动点产生的全等三角形存在性问题

杨振刚

【摘要】 动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题;而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中考查创新意识、创新能力的重要题型.解决动态问题，要用分类思想把这个过程分为几个阶段，在每一个阶段抓住某一静止的瞬间进行分析，进而解决问题.

【关键词】 动态几何题;运动变化;分类思想;静止

动点型问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性.下面通过动点全等三角形的存在性来加以说明，供同学们参考.

例1 如图1，已知线段AB=20米，MA⊥AB于点A，MA=6米，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P，Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（）

（A） 5. （B）5或10.

（C） 10.（D）6或10.

解 由题意，BP=x，

AP=20-x，BQ=3x，

∠A=∠B=90°，

當△CAP≌△PBQ时，AP=BQ，则

20-x=3x，解得x=5.

当△CAP≌△QBP时，AP=BP，则

20-x=x，解得x=10，

当x=10时，AC=BQ=30米，但MA=5米，

故x=10不符合题意，舍去，

故答案为（A）.

例2 如图2，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动.则当时间t为（）s时，能够使△BPE与△CQP全等.

（A） 1.（B）1或4.

（C）1或2.（D） 3.

解 因为AB=20，

AE=6，BC=16，

所以BE=14，BP=2t，

PC=16-2t，

当△BPE≌△CQP时，有BE=PC，

则14=16-2t，解得t=1.

当△BPE≌△CPQ时，有BP=PC，

则2t=16-2t，解得t=4.

故答案为（B）.

例3 如图3，四边形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C，点E为AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等.

解 设点P运动的时间为t秒，

则BP=3t，CP=8-3t，

因为点E为AB的中点，AB=10厘米，

所以AE=BE=5厘米，

因为∠B=∠C，

所以∠B和∠C为对应角.

①当△BPE≌△CQP时，

BE=CP=5，BP=CQ，

则5=8-3t，解得t=1，

所以BP=CQ=3，

此时，点Q的运动速度为3÷1=3厘米/秒.

②当△BPE≌△CPQ时，

BE=CQ=5，BP=CP，

则3t=8-3t，解得t=43，

所以点Q的运动速度为5÷43=154厘米/秒.

故答案为3或154.

例4 如图4，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直线l经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动;动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点Q的速度分别为2cm/s和3cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束.在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t=秒时，△PEC与△QFC全等.

解 由题意得AP=2t，BQ=3t，

AC=6cm，BC=8cm.

①如图5，点P在AC上，点Q在BC上，当△PEC≌△CFQ时，则PC=CQ，

即6-2t=8-3t，

解得t=2.

②如图6，当点Q与P重合时，△PEC≌△QFC全等，

则PC=CQ，

所以6-2t=3t-8，解得t=145，

③如图7，当点P在BC上，点Q在AC上，只有当点Q与A重合时，△PEC≌△CFQ，

则PC=CQ，

即2t-6=6，解得t=6，

综上所述：当t=2秒或145秒或6秒时，△PEC与△QFC全等，

故答案为2或145或6.

上述几例通过三角形全等列方程来解决动点问题，解题时要把握在某一时刻三角形可以全等，抓住了全等，得到线段长相等，然后列方程.