刘贤华
【摘要】 代数式的求值问题是各类考试的重要考题,这类题目有利于考查和培养推理论证、数学运算等能力,本文精选几例探究其解题规律.
【关键词】 数学竞赛;代数求值;技巧
当前的试题越来越重视逻辑推理、数学运算等数学核心素养,代数式求值问题是各类模拟题和竞赛试题的必考题型,解题方法灵活多变,因题而异,怎样才能快速、准确地求出代数式的值呢?下面提供几种常见的技巧.
1 利用恒等式求值
例1 已知1b+1c-1a=34,abc+bac+cab,b2|c|-2c2|b|-4(|b|-2|c|)=0,b与c同号,且b≠2c,求a4+b4+c4的值.
解 由题意知
b2|c|-2c2|b|-4(|b|-2|c|)
=|b||bc|-|bc||2c|-4(|b|-2|c|)
=|bc|(|b|-|2c|)-4(|b|-2|c|)
=(|bc|-4)(|b|-2|c|)
=0,
因为b与c同号,且b≠2c,
所以bc=4.
由1b+1c-1a=34,得
ac+ab-bc=34abc=3a.①②
由abc+bac+cab=32,得
a2+b2+c2=32abc=6a.②
因为[a-(b+c)]2=a2+b2+c2-2a(b+c)+2bc,
将①②代入上式,可得
a=b+c.
由a2+b2+c2=6(b+c),得到
2(b+c)2-2bc=6(b+c),
即2(b+c)2-8-6(b+c)=0,(b+c)2-3(b+c)-4=0,
由此得b+c=4或b+c=-1(无解).
所以b=2,c=2.
于是a=4.
故a4+b4+c4=288.
注 先对题目条件中的等式分别化简,利用恒等式求各字母的值,进而求得代数式的值.考查数学运算素养和逻辑推理素养.
2 利用整体思想求值
例2 若实数a,b,c满足(a+b+c)1a+b-5c+1b+c-5a+1c+a-5b=95,求(a+b+c)1a+1b+1c的值.
解 记a+b+c=x,ab+bc+ca=y,abc=z,则
(a+b+c)1a+b-5c+1b+c-5a+1c+a-5b
=x1x-6a+1x-6b+1x-6c
=x[3x2-12(a+b+c)x+36(ab+bc+ca)]x3-6(a+b+c)x2+36(ab+bc+ca)x-216abc
=x(-9x2+36y)-5x2+36xy-216z,
结合已知条件可得
x(-9x2+36y)-5x2+36xy-216z=95,
整理得xy=272z,
所以(a+b+c)1a+1b+1c=xyz=272.
注 化繁为简是数学解题的基本思路,代数换元、整体代入都是最重要的数学方法,需要较强的数学运算能力.
3 巧用放缩法求值
例3 记[x]表示不超过x的最大整数,若S=1+12+13+…+11020100,则[S]=()
(A)1010.(B)2018.
(C)2019.(D)2020.
解 因为
n-1+n<2n 所以2n+1+n<1n<2n-1+n, 即2(n+1-n)<1n<2(n-n-1), 从而可知2(2-1)<11=1, 2(3-2)<12<2(2-1), 2(4-3)<13<2(3-2), …… 2(1020101-1020100)<11020100 <2(1020100-1020099), 以上各式相加,得 2(1020101-1) 又因為1020101>1020100, 所以2(1020100-1) 因为1020100=1010, 2(1010-1)=2018, 所以2018 所以[S]=2018, 故选(B). 注 本题考查放缩的方法,取倒数,运用叠加法,根据新定义得到答案.此类问题是训练学生逻辑思维和数学运算的好素材.