第3届世界数学团体锦标赛少年组试题

（2012.11北京）

团体赛

1. 已知a，b，c都是非零自然数，a4+b8+c16的近似值是 5.3，那么它的准确值用小数形式表示是什么？

2. 如图1，五个正方形的边或顶点在同一条直线上，相邻的两个正方形有一个顶点重合，中间三个正方形的面积依次是289，64，100.求△AOK的面积.

3. 如图2，微型机器人M，N分别从边长为6 m的正方形ABCD的顶点A，B处，同时按顺时针方向沿正方形ABCD的周界匀速出发，M的速度是N的速度的2倍，当出发后20 min时，M第二次追上了N，问：N每分钟行走多少米？

4. 一家商店销售某种计算器，开始按定价售出（小于200元的整数元），后来按定价的六折售出，当售出200台时，共得款30498元.问：打折前，按定价售出的是多少台？

5. CD是腰长12 cm的等腰直角三角形ABC的斜边上的高，点E在CD上，若ED=6 cm，点P在△ABC内，并且∠DPE是锐角，则点P所在区域R的面积是多少平方厘米（用最接近准确值的整数表示）？

6. 若n513-2n是整数的平方，求自然数n中最大的.

7. 有A，B，C三人，A每说3次话时有2次是真话，B每说7次话时有6次是真话，C每说5次话时有4次是真话.如果有一句话，A，B都说是对的，C说是错的.那么，这句话是对的的概率是多少（用最简分数表示）？

8. 已知x+y+z=3，

x2+y2+z2=7，

x3+y3+z3=12.

求xyz.

9. 求方程8（2x2+6x+6）（3y2-3y+2）=15的解（x，y）.

10. 已知△ABC的边长是整数而且彼此不等，周长是21.比较这些三角形的最大角的大小，求含有最大的最大角的那个三角形的边长.

参考公式：余弦定理cosC= a2+b2-c22ab，其中a，b，c是△ABC的三边的长，C的对边是c，则cosC的值愈小，C愈大.

11. 求方程2x+xy+xy=243的正整数解.

12. 已知正整数x，y，z满足方程组{xy+z=13，x+yz=23，求x+y+z的最小值.

13. 一个容积是50 L的桶装满了酒，用这桶酒灌满一个水壶，然后用水装满少了酒的桶，搅匀后，再将桶中稀释了的酒灌满另一个同样的水壶，又用水将桶装满，这时，桶中的酒和水的体积相等.求水壶的容积.

14. 如图3，线段DE将正方形纸片ABCD分成△ADE和四边形EDCB.已知S△ADE∶S四边形EDCB =5∶19，求 △ADE的周长和四边形EDCB的周长的比.

15. 已知Rt△ABC，AB=BC，点P在此三角形内，若PA=5，PB=4，PC=1，求△ABC的面积.

16. 已知长方形的边长是整数，它的周长m是3的倍数，若90≤m≤100.求符合条件的长方形的最大面积.

17. 边长是整数，周长为24的三角形中，面积最大的那个三角形的三条边的长分别是多少？

（注：若三角形的三边的长是a，b，c 并且a +b + c = 2l，则三角形的面积S满足公式S2=l（l-a）（l-b）（l-c）.）

18. 已知有从1开始的n个自然数，去掉其中4个最大的质数后，剩下的自然数的平均数是24346，求符合要求的n的所有值.

19. 如图4，悬空放置的长方体ABCD-EFGH中，AE=6，AB=7，AD=8，点M是矩形ABFE的中心，点N是线段FG的中点.已知点M、点N处各有一块糖，点D处有一只蚂蚁，问：蚂蚁最少爬多远能找到糖？

20. 某三位数的数字的乘积加上数字和的十倍，仍等于這个三位数，写出所有能够满足这个要求的三位数.

接力赛

1A.若n是不超过10的非负整数，那么，使n3+n2+7是质数的n的值有几个？

1B.设前面队友传来的答案是T.

已知矩形ABCD的周长是24+2T，较短的一边的长为T+3.设点P在此矩形内，求AP>T+3的概率，取π=3（结果保留1位有效数字）.

2A.在图6中所有摆放如图5的三个方格都有A=B+C，求x的值.

2B.设前面队友传来的答案是T.

已知等腰△ABC的周长为T.AB=BC，AC=5，点D在AB上，AC=DC，求AD.

3A.有三种盐水：甲种盐水35 L，浓度8%;乙种盐水25 L，浓度3%;丙种盐水30 L，浓度11%.若要用这些盐水配制50 L浓度为7%的盐水，则丙种盐水最多可用多少L.

3B.设前面队友传来的答案是T.

以T为面积的正方形的边长是m，求图7中阴影部分的面积（用最简分数表示）.

个人赛

1. 无理数2+3+37在哪两个相邻的整数之间？

2. △ABC的三条边长分别是25，32和26.求此三角形的面积.

3. 求使F（n）=1n+2n+…+15n为整数的自然数n的个数.

4. 求2212012被9除所得的余数.

5. 有几个学生去旅游，需要共同支付旅游总费用，若每人交28元，则差18元;若每人交30元，则余4元.问：旅游总费用是多少元.

6. 以a，b，h分别表示等腰三角形的腰、底边、腰上的高的长度，如果a比b大3，a，b，h都是自然数，并且三角形的周长和面积的数值相等，求h.

7. 一根圆木，横截面的周长是3 m，长为45 m，从山上滚下来200 m，这期间，一只松鼠正好从圆木的一头跑到另一头，并且始终在圆木上面，问：松鼠跑了多少m？

8. 如图8，⊙O中两条互相垂直的弦AB和CD的弦心距是3和2，它们将⊙O分为四部分：S1，S2，S3，S4.求（S1+S3）-（S2+S4）.

9. 在边长为1的正方形ABCD中，以A为一个顶点作正三角形AMN，使顶点M在边BC上，顶点N在边CD上，求BM.

10. 直角三角形的斜边长是|x-3|，一条直角边的长是|4-3x|，当另一条直角边的长达到最大值时，求这个直角三角形的周长.

11. 已知a是一个既约分数，若a+154a是一个正整数，那么，a有多少个不同的值？

12. 有一列顺序排列的数：7，8，11，…设an是其中第n个数，若

an+an+1+an+2+an+3=31，

求这一列数中前2013个数的和.

13. 微型机器人m和n分别以2 m/min和3 m/min的速度，同时从边长为20 m的等边△ABC的顶点A，B向顶点C运动，经t min各自到达点M （AC上），点N（BC上）.当MN=BN时，求t的整数部分.

（参考公式：余弦定理 cosC=a2+b2-c22ab，其中a，b，c是△ABC的三边的长，角C的对边是c，则cosC的值愈小，角C愈大. ）

14. 如图9，边长是5的正方形ABCD内，半径为2的⊙M切边DC和CB，⊙N与⊙M外切于点P，并且切边DA和AB.EF是两圆的内公切线，点E和F分别在DA和AB上，求EF的长.

15. 钝角三角形的最短边长是10，其余两边分别长2a+3和3a+2，已知a>0，求a的取值范围.

16. 若实数x，y，z滿足

x+1y=32，y+1z=73，z+1x=4.

求xyz的值.

参考答案

团体赛

1.答案：5.25或5.3125.

解：因为

a4+b8+c16=4a+2b+c16≈5.3，

所以4a+2b+c≈5.3×16=84.8.

由于a，b，c都是非零自然数，因此4a+2b+c是整数，故可知它的值是84或85.

当4a+2b+c=84时，

a4+b8+c16=5.25，

当4a+2b+c=85时，

a4+b8+c16=5.3125.

2.答案：153.

解：如图10，连接AC，CK，则AC∥KO，

0

于是S△AOK=S△CKO，

注意到S△CKO=12·CO·KN，

所以需要先求CO，KN.

易求得DE=EF=289=17，

LH=64=8，

IJ=100=10，

EL=EF2-FL2=289-64=15.

由题设条件，易知

KN=HJ=IJ2-IH2=100-64=6，

CO=CE+EL+LH+HJ+JN+NO

=FL+EL+LH+HJ+LH+HJ

=8+15+8+6+8+6=51.

于是S△CKO=12×51×6=153.

则S△AOK=153.

3.答案：32（2+1）.

解：设M，N的行走速度分别是每分钟2x m，x m.

因为M，N出发点分别是A，B，所以当M第一次追上N时，M比N多走了一条边长，即6 m，故可知

当M第二次追上N时，M比N又多走四条边长，此时，M比N多走了5个边长，得

5×6=30 m，

于是20（2x-x）=6×5，

得x=32（2+1），

即N每分钟行走32（2+1） m.

4.答案：91.

解：设按定价售出了x台，每台y元（y<200，是整数），则由题设可得方程

xy+60100y（200-x）=30498，

经恒等变形，即

xy+300y=5×15249，

亦即y（x+300）=3×5×13×17×23.①

因为0≤x≤200，

所以300≤x+300≤500.②

由①、②，得x+300=15×23=345，

或x+300=17×23=391.

于是x=45或91，

相应的y=221或195.

因为y是小于200的整数，195<200，所以只取

x=91，y=195.

故按定价售出的是91台.

5.答案：44.

1

解：如图11，以ED为直径作⊙O（此圆在△ABC内，并且与边AB相切）.

当△ABC内的点P在⊙O外时，∠DPE就是锐角，所以

SR=S△ABC-S⊙O

=12×122-π×（62）2

=72-9π

=72-28.26…

=43.7…

≈44 cm2.

6.答案：256.

解：依题意，可设

n513-2n=m2（m是自然数），①

显然，当n是自然数时，513-2n≠0，

所以①可化为

n=513m22m2+1.②

因为n是自然数，所以2m2+1必须是513的约数，

因为513=1×33×19，

故可得下表：

2m2+1139192757171513

m20149132885256

m012313288516

n0171228243256

在这些可能性下，只有

2m2+1=1，3，9，19，513

符合条件.

解得m=0，1，2，3，16，

由②，得n=0，171，228，243，256.

因此n的值中最大的是256.

7.答案：34.

解：如果这句话对，则A，B说了真话，C说了假话，那么，“这句话对”的概率是

23×67×15=12105.①

如果这句话不对，则A，B说了假话，C说了真话，那么，“这句话不对”的概率是

13×17×45=4105.②

由①、②可知，这句话可能是真话，也可能是假话，因为总计16次中，12次对，4次不对，所以“这句话是对的”的概率是1216=34.

8.答案：-2.

解：由题设条件及公式

（a+b+c）2

=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca），

得ab+bc+ca

=12[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，

于是xy+yz+zx

=12[（x+y+z）2-（x2+y2+z2）]

=12（9-7）

=1.

再考察恒等式

（t-x）（t-y）（t-z）

=t3-（x+y+z）t2+（xy+yz+zx）t-xyz

=t3-3t2+t-xyz，

令t=x，y，z，依次代入，則得

x3-3x2+x-xyz=0，①

y3-3y2+y-xyz=0，②

z3-3z2+z-xyz=0.③

将①、②、③等式等号两边分别相加，并将题设等式条件代入，则得

12-3×7+3-3xyz=0，

即xyz=-2.

9.答案：（-32，12）.

解：题设的方程即

（2x2+6x+6）（3y2-3y+2）=158.

易知2x2+6x+6=2（x+32）2+32≥32，

3y2-3y+2=3（y-12）2+54≥54，

所以（2x2+6x+6）（3y2-3y+2）

≥32×54=158，

当且仅当x=-32，y=12时，题设的方程成立，

所以（x，y）=（-32，12）是唯一解.

10.答案：5，6，10.

解：由ai+bi+ci=21及ai，bi，ci是彼此不同的整数，知

最长边长不能超过10，并且不小于8.

当最长的边长是10时，考虑到三边彼此不等，则其余两边的长是

9和2，或8和3，或7和4，或6和5，

同理，当最长的边长是9时，其余两边的长是8和4，或7和5.当最长的边长是8时，其余两边的长是7和6.

由余弦定理cosC= a2+b2-c22ab知道，当cosC愈小时，C愈大.

由上面的七组数值，可得下表：

a9876877

b2345456

c10101010998

cosC-512-916-58-1320-164-11014

观察此表可知，有最大的最大角的那个三角形的边长是5，6，10.

11.答案：x=24y=8或 x=54y=2.

解：因为x，y是正整数，所以由题设方程的结构可知xy也是整数.故可设

x=my（m是正整数）.

将它代入已知的方程，得

2my+my2+m=243，

m（y+1）2=243，

即（y+1）2=243m.

观察它的结构，可知243m应是平方数，故只能取

m=3或27.

于是得下表：

m327

x2454

y82

故满足条件的正整数解是

x=24y=8或 x=54y=2.

12.答案：12.

解：将已知的两个方程分别进行相加和相减，可得

（y+1）（x+z）=36.（y-1）（z-x）=10.①②

因为x，y，z都是正整数，所以，

由①得y+1=2，3，4，6，9，12，18，

即y=1，2，3，5，8，11，17.③

由②得y-1=1，2，5，10，

即y=2，3，6，11.④

观察③、④，得y=2，3，11.

将y的值代入到①、②可得下表

x121

y2311

z1172

x+y+z141214

所以（x+y+z）min=12.

13.答案：50-252.

解：设水壶的容积是x L，则前后两次倒入水桶的水共2x L.

因为从桶中灌入另一个水壶的稀释的x L酒中也含有水，水的量是x·x50 L，

所以，桶中水的量是

2x-x250 L，①

两次倒出又先后被装满水后，桶中酒的量是

（50-x）-x·50-x50 L，②

由题设知①=②，即

（50-x）-x·50-x50=2x-x250，

整理后，得x2-100x+1250=0，

x=50±252，

由题设知x<50，故只取

x=50-252.

14.答案：15∶22.

解：设正方形的边长是12，因为

S△ADES四边形EDCB=12AE·AD12（BE+CD）·BC=AEBE+CD

=AE（AB-AE）+CD

=AE（12-AE）+12

=AE24-AE，

又因为S△ADES四边形EDCB=519，

所以AE24-AE=519，得AE=5.

又在△ADE中，

DE2=AE2+AD2=52+122=169=132，

DE=13.

所以△ADE的周长=AE+AD+DE

=5+12+13

=30，

于是四边形EDCB的周长

=BC+CD+DE+EB

=12+12+13+7

=44.

故△ADE的周长和四边形EDCB的周长的比是

30∶44=15∶22.

2

15.答案：172.

解：如图12，从点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E.设AB=BC=a，PD=x，PE=y，则由点P在△ABC内及PA=5，知a>5.

由题设条件及所设，有

42-x2=BD252-x2=（a-BD）242-y2=（a-EC）212-y2=EC2.①②③④

由②-①，整理后，得

BD=a2-92a.⑤

由③-④，整理后，得

EC=a2-152a.⑥

因为∠PEC=90°，

所以PE2+EC2=1.

注意到BD=PE，于是可得

（a2-92a）2+（a2-152a）2=1，

即a4-26a2+153=0，

以a2为未知数，解得

a2=17，a2=9（不合题意，舍去）

所以S△ABC=a22=172.

16.答案：576.

解：因为数m是3的倍数，

90≤m≤100，

所以m=93，96或99.

又m是長方形的周长（即：两个长+两个宽），

所以m是偶数.

于是只取m=96.

设长方形的长和宽分别是a，b，则

2（a+b）=96，

a+b=48.

要求符合条件的长方形的面积最大，也就是ab的值最大.

易知ab≤（a+b2）2=（482）2=242=576.

所以，符合条件的长方形的最大面积是576.

17.答案：8，8，8.

解：设三角形三条边的长分别是a，b，c，则

a+b+c=24，l=12.

因为a，b，c是整数，1

a234455666778

b111111101110111099108

c111091089789878

共11组.

由S2=l（l-a）（l-b）（l-c）及l=12知，当l-a，l-b，l-c三个数彼此越接近时，l-a，l-b，l-c三个数的积越大.观察上表，可知当三边的长都是8时，该三角形的面积最大，此时

S2=12×4×4×4=768.

18.答案：50.

解：由题意知道，去掉n个数中4个最大的质数后剩下（n-4）个数，它们的和是

（n-4）×24346

=（n-4）×（24+346）

=24（n-4）+346（n-4）.

这个结果应当是自然数，于是推知（n-4）×346是自然数，故

n-4是46的倍数.

若n-4=46×1，则n=50，此时，四个最大的质数是47，43，41，37，它们的和是

47+43+41+37=168.

从前50个自然数中去掉这四个质数后，剩下的数的和是

50+12×50-168=1275-168=1107，

它们的平均数是 110750-4=24346，

所以n=50是符合题意的一个值.

当n-4≥46×2时，n≥96.由于在92和96之间没有质数，所以去掉四个质数后，剩下的（n-4）个自然数的和

Sn-4>1+2+3+…+92

=1+922×92=92×932，

它的平均值是

Sn-492=92×932×192=932>24346.

故可知除了50，没有符合题意的n.

综上所述，仅有n=50符合题意.

19.答案：133.25.

解：将长方体沿DH，EA，HG展开，得图13，则

3

DN1=72+（4+6）2=149，

DM1=（62）2+（8+72）2=141.25.

将长方体沿EH，EF展开，得图14，则

4

DN2=（82）2+（6+7）2=185，

DM2=（6+72）2+（8+62）2=211.25.

若蚂蚁从底面ABCD穿过，得图15，则

5

DN3=（6+7）2+（82）2=185，

DM3=（72）2+（8+62）2=133.25.

将长方体沿着GC展开，得图16，则

6

DN4=（7+82）2+62=157.

综上，蚂蚁最少爬133.25能找到糖.

20.答案：119，166，195，379，498，999.

解：设三位数是abc，则由题意得

100a+10b+c=abc+10（a+b+c），

即90a-9c=abc，①

①可化为1a+b9=10c，②

因为a，b，c是三位数的数字及②，

所以a，b，c≠0.

于是19≤1a，b9≤1，

故由②得29≤10c≤2，

于是5≤c≤45，

从而5≤c≤9，③

所以，c取5，6，7，8，9中的值.

当c=5时，由②得

1a+b9=2，

即a=918-b，

得b=9，a=1，abc=195，

经验算，知此数符合题意.

当c=6时，由②得1a+b9=53，

即a=915-b，

得b=6，a=1，abc=166，

经验算，此数符合题意.

当c=7时，a，b都不是整数.

当c=8时，由②得1a+b9=108，

即a=3645-4b，

得b=9，a=4，abc=498，

经验算，此数符合题意.

当c=9时，由②得1a+b9=109，

即a=910-b，

得b=9，a=9，abc=999，

或b=1，a=1，abc=119，

或b=7，a=3，abc=379.

经验算，这3个数均符合题意.

综上，符合题意的三位数是119，166，195，379，498，999.

接力赛

1A.答案：4.

解：设f（n）=n3+n2+7.将n=0，1，2，…，9，10逐一代入：

f（0）=7，

f（1）=9=3×3，

f（2）=19，

f（3）=43，

f（4）=87=3×29，

f（5）=157，

f（6）=259=7×37，

f（7）=73+72+7=7×57，

f（8）=583=11×53，

f（9）=817=19×43，

f（10）=1107=33×41，

故滿足题意的n的值共有4个，

即：0，2，3，5.

1B.答案：0.4.

解：前面传来的答案是T=4.

7

如图17，在矩形ABCD内，DC=AB=9，DA=CB=T+3，以A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点E，弧DE将矩形分为两部分.

当点P在阴影内时，

AP>T+3.

设f（P）表示AP>T+3的概率，则

f（P）=S矩形ABCD-S扇形ADES矩形ABCD

=9（T+3）-14×3（T+3）29（T+3）

=1-112（T+3）

=1-712

=512

≈0.4.

2A.答案：35.

解：依题意，得

x=y+z

=（c+8）+（8+d）

=[（4+a）+8]+[8+（b+7）]

=27+（a+b）

=27+8图18

=35.

2B.答案：53.

解 如图18，由题意知道

△ADC∽△CAB，

于是ADAC=CACB=CAAB，

得AD=AC2AB=AC2T-52=2AC2T-5=50T-5.

前面队友传来的T=35，

所以AD=5035-5=5030=53.

3A.答案：25.

解：设用甲种盐水x L，乙种y L，丙种z L，

且x≤35，y≤25，z≤30.

则 {x+y+z=508%·x+3%·y+11%·z=50×7%①②

化简②，得8x+3y+11z=350，③

①×8，得8x+8y+8z=400.④

因为丙种盐水要尽可能多用，所以乙种盐水也需要相应增加.

④-③，得5y-3z=50，

3z=5y-50≤5×25-50=75，

z≤25.

经验证，将乙种盐水25 L、丙种盐水25 L混合后，恰是50 L浓度为7%的盐水.

所以，丙种盐水最多可用25 L.

3B.答案：272.

解：如图19中所设，则阴影面积

9

S=m2-12[xy+（m-y）（x+2）+（m+1-y）（m-x-2）+（y-1）（m-x）]

=m2-12（xy+mx+2m-xy-2y+m2-mx-2m+m-x-2-my+xy+2y+my-xy-m+x）

=m2-12（m2-2）

=12m2+1.

由队友答案知T=25=m2，得

S=12×25+1=272.

注意：若以u，v分别替换1，2，则

S=12（m2+uv）.

个人赛

1.答案：2和3.

解：因为37≈6.0…，

3+37≈9.0…≈3.0…，

2+3+37≈5.0…≈2.2….

所以無理数2+3+37在整数2和3之间.

2.答案：9.

0

解 用图形法.

如图20，作4×5的方格图：易知

AC=32，

CB=25，

AB=26，

所以S△ABC=4×5-12（9+8+5）=9.

3.答案：16.

解：因为F（n）=1n（1+2+…+15）

=1n×1+152×15

=120n，

而120=1×23×3×5，

所以n=1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120，

即n的值有16个.

4.答案：7.

解：因为221=24×9+5，设24×9=a，则9|a，且

221（mod 9）≡5（mod 9）.

于是2212（mod 9）≡52（mod 9）≡7（mod 9），

2213（mod 9）≡7×5（mod 9）≡8（mod 9），

2214（mod 9）≡8×5（mod 9）≡4（mod 9），

2215（mod 9）≡4×5（mod 9）≡2（mod 9），

2216（mod 9）≡2×5（mod 9）≡1（mod 9），

2217（mod 9）≡1×5（mod 9）≡5（mod 9），

所以221k（mod 9）≡221k+6（mod 9）

（其中k为整数），

因为2012÷6=335……2，

所以2212012（mod 9）≡2212（mod 9）

≡7（mod 9）.

故2212012被9除，余数是7.

5.答案：326.

解：设有x位学生，旅游总费用是y元，则由题设条件可得

28x=y-1830x=y+4，①②

②-①，得2x=22，

即x=11（人），

于是由①，得

y=28x+18=326（元）.

6.答案：不存在.

解：依题意，得

a-b=312ah=a+a+b，①②

由①、②消去b，得

ah=6a-6

即h=6-6a.

因为h，a是非零自然数，

所以a只可取1，2，3，6.

因为a-b=3，并且b是自然数，

所以只有a=6符合条件，此时h=5.

但是，当h=5时，原三角形的腰是6，底是3，腰上的高是5，显然不可能.

所以这样的三角形不存在.

7.答案：205.

解：松鼠跑的距离是两条直角边长分别为45 m和200 m的直角三角形的斜边的长，即

452+2002=42025=205 m.

8.答案：24.

1

解：如图21，以O为对称中心，在⊙O内分别作与AB，CD对称的弦A′B′，C′D′.

观察此图，由题设条件，及圆的对称性可知

（S1+S3）-（S2+S4）

=阴影长方形的面积

=4×6

=24.

9.答案：2-3.

2

解：如图22，易证

△ABM≌△ADN.

设BM=x，则DN=x.由△AMN是等边三角形，得

AM2=MN2，

即12+x2=2（1-x）2，

x2-4x+12=0，

解得x=4±232=2±3.

因为0

所以x=2-3.

故BM=2-3.

10.答案：52+542.

解：依题意可知，另一条直角边长a的平方是

a2=|x-3|2-|4-3x|2

=（x2-6x+9）-（16-24x+9x2）

=-8x2+18x-7

=-8（x2-94x+8164-8164）-7

=-8（x-98）2+258，

可知，当x=98时，得到

amax=258=542，

这时，直角三角形三条边的长依次是

|x-3|=3-x=3-98=158，

|4-3x|=4-3x=4-278=58，

a=258=542，

所以周长是

158+58+542=52+542.

11.答案：4.

解：设a+154a=m（m是正整数）.①

因为a是一个既约分数，故不是0，

所以①可化为

4a2-4ma+15=0.②

②可视为关于a的二次方程，它有根，是既约分数，也是有理数，于是Δa是完全平方数，

因为Δa=（-4m）2-4×4×15

=16（m2-15）

于是m2-15是完全平方数，

故设m2-15=A2（A是正整數），③

即（m+A）（m-A）=15

=1×15=3×5.

因为m+A>m-A，

于是有

m+A155

m-A13

解得m=8或4.

当m=8时，由②得

a=4×8±4×72×4=152或12;

当m=4时，由②得

a=4×4±4×12×4=32或52.

故不同的a值有4个.

12.答案：15600.

解 因为an+an+1+an+2+an+3=31，

所以a1+a2+a3+a4=31，

a2+a3+a4+a5=31，

a5+a6+a7+a8=31，

即每4个相邻的数的和为31，且a1=a5，

即ak=a4n+k，n为整数.

因为2013÷4=503……1，

所以这一列数中前2013个的和是

31×503+7=15600.

13.答案：3.

解：如图23：

由题设条件，得MN2=BN2，

即CM2+CN2-2CM·CNcosC=BN2，

亦即（20-2t）2+（20-3t）2-2（20-2t）·

（20-3t）cos60°=（3t）2，

3

化简后，即

t2+50t-200=0，

解得t=±533-25.

因为t>0，

故只取 t=533-25

=5×5.74…-25

=28.7…-25

=3.7…，

于是可知t的整数部分是3.

14.答案：62-4.

解：由圆、正方形的对称性及题设条件，知

点N和M在AC上，①

AC⊥平分EF.②

设⊙N的半径是r，则由①、②知

AC=AN+NP+PM+MC，

于是AC=2r+r+2+22，③

又AC=52，④

由③=④，得r（2+1）=32-2，

r=32-22+1=8-52.

于是EF=2AP=2（2r+r）

=2r（2+1）

=2（8-52）（2+1）

=62-4.

15.答案：21

解：因为钝角三角形的最短边长是10，

所以3a+2>102a+3>10，

解得a>72.①

假设2a+3>3a+2，则a<1，

这与①矛盾，所以3a+2是最长边.

若10，2a+3，3a+2是钝角三角形的三边边长，则须且只须

10+2a+3>3a+2102+（2a+3）2<（3a+2）2，a>72

即a<11|a|>21，a>72

解得21

16.答案：6或16.

解：以①、②、③分别表示题设的三个等式，则

①+②+③，得

x+y+z+1x+1y+1z=476 ④

①×②×③，得

xyz+1xyz+x+y+z+1x+1y+1z=14，⑤

将④代入⑤，得

xyz+1xyz+476=14，

即xyz+1xyz=376，

6（xyz）2-37（xyz）+6=0，

解得xyz=6或16.