关注概念教学过程 助力思维能力提升

李乃洋

[摘  要] 为了让学生能够更好地理解概念、应用概念，在概念教学中要摒弃简单的“照本宣科”，应多带领学生体验概念的形成过程，从而让学生获得更好的数学理解，提升学生数学学习能力.

[关键词] 概念教学;形成过程;学习能力

数学概念是对数学对象本质属性的高度概括，是数学知识的基础和核心，是数学知识发展的落脚点和生长点，也是应用数学的着力点和切入点，其在数学知识体系中的地位是不言而喻的[1]. 笔者参加的一节公开课“弧度制”中，主讲教师带领学生亲身体验了概念引入、发展、深化、内化、强化等过程，取得了较好的教学效果，现共享出来，以期共鉴.

[?]教学实录

1. 创设情境，引入新知

师：上节课我们学习了“任意角”，打破了我们对角的传统认识，今天我们所学的内容将再次打破我們对角的认识. （学生投来了期待的目光）

师：观察表1，看看你有哪些发现. （教师用PPT展示表1）

生1：226 cm是姚明的身高.

师：哇，看来你是一个“篮球粉”. 不过这个课我们不研究篮球，看看还有没有其他的发现.

生2：在不同的国家有着不同的度量衡.

师：说得很好. 结合生活实际说一说你知道哪些长度单位和质量单位.

生3：长度单位有千米、米、厘米、毫米.

师：很好，生3根据国际公制给出了长度单位，那么你知道中国市制中的长度单位是什么吗？

生3：寸、尺、丈等.

师：说得很好！那么再说一说质量在国际公制和中国市制中常用的单位又有哪些. （在教师的带领下，学生又复习了质量单位：千克、克、斤、两、钱等）

设计意图：借助长度和质量这些学生比较熟悉的内容，为接下来认识角的单位埋下伏笔.

师：角度也是生活中常用的单位之一，那么对于角的单位你知道哪些？角度的换算单位又是什么呢？

生4：角的单位是度、分、秒，其中1度=60分，1分=60秒.

师：很好，以上是我们熟悉的角度制. 既然长度和质量都有其换算进制，那么角度有没有呢？

生5：应该有，而且是我们今天要研究的重点. （学生故意模仿老师的语气，大家都笑了）

设计意图：借助学生已有知识和已有经验，通过对比的方法引入新知，点燃学生对角度换算进制的探究热情.

2. 联系旧知，发展新知

师：回忆一下，在角度制中何为1度呢？

生6：将圆周平均分为360份，其中的一份为1度.

师：之前我们学过弧长公式，大家还记得吗？在半径为r的圆中，圆心角为1度的扇形所对应的弧长是多少？

生7：1度圆心角所对应的弧长为=.

师：那圆心角为n°的扇形所对应的弧长又是多少呢？

生8：l=.

师：很好！如图1所示，如果圆心角的度数不变，改变r的大小，你能发现什么？

生9：弧长l随着r变大而逐渐变大.

师：思考一下弧长与半径的比，你又发现了什么？

生10：我发现比值为一个定值，因为=，=.

师：很好，那么也就是说当∠AOB不变时，的值是唯一确定的.

师：我们来验证一下到底是不是这样的. （用几何画板演示这一变化过程）

师：结合实验我们发现，当∠AOB不变时，的值是唯一确定的;当的值不变时，∠AOB也是唯一确定的. 如图1所示，若∠AOB=40°15′，那么它是多少度呢？（思考片刻，学生给出了答案）

生11：将15除以60得0.25，所以40°15′=40.25°.

师：很好，不过有人在计算时提出了异议，即计算时先除以60，再转化为十进制，这样显然会给运算带来不便，是否可以创建新的度量角的单位，使之不再需要除以60，直接可以进行十进制计算呢？如何定义才合理呢？（教师预留时间让学生思考）

生12：根据上面我们验证的结果，如果的值不变，圆心角∠AOB是唯一确定的，那么是不是可以用半径来度量角呢？

师：说得很好，你的想法竟然和数学家的想法不谋而合，这就是我们今天要学习的内容——弧度制.

接下来教师介绍了提出弧度制概念的数学家，并明确给出了弧度制的定义，这样在问题的引领下让弧度制的定义多了几分精彩，为后面的实验操作奠定了坚实的基础.

设计意图：通过观察发现的值为固定值，引导学生联想到用来刻画角的大小，为弧度制的引出奠定了基础. 同时在概念生成中引导学生关注运算中的“不便”，为接下来的“创新”埋下了伏笔. 由“不便”诱发学生去创新，从而使新的进制与十进制直接接轨，让学生感悟引入弧度制的必要性和合理性.

3. 动手实验，深化新知

师：如果只有圆规和细线，你能画出一个大小为1 rad的角吗？（预留时间让学生动手画角）

生13：可以. 如图2所示，以r为半径画一个圆，根据定义我们知道1 rad的角的弧长与半径相等，于是用细线测量出半径r后，再在圆周上截取弧AB等于r，则∠AOB就是1 rad的角.

师：是这样吗？（教师用几何画板重现生13的操作过程，以帮助学生加深理解）

师：如果要画一个大小为2 rad的角呢？

生14：重复生13的操作过程，在圆周上截取弧AC等于2r，则∠AOC就是2 rad的角.

师：那么是否可以画出-3 rad的角呢？

生14：只要在圆周上顺时针截取弧AD等于3r，则∠AOD就是-3 rad的角. （用几何画板演示）

师：通过上面的操作，相信大家已经对弧度制有了深刻的理解，那么弧度制和角度制都是可以用来刻画角的大小的，现在你们最想探究的是什么内容呢？

生齐声答：如何换算.

师：说得很好，在长度单位中有1米等于3尺，在质量单位中有1斤等于500克. 那么“一角两制”中的“两制”该如何换算呢？如果给你一个量角器，你能量吗？（教师话音一落，学生立马开始了实验）

生15：根据测量，1 rad大约为57°.

师：你们测量出的结果与生15的结果是否相同呢？（学生纷纷点头表示赞成）

设计意图：借助“画”让学生进一步理解弧度制的概念，通过“量”引导学生进行“两制”换算，为接下来“两制”互化奠定了基础.

4. “两制”互化，内化新知

师：刚刚大家是通过“量一量”来验证的，那么如果利用“算一算”，你又有什么发现呢？

生16：由公式=可知，当==1（rad）时，n=≈57.3，即圆心角n°≈57.3°.

师：太棒了，現在我们就知道了1 rad=

°;那么反过来，1度等于多少弧度呢？

生17：1°= rad.

师：联想整个圆周角，你有哪些发现？

生18：半径为r的圆的周长C=2πr，由弧度制的定义可知，==2π，故360°=2π rad，即1°= rad，1 rad=

°.

师：很好！在角度制中我们知道圆周角为360°，所以1°角是圆周角的;同样，在弧度制中，我们知道圆周角为2π rad，也就是360°=2π rad，所以1°= rad，1 rad=

°.

设计意图：借助动手实验让学生对“两制”的转化形成初步认识，接下来引导学生利用公式来验证结论，从而用数学语言来刻画“两制”的换算关系，为新知的探究寻找新的生长点. 另外，借助特殊向一般转化的思想，引导学生从圆周入手，利用圆周的直观性和形象性来精确刻画“两制”的关系.

师：将下列角由弧度化成度，你会算吗？（教师用PPT展示题目）

（1）;（2）3.

问题给出后，根据“两制”换算的公式，学生轻松得出 rad=×=135°，3 rad=3×≈171.9°.

师：看来大家已经可以轻松地将弧度化成度了，那么反过来，如果将度化成弧度，你会算吗？

（1）22°30′;（2）0°;（3）-420°.

问题给出后，教师让学生自己动手算一算，并点名让一些学生到黑板板演.

生19：22°30′=22.5°=22.5×=.

生20：0°=0×=0.

生21：-420°=-420×=-.

师：大家都完成得很好，不仅熟练掌握了公式，而且运算也非常准确. 现在大家来完成表2，并说一说你有什么发现.

设计意图：通过“两制”互化促进新知内化，同时通过表2中数值的对称性引导学生发现，在弧度制下，角的集合与实数集R是一一对应的关系.

5. 优化公式，强化新知

师：因为α有正负，而≥0，于是α与弧之间的关系应为α=. 如图3所示，你能求出∠AOB的弧度数吗？

生22：可以用量角器量出∠AOB的度数，由l=计算出对应的弧长，根据α=可得∠AOB的弧度数.

师：很好，那么还有没有其他方法可以计算呢？

生23：量出∠AOB的度数后，可以直接根据1°= rad得∠AOB的弧度数.

生24：还可以以O为圆心，以r为半径画圆，其与OA，OB分别交于C和D，计算弧CD除以r可得∠AOB的弧度数.

师：通过上面的计算结果想一想，对于同一圆心角，的值与半径大小是否有关呢？

生齐声答：无关.

师：很好，那么既然无关，作圆时可取r=1，则α=l，弧长即∠AOB的弧度数，这样往往可以简化计算.

设计意图：通过两次优化，既让学生领会了加绝对值符号的必要性，又引导学生发现了对同一个圆心角，的值是常数，其与半径的大小无关. 于是可以借助单位圆简化计算，为后面利用单位圆探究学习任意角的三角函数、诱导公式等内容奠定了基础. 另外，教学中鼓励学生用不同的方法得出∠AOB的弧度数，这样既有利于拓展学生的思维，又能帮助学生强化新知，以此加深对问题的理解，提升学生的能力.

师：我们知道弧长公式为l=·πr，扇形的面积公式为S=·πr2;学习弧度制后，我们知道α=. 那么，将上面两个公式进行变形，弧长公式会变成什么？扇形的面积公式又会变成什么呢？

生25：学习弧度制后，弧长公式为l=αr，扇形的面积公式为S=lr.

师：很好，转化后运算变简单了. 对于扇形的面积公式有没有似曾相识的感觉呢？

生26：感觉扇形的面积公式与三角形的面积公式很像. 如果扇形AOB很小，是不是可以把扇形AOB看作三角形AOB，把弧AB看作三角形AOB的底边，把半径r看作三角形AOB的高呢？

师：很好的想法，这就是数学直觉，现在我们一起来研究一下.

师：如图4所示，将扇形分成n份，当n趋向无穷大时，这时每一份扇形都近似于一个等腰三角形，其半径为等腰三角形的高，弧长为等腰三角形的底，所以扇形的面积为S=l1r+l2r+…+lnr=（l+l+…+l）r=lr. 可见，将扇形的面积看作三角形的面积不仅便于记忆，而且用极限分割的数学思想进行推理，是科学的、合理的.

师：大家来看一下，这个问题该如何求解：已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求扇形的面积.

生27：设扇形的半径为r，弧长为l，则2r+l=8，

l=2r，解得r=2，

l=4，故扇形的面积为S=lr=4（cm2）.

设计意图：引导学生进行扇形的弧长公式和面积公式的“两制”转化，通过对比让学生体验两者的关联性，突出了弧度制的优越性. 同时，启发学生由弧度制下的扇形面积公式S=lr联想到三角形的面积公式，带领学生体会到极限分割思想在数学中的应用.

[?]教学反思

从教学实录可以看出，教师通过生活情境、动手实验、启发联想等，有效地激发了学生的参与积极性，学生的思维在教师问题的引领下盘旋上升. 其实，教学中若想收获好的教学结果，教师应该在“四个理解”上下功夫，从而创设适合学生发展的、质量高的数学课堂.

1. 理解数学

若想组织好教学，打造好课堂，教师首先要将教学内容理解到位，如在本节课教学中要知道为什么要引入弧度制、如何引入弧度制、如何引导学生将角度与弧长统一起来……教师只有把这些关系厘清了、理透了，达到了如指掌的程度，才能抓住核心知识，做好教学设计.

2. 理解学生

教师在设计教学活动、制定教学目标时，只有真正地理解学生、立足学生，才能设计出适合学生发展的教学方案[2]. 如角度制下的弧长公式是学生已经掌握的内容，教师从学生的认知出发引导学生利用公式计算圆心角相同、半径不同的弧长，接下来启发学生对弧长公式进行变形，从而得出为固定值. 这样以旧知为立足点，通过巧妙的引导，为新知创造了生长点;这样以旧知为出发点既有利于学生理解和接受新知，又为新知的探究奠基了坚实的基础，让学生通过“两制”互化，理解并掌握了教学的重难点.

3. 理解教学

数学教学并不是简单的知识讲授，更多的是培养学生良好的思维能力和自主解决问题的能力，因此理解和掌握教學的重难点不能靠教师“灌输”，而应该通过创设合理的情境、巧妙的问题，引导学生去发现、去探究. 比如，教师从长度、质量的进制换算入手，诱发学生关注角的进制换算. 又如，通过填写表2，启发学生将角的集合与实数集建立联系. 在教学过程中，教师要给学生一定的思考空间，让学生体会到获得的数学知识是自己探究的结果，以此激发学生学习的信心，彰显学生的数学能力.

4. 理解技术

随着信息技术的发展，为数学课堂带来了新气息、新发展. 在教学过程中，教师应善于利用多媒体技术有效地整合教学内容，通过适时演示给学生以启示，从而优化教学. 如教师让学生通过圆规和细线作出1 rad，2 rad，-3 rad的角的同时，运用几何画板进行了演示，加深了学生的直观感受，实现了知识深化.

总之，在教学过程中，教师以“四个理解”为出发点，借助实验、探究等数学活动引导学生理解引入新知的合理性和必要性，以此激发学生探究新知的热情，提升学生的数学素养.

参考文献：

[1]  徐兆洋. 数学理解型教学及其课例设计[J]. 数学通报，2012，51（01）：41-44.

[2]  徐辉. 有效追问让初中数学课堂走向深入[J]. 中学数学，2016（18）：65-68.