核心素养下初中数学单元整体教学的实践

王梦宇

【摘要】本文以苏科版九年级下册“二次函数”这一单元教学为例，结合具体例题展示在运算能力、抽象能力、几何直观、推理能力、模型观念核心素养下单元整体教学的具体实施，以供参考.

【关键词】核心素养;初中数学;单元整体教学

“二次函数”是初中数学非常重要的单元，共包含二次函数、二次函数的图像和性质、用待定系数法确定二次函数表达式、二次函数与一元二次方程、用二次函数解决问题共五节内容.认真学习和研究义务教育数学课程标准（2022年版）中核心素养内容，精心筛选课堂例题，借助例题求解过程的展示，巩固学生所学，锻炼学生能力，促进其核心素养更好地提升.

1 “二次函数”教学实践

“二次函数”这一节利用学生熟悉的问题，自然引入“二次函数”概念，使学习者认识“二次函数”的一般形式.同时，使其具体问题具体分析，能够运用所学构建二次函数关系[1].在进行该部分内容教学时课堂上给学习者预留思考、讨论、归纳机会，使其主动参与数学知识形成中，进一步加深其印象.另外，将运算能力与核心素养融入实践中，在课堂上展示如下例题，与学习者一起分析，通过运算过程中的展示，使其把握运算技巧，提高运算效率，使得运算能力核心素养得到一定的发展.

例1 如图1，已知正方形ABCD的边长为5，点F为BC上一动点，两对角线相较于点E，过点E作EG⊥EF.点G在DC上.若BF的长为x，△EFG的面积为y，求y和x满足的函数关系.

该题主要考查三角形全等、等腰直角三角形性质以及二次函数知识.解题时需通过证明三角形全等实现等量代换，借助整体思想表示出等腰直角三角形的面积，降低运算复杂度.同时，需根据题意分析出正确的自变量范围.

由正方形的性质可知EC=EB，∠ECG=∠EBF=45°，∠BEC=90°，

即∠BEF+∠FEC=90°.由EG⊥EF，则∠FEC+∠CEG=90°，则∠BEF=∠CEG，则△BEF≌△CEG，则EF=EG，BF=CG，△FEG为等腰直角三角形.在△FGC中FC=5-x，GC=x，由勾股定理得到：

FG2=FC2+GC2=（5-x）2+x2，

EF=FGcos45°，

则y=12（FGcos45°）2=14FG2

=14[（5-x）2+x2]=-12x2-52x+254（0≤x≤5）.

2 “二次函数的图像和性质”教学实践

“二次函数的图像和性质”教学中，一方面运用多媒体技术展示二次函数图像，在课堂上采用一问一答的形式与学习者进行互动，使其通过认真观察、思考、抽象出二次函数图像特点，进一步澄清其对二次函数图像的认识.同时，引导其从数学角度描述函数图像，尤其在屏幕上动态展示二次函数平移，使其能够总结出正确的函数图像平移规律[2].另一方面，在进行例题教学中，为更好地培养学习者灵活运用二次函数性质对要求解的问题进行合理抽象，课堂上讲解以下例题，并要求学习者做好听课的总结，认真揣摩解题过程，把握抽象细节.

例2 已知二次函数y=ax2-2ax+a+5的图像上存在两点（-2，y1），（3，y2），满足y1

（A）-5.    （B）-1.

（C）1. （D）-2.

该题间接考察对二次函数理解以及熟练应用程度.解题时需透过现象看本质，判断出二次函数的二次项系数的正负，确定抛物线的开口方向.而后分析给定自变量范围和抛物线对称轴的大小关系，运用二次函数性质进行作答.

因二次函数图像过（-2，y1），（3，y2）两点，则y1=4a+4a+a+5=9a+5，y2=9a-6a+a+5=4a+5，由y1

解得a=-1，选择B项.

3 “用待定系数法确定二次函数表达式”教学实践

在进行这一节内容教学时可要求学习者自学课本中的例题，使其搞清楚用待定系数法确定二次函数表达式的步骤，认识到二次函数表达式中参数之间的内在联系.同时，教学实践中为更好地锻炼学习者的学以致用能力，提升其几何直观核心素养，应注重与学习者一起剖析如下例题，使其认识到几何图形在分析数学问题中的重要作用，养成运用几何图形解题的意识与良好习惯.

例3 在平面直角坐标系中某点的纵横坐标相等则称该点为完美点.已知二次函数y=ax2+bx-94的图像上只有一个完美点（32，32），且当0≤x≤m时，函数y=ax2+bx-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围为（  ）

（A）-1≤m≤0.   （B）2≤m≤72.

（C）2≤m≤4. （D）m≥2.

该题以新定义为背景考察待定系数法求解二次函数表达式、数形结合等知识，难度较大.解题的关系在于能够读懂题意，从题干中提炼出有用信息，构建与所学知识的内在联系，尤其能够充分挖掘二次函数图像中的隐含信息，从而达到顺利解题[3].

根据完美点的定义令ax2+bx-94=x，整理得到：ax2+（b-1）x-94=0，即，將x=32代入整理得到：94a+32b-154=0①，Δ=（b-1）2+9a=0②，将①②联立解得a=-1，b=4，则函数为y=-x2+4x-3，画出其图像，如图2所示：

函数图像的对称轴为直线x=2，在对称轴处取得最大值为1.当函数值取最小值-3时对应的x值为0或4.由图可知当m=2时，0≤x≤2时，满足题意.当24时，取得的最小值小于-3，不满足题意.综上m的取值范围为2≤m≤4，选择C项.

4 “二次函数与一元二次方程”教学实践

“二次函数”和“一元二次方程”联系紧密[4].在进行该节内容教学时在课堂上展示相关问题，组织学习者开展探究活动.同时，运用多媒体技术为学习者展示不同的二次函数图像，要求学习者探寻与之对应一元二次方程根的情况，掌握判断一元二次方程根个数的判断方法.另外，为更好地拓展学习者视野，提升其推理能力，在课堂上展示如下例题，并通过解题过程的分析，使学习者认真体会推理过程，积累推理经验，促进推理水平地提升.

例4 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点（-1，0）和点（3，0），关于x的方程ax2+bx+c+m=0（m>0）有两根，其中一个根为5，则关于x的方程y=ax2+bx+c+n=0（0

（A）-2或4.    （B）-2或6.

（C）0或4.    （D）-3或5.

解答该题需要深入理解“二次函数”与“一元二次”方程根的关系，尤其搞清楚二次函数对称轴和对应方程根的内在联系.同时，结合二次函数图像平移规律进行严谨地推理，准确地判断.

由二次函数y=ax2+bx+c的图像过点（-1，0）和点（3，0），根据函数与方程之间的关系可知，ax2+bx+c=0的两根为-1和3，对称轴为直线x=1.而方程ax2+bx+c+m=0对应的二次函数为y=ax2+bx+c+m，m>0，其相当于将函数y=ax2+bx+c的图像向上平移m个单位，而方程ax2+bx+c+m=0其中一个根为5，可知y=ax2+bx+c的图像应开口向下，另一根为-3.关于x的方程y=ax2+bx+c+n=0（0

5 “用二次函数解决问题”教学实践

“用二次函数解决问题”能很好地锻炼学习者模型观念以及应用意识核心素养.在进行该节内容教学时应注重为学习者创设生活化、趣味性强的问题情境，更好地吸引其注意力，激发其学习的积极性.当然在讲解问题之前可给学习者预留空白时间，先要求其进行思考，而后再进行讲解.如此使学习者通过对比自身思路，更容易发现与弥补解题中的不足.

例5 某城市为方便市民停车，修建一个如图3所示的停车场.停车场的长和宽分别为52m，28m，阴影部分为停车位，其余为等宽的通道，若停车位的占地面积为640m2.

（1）通道的宽度是多少米？

（2）调查发现每个车位月租金为400元，能够全部租出.当每个车位月租金每上涨10元，租出的个位会减少1个.该停车场共有64个车位.若每个车位的月租金上涨时，该停车场的月租金收入会超过27000元吗？

解答该题需在吃透题意的基础上构建对应的二次函数模型，并借助函数性质求出其最值.

（1）设通道的宽为xm，由图可知停车位的长为（52-2x）m，宽为（28-2x）m，则

（52-2x）（28-2x）=640，整理得到x2-40x+204=0，解得x1=6，x2=34，因28-2x>0，则x=6，即，通道的宽为6m.

（2）设每个车位租金上涨为m元，停车位的月租金收入为y元.根据题意可租出的车位数为（64-m10）个，每个停车位的租金为（400+m）元，则可构建如下数学模型

y=（400+m）（64-m10）

=-110m2+24m+25600

=-110（m-120）2+27040.

由二次函数性质可知当m=120元时y取得最大值27040>27000，因此，停车场的月租金收入会超过27000元.

6 结语

“二次函数”是初中数学中非常重要的单元，是中考的必考内容.为更好地提高该单元整体教学效率，应做好以往教学经验的总结与灵活应用，尤其注重在初中数学核心素养指引下做好教学内容以及教学环节的认真设计，增强学习者的课堂学习体验以及心理感受，激发其内在学习动力以及学习潜力，牢固掌握二次函数知识的同时，核心素养得到针对性地提升.

【本文系江苏省教育科学“十四五”规划立项课题“基于核心素养的初中数学单元整体教学实践研究”研究成果，课题批准号为：D/2021/02/136”】

参考文献：

[1]储伟明.初中数学核心素養的精确理解与培养[J].数理化解题研究，2022（11）：59-61.

[2]齐菊.初中数学教学中如何培养学生的核心素养[J].中学数学，2022（06）：48-49.

[3]夏良文.初中数学课堂中核心素养的培养方法[J].试题与研究，2022（05）：67-68.

[4]李生军.初中数学单元整体教学研究[J].数学学习与研究，2021（33）：35-37.