数学建模在“图论”教学中的作用解析

薛丽娜

【摘要】为探讨数学建模在“图论”教学中的应用和效果，文章介绍了数学建模的基本概念，详细阐述了数学建模在“图论”教学中的具体应用，分析了数学建模在“图论”教学中的优势和效果，并且提出了数学建模在“图论”教学中的实施策略和方法.

【关键词】数学建模；“图论”教学；实施策略

【基金项目】本文系山西省教育科学“十四五”规划2022年度课题“CSCL情境中开放大学在线教学互动有效性研究”（课题编号：GH-220335）的阶段性研究成果

引 言

数学建模就是根据实际问题建立数学模型，并对数学模型进行求解，然后根据结果解决实际问题的过程.在数学教学中，数学建模被应用于各个方面.文章将探讨数学建模在“图论”教学中的具体应用，分析其优势和效果，并提出实施策略和方法.教师在研究“图论”教学中应用数学建模应考虑以下两个主要方面：一是“图论”本身的特性；二是数学建模在教学中的普遍应用.教师将数学建模引入“图论”教学中，可以使学生更好地理解和应用图论的知识，培养他们解决实际问题的能力，从而满足现代社会对综合型、实践型人才的需求.

一、数学建模的基本概念

（一）数学建模的定义和目标

数学建模是将实际问题抽象为数学模型的过程.它通过数学工具和方法描述实际问题，分析问题的规律，并提出解决方案.数学建模的目标是深入理解问题的本质，揭示问题的特征和规律，从而为解决实际问题提供合理的数学解决策略.数学建模的定义体现了数学在解决实际问题中的作用和价值.通过建立数学模型，人们可以抽象出问题的关键要素，并利用数学工具和方法对其进行描述和分析.教师在教学中应用数学建模，不仅可以解决具体的实际问题，还可以培养学生的思维能力、创新能力和实际应用能力.

（二）數学建模的基本步骤

数学建模通常包括以下基本步骤：问题的描述与理解、建立数学模型、模型的分析和求解以及结果的验证和应用.首先，问题的描述与理解是数学建模的起点.这一步骤涉及对实际问题的深入理解和分析，学生应弄清问题的背景、目标和约束条件.对此，学生可通过与问题相关的调查研究和数据收集，确定问题的核心要素和关键因素.其次，建立数学模型是数学建模的关键步骤.这一步骤需要选择合适的数学模型，并将问题抽象为数学形式，定义数学变量和约束条件.数学模型可以是数学方程、函数、图表或其他数学描述形式，其用来表示实际问题中变量之间的关系.再次，模型的分析和求解是数学建模的核心内容.这一步骤需要运用数学工具和技巧进行模型的数学分析和求解，其中涉及数值计算、符号计算、图论分析、概率统计等方法.学生通过模型的分析和求解，可以获得关于问题的定性和定量结论，从而进一步理解问题的特征和规律.最后，结果的验证和应用是数学建模的最终目标.这一步骤需要对模型的结果进行验证和评估，以确定模型的准确性和适用性.验证可以通过实际数据的对比、敏感性分析、误差分析等方法进行，同时可将模型的结果应用于实际问题的解决和决策中，从而为实际问题提供合理的解决方案和决策支持.整个数学建模的过程是一个循环迭代的过程，学生在这个过程中不断优化和改进，逐步提高模型的准确性和适用性，从而获得最优的问题解决方案.

（三）数学建模涉及的数学工具和技巧

数学建模涉及多种数学工具和技巧，它们可支持问题的数学描述、分析和求解.其中，数学分析是基础，包括微积分、线性代数、概率论等，用于构建模型和进行分析.最优化理论包括线性规划、整数规划、非线性规划等，可以引入约束条件和优化目标，用于解决优化问题.统计学方法包括统计推断、回归分析、假设检验等，用于模型验证和评估.图论分析则用于描述和分析复杂系统中的关系和相互作用，如建模和分析网络、路径、连通性等问题.此外，数学建模还可借助数学建模软件和工具，如MATLAB，Python，GAMS等.这些工具提供了函数库和工具箱，支持模型的建立、分析和求解，提高了建模的效率和准确性.在数学建模的过程中，具体使用哪些数学工具和技巧取决于问题的性质和要求.学生需要根据实际问题的特点，灵活运用数学工具和技巧，选择最合适的方法解决问题.此外，数学建模还需要结合其他学科领域的知识，如物理学、经济学、工程学等，以获得更全面、准确的问题解决方案.学生综合运用各种数学工具和技巧可以更好地理解问题、构建模型和应对实际挑战.

二、数学建模在“图论”教学中的具体应用

（一）实际问题与图模型的映射

在“图论”教学中，数学建模扮演着至关重要的角色.这一方法帮助学生将实际问题与图模型联系起来，从而使学生深刻地理解问题的结构和相互关系.数学建模的核心思想在于将复杂的现实问题抽象为数学模型，这种模型通常以数学符号和数量关系的形式进行表达，而图论则是一种非常适合用来建模和解决各种实际问题的数学工具.在“图论”教学中，数学建模使学生能够掌握将实际问题转化为图模型的过程，这一过程包括以下几个关键步骤：

1.问题抽象

学生首先需要深入理解实际问题的本质，识别其中的关键元素和相互关系.例如，若问题涉及路径规划，则学生需要识别出路径中的节点和边.

2.图的构建

学生可以运用“图论”的基本概念构建一个图，其中节点代表问题中的元素，边代表元素之间的联系.这个图可以是有向图、无向图、带权图等，具体形式取决于问题的特性.

3.数学建模

学生需要将问题的数学模型与图相对应.通常，这涉及将问题的条件和约束映射到图的性质和限制中.例如，将路径长度的限制映射为边的权重.

4.问题求解

一旦建立了与实际问题相对应的图模型，学生就可以运用“图论”的算法和技巧解决问题，这包括寻找路径、计算最短距离、查找最小生成树等.

例如，学生遇到一个城市间的交通规划问题.他们可以将城市表示为图中的节点，将道路表示为图中的边，然后利用“图论”算法找到最短路径或最小生成树，以解决交通规划难题.通过这个过程，学生不仅掌握了“图论”的基本概念，还学会了如何将这些概念应用于实际问题的建模和求解中，从而为更好地理解图论的实际应用奠定了坚实基础.

（二）图模型的分析、求解和验证

通过数学建模，学生可以将实际问题转化为图模型，并进行深入的分析、求解和验证.其中，路径问题是一个常见的应用，学生可以运用图的遍历算法如深度优先搜索或广度优先搜索解决.这样他们可以找到两个城市之间的最短路径，或找到一条经过城市数量最少的路径.另外，最小生成树问题也是一个重要的应用，学生可以运用最小生成树算法如Prim算法或Kruskal算法解决.此外，图的连通性问题也是一个关注点，学生可以使用连通性算法确定图是否连通以及节点之间是否存在特定的连接.网络流问题涉及资源分配和最大流、最小割问题，学生可以运用网络流算法解决相关实际问题.通过这些分析、求解和验证过程，学生能够将图论知识应用于解决实际问题过程中，并深入理解图的特性和算法的运作原理.这样的实践经验将帮助他们形成问题解决的能力和创新思维，提升其数学建模的实际应用能力.

三、数学建模在“图论”教学中的优势和效果

（一）激发学生学习兴趣和主动性

在“图论”教学中，数学建模可以将抽象的数学概念与实际问题相结合，激发学生的学习兴趣和主动性.传统的“图论”教学侧重理论推导和抽象定义，缺少与实际问题的联系.而数学建模的引入，可以让学生在解决实际问题的过程中感受到数学的实用性和应用性，从而增强对“图论”知识的学习动力.通过实际问题的引入，学生能够更加主动地参与学习，积极思考如何运用数学知识解决实际问题.

（二）培养学生的问题解决能力和创新思维

数学建模需要学生具有发现和解决问题的能力.传统的“图论”教学往往侧重教授已有的解决方法和套路，而数学建模则要求学生自主思考问题，自主寻找解决方法，创新思路.因此，通过对实际问题的建模和求解，学生能够思考多种解决方案，提高灵活运用数学知识解决问题的能力.这种培养方法，不仅对学生学习图论的知识有益，还对其在其他学科的学习和实际生活中的问题解决有着积极影响.

（三）提高学生对图论的理解和实际应用能力

通过数学建模，学生能够将“图论”的抽象概念融入实际问题中，从而提高对“图论”的理解和应用能力.首先，数学建模使学生能够直观地理解“图论”的概念.通过将实际问题映射为图模型并亲自解决，学生可以亲身体验节点、边和路径在实际情境中的运用，加深对“图论”基本概念的理解.其次，数学建模为学生提供了实际案例.学生能够将“图论”的知识应用到解决交通规划、社交网络分析、通信网络设计等真实案例中.通过真实案例的解决，学生能更好地理解“图论”在解决实际问题时的价值和应用性.最后，数学建模涉及跨学科知识的应用.学生需要在多个学科领域建立联系.例如，学生在解决社交网络分析问题时涉及计算机科学、社会学和“图论”等多个领域的知识.这种跨学科知识的应用培养了学生的综合思维能力，使他们能够将不同学科的知识结合起来解决复杂问题.通过数学建模，学生不仅能够加深对“图论”理论知识的理解，还能培养实际应用能力，从而为将来在相关领域中应用“图论”知识奠定坚实的基础.

四、数学建模在“图论”教学中的实施策略和方法

（一）教学内容设计和课堂活动安排

在“图论”教学中，教师设计合适的教学内容，精心安排课堂活动，可以有效促进数学建模的实施.教师可以选择与学生实际生活相关的问题，将其转化为适合学生理解的“图论”问题，从而引导学生运用“图论”知识进行数学建模.例如，教师可在城市道路规划中，引出最短路径问题；在社交网络中，讨论人际关系的图模型；等等.这样的教学内容可以激发学生的兴趣，提高他们对“图论”知识的学习动力.此外，教师还可以采用小组合作的形式开展课堂活动.在实际问题的引导下，教师组织学生分成小组，共同探讨和解决问题.每个小组可以分配不同的任务，如进行图的建模、寻找解决方案、分析结果等.通过小组活动，学生可以互相交流和讨论，提高合作能力和团队精神，并从中获得更丰富的学习体验.

（二）学生作业和小组研究项目的设计

為了鼓励学生主动探索和应用“图论”知识，教师可以设计与数学建模有关的作业和小组研究项目.例如，教师可要求学生选择一个实际问题进行建模，并进行分析和求解.学生可以自主选择合适的图模型，并应用有关算法和技术进行问题求解，最终展示他们的研究成果.在小组研究项目中，教师可以给予学生一定的自主权，让他们自己选择感兴趣的问题进行探究.这样的任务设计可以激发学生的研究兴趣和创造性思维，培养他们的问题解决能力和创新意识.此外，教师还要为学生提供充足的学习资源，以便他们在研究过程中遇到困难时能够及时解决.

（三）数学软件和工具的应用

数学软件和工具在数学建模教学中起到了重要的辅助作用.在“图论”教学中，教师可以引导学生使用有关的数学建模软件和工具，如Gephi，NetworkX等进行图的可视化分析.这些工具可以帮助学生直观地理解和探索图的特性、图的算法等重要概念，从而增强他们的“图论”学习效果.教师可以在课堂上演示数学软件和工具的使用方法，引导学生进行实际操作.同时，教师要注重培养学生对软件和工具的独立应用能力，鼓励他们在作业和研究项目中灵活运用这些工具进行建模和分析.

结 语

数学建模在“图论”教学中具有重要的应用价值.通过数学建模，学生能够更深入地理解和应用图论知识，同时形成问题解决能力和创新思维.教师在“图论”教学中应积极应用数学建模，从而为学生提供更丰富的学习体验，培养学生的应用能力.

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