赏析数学竞赛中的代数求值技巧

2022-05-30 10:48刘贤华
数理天地(初中版) 2022年15期
关键词:技巧

刘贤华

【摘要】 代数式的求值问题是各类考试的重要考题,这类题目有利于考查和培养推理论证、数学运算等能力,本文精选几例探究其解题规律.

【关键词】 数学竞赛;代数求值;技巧

当前的试题越来越重视逻辑推理、数学运算等数学核心素养,代数式求值问题是各类模拟题和竞赛试题的必考题型,解题方法灵活多变,因题而异,怎样才能快速、准确地求出代数式的值呢?下面提供几种常见的技巧.

1 利用恒等式求值

例1 已知1b+1c-1a=34,abc+bac+cab,b2|c|-2c2|b|-4(|b|-2|c|)=0,b与c同号,且b≠2c,求a4+b4+c4的值.

解 由题意知

b2|c|-2c2|b|-4(|b|-2|c|)

=|b||bc|-|bc||2c|-4(|b|-2|c|)

=|bc|(|b|-|2c|)-4(|b|-2|c|)

=(|bc|-4)(|b|-2|c|)

=0,

因为b与c同号,且b≠2c,

所以bc=4.

由1b+1c-1a=34,得

ac+ab-bc=34abc=3a.①②

由abc+bac+cab=32,得

a2+b2+c2=32abc=6a.②

因为[a-(b+c)]2=a2+b2+c2-2a(b+c)+2bc,

将①②代入上式,可得

a=b+c.

由a2+b2+c2=6(b+c),得到

2(b+c)2-2bc=6(b+c),

即2(b+c)2-8-6(b+c)=0,(b+c)2-3(b+c)-4=0,

由此得b+c=4或b+c=-1(无解).

所以b=2,c=2.

于是a=4.

故a4+b4+c4=288.

注 先对题目条件中的等式分别化简,利用恒等式求各字母的值,进而求得代数式的值.考查数学运算素养和逻辑推理素养.

2 利用整体思想求值

例2 若实数a,b,c满足(a+b+c)1a+b-5c+1b+c-5a+1c+a-5b=95,求(a+b+c)1a+1b+1c的值.

解 记a+b+c=x,ab+bc+ca=y,abc=z,则

(a+b+c)1a+b-5c+1b+c-5a+1c+a-5b

=x1x-6a+1x-6b+1x-6c

=x[3x2-12(a+b+c)x+36(ab+bc+ca)]x3-6(a+b+c)x2+36(ab+bc+ca)x-216abc

=x(-9x2+36y)-5x2+36xy-216z,

结合已知条件可得

x(-9x2+36y)-5x2+36xy-216z=95,

整理得xy=272z,

所以(a+b+c)1a+1b+1c=xyz=272.

注 化繁为简是数学解题的基本思路,代数换元、整体代入都是最重要的数学方法,需要较强的数学运算能力.

3 巧用放缩法求值

例3 记[x]表示不超过x的最大整数,若S=1+12+13+…+11020100,则[S]=()

(A)1010.(B)2018.

(C)2019.(D)2020.

解 因为

n-1+n<2n

所以2n+1+n<1n<2n-1+n,

即2(n+1-n)<1n<2(n-n-1),

从而可知2(2-1)<11=1,

2(3-2)<12<2(2-1),

2(4-3)<13<2(3-2),

……

2(1020101-1020100)<11020100

<2(1020100-1020099),

以上各式相加,得

2(1020101-1)

又因為1020101>1020100,

所以2(1020100-1)

因为1020100=1010,

2(1010-1)=2018,

所以2018

所以[S]=2018,

故选(B).

注 本题考查放缩的方法,取倒数,运用叠加法,根据新定义得到答案.此类问题是训练学生逻辑思维和数学运算的好素材.

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