分类思想在中学数学中的应用

马书平

摘 要：解决数学问题时会有多种情况，常将它们进行分类，列举了高中数学中常用的几种分类形式，每个分类形式都列举了案例，对照案例进行分析指导，从中找出解决问题的思维方法，从而达到融会贯通的目的。

关键词：分类思想；中学数学；应用

在解决数学问题的时候，往往有多种思路和方法，对尽可能多的情况进行分析和整理，最终求得结果。在这个过程中先是逐步求解，进而综合求解，这种方法就是分类讨论法。这种方法逻辑性强，可以锻炼学生的思维能力，是一种重要的高中数学思想。下面重点介绍几类高中数学中常见的分类思想的应用。

一、由绝对值引起的分类讨论

绝对值的相关问题，采用分类讨论，最常用的方法是零点讨论分类，并去绝对值号解答。

例：代数式的所有可能的值有（ ）

A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个

分析：1.本题中的a，b皆不能为0。

2.绝对值包含有未知数，而且没有给出取值范围，那么就要根据各种情况进行分别讨论，将所有情况分类讨论，从而得出答案。

二、由不等式引起的分类讨论

例：解不等式≥x。

这种无理不等式，首先需要去根号，然后转化为有理不等式，那么根据不等式的原理，当两边同时为正的时候，不等号方向不会改变。那么据此分析此题的运算分类方法，并对x的取值进行分类。

三、由等比数列的前n项和公式引起的分类讨论

例：已知等比数列的前n项之和为Sn，前n+1项之和为Sn+1，公比q>0，令Tn=，求Tn。

分析：对于这类问题的计算，要根据q进行分析，分q为1或者q不为1两种情况。

当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=。

另外，由于当q<1时，qn=0，而已知条件中q>0，

故还需对q再次分类讨论。

四、由排列组合问题引起的分类讨论

例如，某车间里有10名工作人员，其中4人只能做车工，有3人只能做钳工，其余的人两种工作都会。那么如果选择其中6人，并且保证车工和钳工人数一样，都是3个人，那么一共有多少种方案。

如果先考虑钳工的选择方案，根据题意可得一共有C36种选

法。但是这样选择的话，并不确定所选人员中有几人是车钳工都可以做的，那么也就不清楚剩下的人中有几个人会做车工，所以车工的人员选择就不能确定。同理，如果先考虑车工，那么钳工的选择同样会出现这样的结果，因此，需要我们针对两种工作都能做的工人进行分类讨论。

（1）选出的6人中都只会做一种工作；（2）选出的6人中包含1名两种工作都会的；

（3）选出的6人中含2名两种工作都会的；（4）选出的6人中含有3名两种工作都会的。

五、由大小关系引起的分类讨论

大小关系在数学中最常见，其他很多数学知识都是以大小关系为基础进而演化出来的。因此在进行分类讨论的时候，一定要注意涉及其中的参变数。

例：已知集合A={x|x2-（2a+1）x+a2+a-2≤0}，B={x|x2-x-2<0}，求A∩B。

分析：集合B易求，集合A中含有参数a，既要考查不等式是否有解及解的情况，又要考查A与B的交集。

六、由直线在坐标轴上的截距引起的讨论

例：已知直线经过点（3，2），且在两坐标轴上的截距相等，求这条直线方程。

很多学生做题出错，往往是不会审题，看完题目就设直线的截距式方程，然后带入数值求解，但是很多学生可能会忽略这种方程式的条件限制。即，直线在两坐标轴上有截距且不为零。而再看本题，题干中提到了截距相等，那么都为0这种结果很多学生就忽略了。所以如果正规解答，要分类讨论。

七、由圆锥曲线的统一定义引起的分类讨论

例：设k∈R，方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）（k-4）表示什么曲线？

分析：容易想到把方程变形为=1，但这种变形需要k≠4，且k≠8，而且k-4与8-k的正负会引起曲线类型的不同，因此对k∈（-∞，+∞）要进行分类：k∈（-∞，4），k=4，k∈（4，8），k=8，k∈（8，+∞），又注意到k-4=8-k>0与k-4≠8-k（k-4>0且8-k>0）表示的曲线是不一样的，因此还应有一个“分界点”，即k=6，故恰当的分类为（-∞，4），4，（4，6），6，（6，8），8，（8，+∞）。

总之，分类讨论这种数学思想在数学学习中有非常重要的作用。

好好利用分类讨论，不仅可以总结知识，提高学习效率，更能培养学生的逻辑思维习惯，为解决其他问题打下思维基础。在解题过程中，巧妙利用分类方法，可以保证结果正确合理。但是也不能盲目套用，还是要根据题目有的放矢地选择解题方法。在普遍性中关注特殊，在特殊中归纳普遍，这样才能使学习效果实现最大化。

参考文献：

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[5]孔德刚.分类讨论在解题中的应用[J].数理化学习：高中版，2005.

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编辑 赵飞飞