一道赛题的解法探究

张宁

【摘要】 本文借助轴对称的性质、全等三角形的性质、相似三角形的性质、平行四边形的性质、圆的有关性质给出了一道八年级赛题的三种解法.这些方法是解决折线的长与线段长度之间数量关系的通法，即“化折为直法”，将折线的长度问题转化为线段长度问题，它具有普遍适用性.

【关键词】 转化;轴对称;三角形;平行四边形;圆;化折为直法

1 问题呈现

如图1，在△ABC中，∠C=90°，过点C作CH⊥AB，垂足为H，过点A与CH的中点D的直线交BC于K，点L为BC中点，线段AB上一点T满足∠ATK=∠BTL.已知BC=1，求△KTL周长.

分析 在△ABC中，∠C=90°，BC=1，根据这些条件不能直接求得其他线段的长度.根据已知条件和图形特征，解决本题的关键是探寻△KTL周长与线段BC之间的数量关系.显然，根据已知条件“∠ATK=∠BTL”，易想到利用轴对称性可将△KTL的边KT和LT转化到同一条直线上，即达到“化折为直”的目的.根据图形特征，只需证明KT+TL=CK+BL即可得到△KTL周长等于线段BC的长度，即△KTL周长等于1.

2 解法探究

基于以上分析，筆者得到三种解法.

解法1 如图2，延长CH到点M，使HM=CH，连接AM，BM，则△ABC和△ABM关于直线AB对称.过点L作直线AB的垂线，交BM于点N，连接TN，AN，AL.过点A作AG⊥KT，垂足为G.

因为点L为BC中点，

所以点N是线段BM的中点，

即BN=MN.

易知点L与点N关于直线AB对称，

所以∠BTL=∠BTN，

∠LAB=∠BAN，

TL=TN.

又因为∠ATK=∠BTL，

所以∠BTN=∠ATK.

所以点K，T，N在同一条直线上.

易知△CAH∽△BAC，

所以AC∶AB=CH∶BC.

又因为点D为CH中点，点L为BC中点，

所以CH=2CD，BC=2BL，

所以AC∶AB=CD∶BL.

易得∠ACH=∠ABC，

所以△CAD∽△BAL，

所以∠CAK=∠LAB.

从而可知∠CKA=90°-∠CAK=90°-∠LAB

=90°-∠BAN=∠ANL，

所以A，K，L，N四点共圆，

所以∠CKA=∠ANL=∠ALN=∠AKN.

从而易得△AKC≌△AKG，

所以AC=AG，CK=KG.

由轴对称性，易知

AM=AC，BN=BL，

所以AM=AG.

从而易得△AMN≌△AGN，

所以MN=GN.

所以KN=KG+GN=CK+MN

=CK+BN=CK+BL.

所以△KTL的周长为KL+KT+TL=KL+KT+TN=KL+KN=KL+CK+BL=BC=1.

注 为了证明KT+TL=CK+BL，这种解法利用轴对称的性质，将KT+TL转化为线段KN，然后将线段KN分割为线段KG和GN，最后借助全等三角形的性质得到CK=KG，GN=BL，从而得到△KTL的周长等于线段BC的长度.这种方法是解决折线的长与线段长度之间数量关系的通法，不妨称这种方法为“化折为直法”，它具有普适性.

解法2 如图3，作点K关于直线AB的对称点M，KM交AB于点G，连接TM.

易知∠ATK=∠ATM，

∠KAT=∠MAT，

∠BKM=∠BAC，

又∠ATK=∠BTL，

所以∠ATM=∠BTL，

所以点L，T，M在同一条直线上.

在线段LM上取一点F，使FL=BL.连接AF，AL，AM.

易知△CAH∽△BAC，

所以AC∶AB=CH∶BC.

又因为点D为CH中点，点L为BC中点，

所以CH=2CD，BC=2BL，

所以AC∶AB=CD∶BL.

易得∠ACH=∠ABC，

所以△CAD∽△BAL，

所以∠CAK=∠LAB.

易知∠LAM=∠MAT+∠LAB

=∠KAT+∠CAK

=∠BAC.

又∠BKM=∠BAC，

所以∠LAM=∠BKM，

所以A，K，L，M四点共圆，

所以∠AKC=∠AMF.

因为AK=AM，

所以∠ALK=∠ALM.

从而易知△ALC≌△ALF，

所以AC=AF.

从而可知△AKC≌△AMF，

所以CK=FM.

所以KL+KT+LT

=KL+LM=KL+LF+FM

=KL+LB+CK=BC=1.

注 这种解法利用对称性将线段KT和TL转化为线段LM，欲证明KT+TL=CK+BL，只需证明LM=CK+BL.由此可以想到，将线段LM截成两条线段LF和FM，使LF=BL，只需证明FM=CK，即证△AKC≌△AMF.这种方法也是解决折线的长与线段长度之间数量关系的通法，具有普适性.

解法3 如图4，作点L关于直线AB的对称点M，连接TM，BM，AM，AL.直线MH交AK于点G，连接CG.过点B作CG的平行线，交直线MH于点N.

因为点L与点M关于直线AB对称，

所以∠BTL=∠BTM，

∠LBH=∠MBH，BL=BM.

又因为∠ATK=∠BTL，

所以∠BTM=∠ATK.

所以点K，T，M在同一条直线上.

易知LM垂直平分线段BH，

所以MH=BM，

所以BL=MH，∠MHB=∠MBH，

所以∠MHB=∠LBH，

所以BC∥GN.

从而易知四边形BCGN是平行四边形，

所以BC=GN.

易知△CAH∽△BAC，

所以AC∶AB=CH∶BC.

又因为点D为CH中点，点L为BC中点，

所以CH=2CD，BC=2BL，

所以AC∶AB=CD∶BL.

易得∠ACH=∠ABC，

所以△CAD∽△BAL，

所以∠CAK=∠LAB.

从而可知∠CKA=90°-∠CAK

=90°-∠LAB

=∠ALM=∠AML，

所以A，K，L，M四点共圆，

所以∠ALM=∠AKM.

所以∠CKA=∠AKM，

又∠CKA=∠KGM，

所以∠AKM=∠KGM，

所以KM=GM.

因为点D是CH的中点，

易知△CDK≌△HDG，

所以CK=GH.

又因为BL=MH，

所以MN=KL.

从而可知KT+TL+KL=GN=BC=1.

注 这种解法利用对称性将线段KT和TL转化为线段KM，利用平行四边形的判定与性质证明BC=GN，利用等腰三角形的性质证明KM=GM.由CK=GH，BL=MH，BC=GN可得MN=KL.从而将△KTL的周长转化为线段GN的长度，即线段BC的长度.这种解法的关键是构造平行四边形，然后利用等腰三角形和全等三角形的性质进行转化，从而达到“化折为直”的目的.

3 结束语

“化折为直法”是一种重要的数学方法，学生对两条线段构成的折线问題有一定的认识，能够利用轴对称性“化折为直”.三条或三条以上线段构成的折线问题，对学生而言具有一定的难度，通常可从这几个方面考虑：一是利用轴对称转化，二是利用平移或旋转变换转化，三是构造全等三角形转化，四是构造辅助圆转化.灵活运用这几种方法，才能达到“化折为直”的目的.通过对本题的解法探究，不仅能够培养学生的几何推理能力，而且对培养学生创新素养大有裨益.