教材；旧教材；对比分析；基本不等式

基本不等式是高中数学最重要的内容之一，具有广泛的应用性和强大的拓展性，常常涉及到化归与转化、数形结合等思想，由基本不等式可以推导得出柯西不等式、琴生不等式、排序不等式等.同时，基本不等式也蕴含着一定的数学文化和数学核心素养.在最新一次教材修订中，基本不等式的位置、结构、内容、例题等方面都发生了一定的变化，下面以旧人教A版（2007年第3版必修5，下同）与新人教A版（2019年第1版必修1，下同）为例，对“基本不等式”一节进行比较分析.

1 人教A版新、旧教材变化分析

1.1 教材依据变化

数学课程标准是数学教材编写的依据，是教师进行教学的直接材料，因此，在对新旧人教A版教材进行对比之前，也要对新、旧高中数学课程标准进行比较分析.

由表1可知，新课标对于基本不等式的证明过程不做要求，更加注重基本不等式的应用性，强调不等式中所蕴含的数形结合、化归与转化、消元等思想，将其作为初高中知识的衔接过渡放在“预备知识”中，在日后学习中可以辅助解决其他问题.而旧课标更加重视基本不等式与实际生活的联系，希望学生能从实际情境中抽象出基本不等式，以培养学生用数学解决问题的能力.整体而言，旧课标在基本不等式一节中更加注重“双基”的培养，而新课标在这一节中更加注重“四基”的培养.

1.2 结构编排变化

从教材序列上看，旧教材将基本不等式编排在必修5第三章，而新教材结合不等式的相关内容将其编排在必修一第三章，与前两章一起构成高中数学的“预备知识”，有助于学生与初中所学知识联系起来，体现出新教材更加注重初高中阶段的衔接.

从教材章节上看，新、旧教材在这一章节中知识点存在差异，魏嘉通过ISM法对新、旧教材这一章节的核心要素进行分析，得出旧教材核心要素有18个，而新教材核心要素只有11个［2］.首先，新教材删去了“二元一次不等式（组）简单的线性规划问题”一节，本节内容与高等代数相关，学生在学习的时候往往不能理解线性规划真正的意义，大部分学生只是机械地操作教师教授的步骤.其次，新教材利用等式性质帮助学生理解不等式性质，培养学生类比的思维，且由于新教材将本章内容提前至必修一第三章，而旧教材不等式性质第8条涉及到指数运算的相关知识，故新教材对其进行了删除.最后，新教材将“基本不等式”一节提前至本章第2节，并且将“一元二次不等式及其解法”改为“二次函数与一元二次方程、不等式”，体现了函数、方程、不等式三者之间的密切联系.

1.3 内容呈现变化

首先，旧教材以数学大会会标和赵爽弦图得到重要不等式，在此基础上通过对a2和b2进行替换，得到基本不等式.新教材没有改变重要不等式的引入方式，但是将重要不等式放在基本不等式一节之前，在用作差法比较两个实数的大小之后放入重要不等式，紧接着用作差法证明重要不等式，体现了作差法的应用，为后面用分析法证明基本不等式作铺垫.在基本不等式一节引入上，新教材提出“乘法公式在代数运算中有着重要作用，是否存在一些不等式在解决不等问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢”，明确了基本不等式的研究意义［3］.

其次，新、旧教材在得到基本不等式之后，新教材对基本不等式的代数意义进行了说明，而旧教材是在用分析法证明了基本不等式以及得到基本不等式的几何意义之后，以批注的形式说明算术平均数和几何平均数，并未对基本不等式的几何意义进行说明.

1.4 课后习题变化

从习题数量上看，新教材相较于旧教材数量有所增加.从题型上看，新、旧教材所含题型无异，但旧教材更加侧重于计算题和应用题，而新教材增加了些许证明题，更加突出了基本不等式在数学中的应用.旧教材在习题中更加注重培养学生用数学解决实际问题的能力，而新教材不仅注重培养学生用数学解决实际问题的能力，还注重培养学生的数学思维能力和数学思维方法，这也是新教材加入证明题的原因之一.从习题层次上看，旧教材将课后习题分为“A组”和“B组”，“B组”相较于“A组”难度有所上升.“A组”题量更大，更加注重基础，满足更多学生的需求；“B组”能够让学生掌握基础的情况下继续提高数学思维能力.新教材仍然分层设计习题，但将课后习题设置为“复习巩固、综合应用、拓广探索”三个层次，这三个层次难度层层递进，相较于旧教材更加细致，能满足各个水平阶段学生的需求，也更有助于教师测评学生对于本节知识的掌握情况.

2 人教A版新、旧教材变化的原因

2.1 知识层面

新教材将基本不等式一节提前至必修一第二章，笔者认为主要有以下原因：第一、基本不等式具有基础工具性的作用，将基本不等式提前至预备知识有助于学生后续用基本不等式解题.第二、在本章中，相等关系和不等关系学生在初中已经初步学习过了，所以将其放在预备知识中也是合理的，而在本章第一节讲解不等式性质时，新教材类比等式性质帮助学生理解不等式性质，这种类比学习的思想在高中阶段也是常用的方法.第三、新教材在编排不等式一章时，延续了初中研究等式内容的顺序，即“现实背景—概念—性质—解法—应用”，所以将不等式一章提前是符合学生学习规律的.

2.2 学生层面

新课标强调数学要发展学生的核心素养.旧教材对于基本不等式一节，更加注重数学与生活的联系，培养学生用数学解决实际问题的能力，缺乏对于学生数学核心素养的培养.新教材不仅注重培养学生用数学解决实际问题的能力，还注重发展学生的数学核心素养以及数学思维方法.

2.3 教学层面

旧教材将基本不等式编排在必修五最后一章，与其他部分脱离，难以发挥基本不等式的工具性作用，不利于教师教学.新教材将基本不等式提前至预备知识，学生在后续学习中可以充分发挥基本不等式的工具性作用.同时，基本不等式一节中蕴含着数形结合的思想、函数思想以及数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，为后续学习作铺垫.新教材将不等式一章提前至预备知识中，有利于在教与学的过程中明确基本不等式的地位和作用.

3 总结

通过对新、旧人教A版教材结构编排、内容呈现、习题对比分析，发现在结构编排上，新教材更加注重初高中知识的衔接，有利于学生的整体知识建构；在内容呈现上，新教材将重要不等式的推导放在了前面一节中，与不等式的性质联系更加密切，同时，在基本不等式的引入上，新教材类比乘法公式在代数运算中的作用，更加明确基本不等式的研究意义.从整体上看，虽然新教材对于本节乃至本章的课程广度和课程深度更低，但分给这一章的课时较少，所以课程难度相较于旧教材有所上升，这对于教师专业素养也做了更高的要求.

参考文献：

［1］ 中華人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］ 魏嘉.高中数学人教A版新旧教材“不等式”部分比较研究［D］.哈尔滨师范大学，2021.

［3］ 张小吉.高中数学必修教材“不等式”内容的比较研究［D］.福建师范大学，2020.