数学说题在建构运算能力中的关键作用

周本圣

【摘   要】在运算教学的过程中引入学生说题活动，可以帮助学生理解算理、掌握算法。教师围绕“在数学说题中渗透数学思想”“在数学说题中理解算理”“在数学说题中构建算法”的探索，切实提升学生的运算能力。

【关键词】数学说题；运算能力；算理；算法

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：运算能力主要指根据法则和运算律进行正确运算的能力。主要表现为：能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展。学生在运算学习的过程中，往往“受到问题中所牵涉到的‘数的类型‘问题的情境模式及‘它们之间的互动所影响” ［1］，而消除这些影响的方法在于学生对算理的深刻理解以及运算能力的提升。数学说题——让学生的数学思维可视可听［2］，是“说数学”的一个基本形式。在运算教学的过程中引入学生说题活动，可以帮助学生理解算理、掌握算法；在说题的思维表达过程中，可以帮助学生理解运算问题，掌握合理简洁的运算策略。在教学实践中，要以理解算理和构建算法为落脚点，通过概念、性质、定律、法则理解算理，通过转化、优化、凑整、化简构建算法，发挥数学说题在其中的关键作用，推动学生运算能力的发展（如图1）。

一、在数学说题中渗透数学思想

从小学到高中，数学书越学越多、越学越厚。那么如何能够越学越薄呢？最好的方法就是，适当掌握双基，提炼思想方法，学会运用思想方法。虽然在小学阶段无须过度强调数学思想，但适当的渗透是必要的。正如顾沛教授所言：“数学思想的渗透是长期的，应该从小学一年级开始，也完全可以从小学一年级开始。” 在丰富的数学思想中，涉及运算能力的思想方法，主要有转化、演绎、代换、消元、化简、数形结合等。数学说题在形成这些思想方法的过程中，有着重要的作用。说题为学生提供了将零星的想法归纳成语言并展现出来的机会，加上有效的说题评价的指引，可以促进学生积极思考，逐步形成思想方法。在说题实践中，需关注内容的一致性、表达的有序性、方法的有效性和选择的灵活性。

（一）内容的一致性

同一类型的题目往往蕴含的思想方法是一致的。在阶段性练习中，为了渗透某种思想方法，在选择内容时需要保持一致性。比如在计算“[1/2]+[1/4]+[1/8]+[1/16]”时渗透数形结合思想，那么在“[1/3]+[2/9]+[4/27]+[8/81]”中同样也能体现。数学说题时，同桌互说互听互评，给学生一个具体的探索平台，经历思想方法形成的过程。学生在说题过程中的“旁征博引”“抽丝剥茧”，可以将相关现象关联起来思考，从而感悟思想方法。

（二）表达的有序性

在计算教学中，学生说题能规范数学语言表达，对帮助说题者梳理解题思路有着很强的支撑作用，对于倾听者也有着很好的引领和示范作用。然而，小学生用数学语言表达时，往往受其自身逻辑思维的不完善和语言表达的不完美的限制，表现出前后颠倒、循环重复、过度跳跃等现象。说题过程中，教师要以有序性为指引，帮助学生进行合理调整，如通过说题记录表格的形式作规范引导，将涉及思想方法的语言确定下来，使得表达逻辑更加明晰。

（三）方法的有效性

促进说题有效性的方法是多种多样的。计算教学中，让学生在说题过程中穿插画图，以达到数形结合、视听并举的目的，可以帮助学生沟通数与数之间的关联，效果立竿见影。例如，除数是分数的除法相关内容，算理的理解是难点所在，教师可以引导学生在多样化的表征中，比较、分析各种算法的思维路径，感受数的运算的有效性。在计算“2÷[2/3]”的说题中，鼓励学生创新表达，把重点放在除以[2/3]是如何转化为乘[3/2]的，感受转化的有效性。

（四）选择的灵活性

思想方法的灵活性旨在提高运算效率。如估算就是体现灵活性很好的方法，估算涉及理解数的大小、倍数关系和调整数字等能力，估算思想包括重组、转换以及调整等。估算的过程往往不容易书写，或者不用书写，但是口头表达是必要的，也很关键，因此，结合说题在估算中培养数感，恰如其分。例如，用估算教学“[7/16+10/19]”时，教师可以先提问：两个加数具有什么共同特征？引导学生发现两个加数都接近[1/2]。再启发他们利用参照数进行合理估算。在将[1/2分别调整为与7/16和10/19]等分母或等分子的过程中，感受同分母看分子和同分子看分母的较为灵活的运算思想。

二、在数学说题中理解算理

（一）算理的内在结构

数学运算过程中所运用的数学知识是程序性知识［3］，主要表现为特定的數学运算方法和运算步骤，其背后有相应的数学知识和原理作为支撑。数学运算的过程是进行数学推理的过程［4］，即基于概念、性质、定律与法则，指向“为什么要这样算”。例如，在小数乘法中，为什么可以先按照整数乘法进行计算再确定小数位数呢？学生在学习的过程中，需要明白其中的道理，掌握其算理的内在结构。教师可以把图2中的方法①、方法②两种方法结合起来，将乘除法相关定律与性质蕴含其中，这有利于学生理解小数乘法的算理。

（二）数学说题在理解算理中的关键作用

课时教学容易将单元整体结构割裂，难以形成知识的网状结构。运算教学尤其如此，整数、分数、小数等相关知识与运算被安排在不同学段和不同年级。这样的安排时间跨度大，基本算理的一致性很难得到关联。数学说题正是为学生搭建了自主学习的平台，他们可以通过说题将自己碎片化的认知整合起来，结合运算法则、运算律和运算性质等分析算理。如图2中“0.8×0.3”的两种表达方式，通过说题让学生把每一步的算理说出来，可以强化理解，很好地实现对算理内在结构的构建。再如“只有计数单位相同的数才能直接相加减”，这是加减法的算理。无论是整数、小数、分数，都要根据此算理进行加减运算，体现了数的运算一致性。在书面练习中，很难将这些算理一一展示出来。而说题则弥补了这一缺憾，即学生在说题过程中，数学语言的表达过程要依据算理。因此，数学说题在理解算理中起着关键作用。

三、在数学说题中构建算法

选择合理简洁的运算方法决定了运算的繁简程度。如何帮助学生选择恰当的运算方法呢？ 数学说题开辟了一条新路径，将传统的“练”与新颖的“说”有机结合。为此，笔者结合数学说题如何突破运算中的常见问题作了一些讨论。

（一）赋予意义辨明运算顺序

教学中经常遇到类似“30-30×0.5=0”“25×4÷25×4=1”的计算错误。学生是凭着“感觉”计算的，凑整思想的干扰以及视觉效应上追求“方便”，导致了错误的产生。究其原因还是不明算理，不明白“四则混合运算时为什么要先算乘除，再算加减”“同一级运算时为什么要按照从左往右算”。

解决这样的问题，可以通过学生说题，引导他们结合生活实际赋予算式一个意义，实现对运算顺序的理解。如“糖果每千克30元，甲买了1千克，乙买了0.5千克，甲比乙多花了多少钱？”就可以很好地帮助学生理解“30-30×0.5”先乘后减的道理。

（二）优化思想开拓方法多样化

在优化思想的指引下，开拓计算方法的多样化可以引导学生在运算广度上探寻，多层次、多角度地理解算理、构建算法。例如，“87+99”的计算（如图3）。

在学生说题中呈现多种计算方法，可以引发他们在算法广度上的思考，提升他们算法的构建水平。教学中可以结合说题让学生在方法①中领会“只有计数单位相同的数才能相加减”和“满十进一”的道理；在方法②中领会先分后合的道理；在方法③中领会“加多了减回去”的盈亏法则；在方法④中领会加法计算中“和不变”的道理。方法③和方法④还蕴含了“凑整”思想。这些道理和思想，恰恰是构建算法合理性的支柱，也是学生数感培养的基石。一个学生在说题中，可以促使其他学生“耳濡目染”，很好地将这些道理和方法进行放大。

（三）凑整思想指引简便运算

简便计算的本质是“凑整”。借助于说题可以有效促进学生对凑整的认识，强化凑整意识，落实凑整思想。例如，“13.23+11.98-3.23” “7 ×0.8 ×[1/7]×125”“999 × 888÷666÷444”等题型，在说题中，学生可以通过自己的语言去表达想法与做法，构建起属于自己独特的一套“理论”。在说题“13.23+11.98-3.23”时，学生会用到“消灭干净”“刚好剩10”等说法；在说题“7 ×0.8 ×[17]×125”时，学生会用到“连乘”“找好朋友数”“铁杆朋友”“刚好约掉”等说法；在说题“999 × 888÷666÷444”时，学生会用到“倍数关系”“共同因数”“数字特征”“转化”等说法。这些个性化说法的使用过程，就是“凑整”思想的建立过程。

综上，将说题应用于运算教学的关键之处，可以为理解算理和构建算法提供有效途径，切实提升学生的运算能力。

参考文献：

［1］鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［2］赵洪贵，吴立宝.小学数学有效说题框架与案例剖析［J］.天津师范大学学报（基础教育版），2019，20（4）：36-39.

［3］喻平.数学核心素养的培养：知識分类视角［J］.教育理论与实践，2018，38（17）：3-6．

［4］董林伟.倾听学生的思考：例谈运算能力及其培养途径［J］.数学通报，2009，48（9）：13-16，20．