如何借转化思想提升解题能力

孟春云

[摘  要] 数学思想在解题教学中有着重要的应用价值，文章以“转化”这一数学思想的应用为例，借助转化思想将问题向直观化、简单化、共性化、一般化转变，使解题思路更加清晰明了，数学知识的应用更加融会贯通，收获事半功倍的效果.

[关键词] 数学思想;转化;融会贯通

高考数学题目灵活多变，盲目地通过“刷题”进行强化训练不仅会消耗宝贵的时间，而且收获甚微，因此使很多学生对数学学习丧失了信心. 可见，“题海战术”并不是真正提升解题能力的方法. 那么，如何提高学生的解题能力呢？笔者认为，要提高学生的解题能力除了掌握“双基”外，还要重视数学思想方法的应用，在数学思想方法的指导下解题往往可以达到事半功倍的效果. 笔者借助转化思想浅谈数学思想方法的应用价值，以期引起共鸣，进而重视数学思想方法的渗透.

[?]数形转化

高中数学很多题目是较为抽象和复杂的，单纯地利用公式和定理求解有时可能难以找到解决问题的突破口，然借助图形可以将问题向直观化和简单化转化，从而合理地找到解决问题的切入点，顺利求解.

例1 已知关于x的方程=x+m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.

分析：本题乍看上去较简单，大多数学生第一反应就是将m写成关于x的方程，即m=-x，转化后学生发现不能应用已知条件“有两个不同实数根”直接求解. 第一个思路行不通，学生又想将方程=x+m的左右两边同时平方去除左边的根号，然转化后右边出现了一个一次项2mx和一个二次项m2，这样求解也不是很轻松. 在教师的引导下，学生尝试利用图像法，即数形结合法进行求解. 将方程的左右两边看成两个函数，即左边为y=，右边为y=x+m，这样函数y=与函数y=x+m的图像的交点的横坐标就是方程的实数根. 直线y=x+m的图像会随着m的变化而变化，随着m的增大，其与曲线y=从“有1个交点”到“有2个交点”，随后又由“2个交点”到“1个交点”再到“没有交点”，这样只要找到m的两个临界值，问题就迎刃而解了.

评注：虽然解决同一个问题会有多种方法，然从直观性来看，数形转化的优势更加明显. 显然，本题经过数形转化后，通过观察图像顺利地找到了解题的切入点，解题思路更加清晰了，解题效率也就大大提升了.

[?]正反转化

众所周知，凡事一般都会有正反两面性，数学题目有时亦是如此，若从正面直接求解可能需要经历复杂的运算，也可能需要复杂的分类，这样会给正确求解带来一定的风险. 因此，当直接从问题正面出发难以求解时不妨换个角度，即从反面出发，这样往往会收到意外的效果.

例2 已知在[-1，1]范围内，至少存在一点a，可以使函数f（x）=6x2-3（m-2）x-2m2-m+1的f（a）为正，求m的取值范围.

分析：本题若直接利用已知条件求解很容易联想到数形结合，然数形转化后寻找f（a）>0时，学生发现需要对m进行分类讨论，由于函数复杂，很多学生越分越乱，出现了很多错解. 既然从正面出发求解困难，不妨换个思路：寻找在[-1，1]范围内没有满足f（a）>0的一点a，也就是说在区间[-1，1]内，f（a）≤0恒成立. 由已知，二次函数y=f（x）的开口向上，在区间[-1，1]内，函数图像可能会出现三种情况：①先减后增;②单调递增;③单调递减. 因此，只要保证两个边界f（-1）和f（1）都不大于零，那么在区间[-1，1]内函数值一定都不大于零. 这样通过反向思考就可以顺利求出m的取值范围了.

评注：数学解题方法是灵活多变的，在解题时不要拘泥于一种，当思维受阻时不妨换个角度，“反其道而行之”有时会收到意外的效果.

在日常教学实践中可以看出，学生的正反转化意识淡薄，大多数学生解题时都是从正面直接求解，这从侧面反映出学生的思维缺乏一定的灵活性. 因此，在日常教学中教师要善于引导，通过正反对比让学生感悟正反转化在解题中的应用价值以促进思维全面发展.

[?]特殊向一般转化

高中数学题目虽然千变万化，但是其中往往蕴含着一般规律，只有找到这一般规律，才能抓住问题的本质，进而使解题方法可以融会贯通. 因此，教学中可以通过对特殊问题进行扩展使其转化为一般问题，这样可以快速形成解题思路，有利于解题效率提升. 当然，有时解决一般问题也可以通过添加一些条件，如特殊值、特殊点、特殊图形等，将一般问题转化为特殊问题. 该方法在选择题、填空题中较为常用，借助“特殊”提高解题速度. 显然，“特殊”与“一般”之间存在着“共性”，解题时从“共性”出发更容易找到解题的突破口，进而提高解题效率.

例3 已知函数f（x）=，那么f（-2017）+f（-2016）+…+f（0）+…+f（2017）+f（2018）=________.

分析：显然本题不可能通过代入求值的方法求解，因此求解时必须找到求值规律，问题才能获解. 本题求解的方向主要就是分析结论，首先从f（-2017）到f（2018）可以发现求和项共有4036项，正好是偶数项，由此容易联想到通过两两相加寻找解题的突破口，于是可以从中间两项进行分析：f（0）+f（1）=+=. 接下来继续验证f（-1）+f（2），其结果也是. 于是可以大胆推断对应项两两相加的结果都是，这样一共有2018项，于是本题的答案为1009. 当然，因为本题是填空题，所以可以直接通过特殊值进行求解;若本题为一道分析题，則需要进行一般性的验证，即验证f（x）+f（1-x）=. 这样就是从特殊到一般的联想，通过联想寻找共性，解决问题自然就水到渠成了.

评注：从本题的题设条件可以看出内容较复杂，因此求解时需要进行转化，借助已有经验容易联想到通过两两相加进行求解，这样先通过特殊值进行合情验证，待找到规律后利用“共性”将其转化为一般问题，通过特殊与一般的转化，使复杂问题变得简洁清晰，问题就迎刃而解了.

解题时不要盲目地追求解题技巧，解题技巧在解决一些特殊问题时确实能有一定应用价值，但要知道，高考数学考查的是“双基”及通性通法的应用，考查的是学生的逻辑分析能力，因此解题时不要好高骛远，应引导学生经历假设、联想、推理、验证等过程，促进学生提升分析能力.

[?]主次元转化

多元问题是历届学生公认的难题，因为字母多又相互影响，学生求解时常感觉无从下手. 在面对多元问题时不要急于求解，应多观察，当从主元入手求解较复杂时，可以尝试变更主元，转化思路，有时会收获意外的惊喜.

例4 若不等式ax2-2x+1-a<0对满足-2≤a≤2的所有实数a均成立，求x的取值范围.

分析：本题求x的取值范围其实质就是解关于x的不等式，然该不等式中还有参数a，因此求解时需要对参数a进行分类讨论，过程复杂. 对不等式ax2-2x+1-a<0进行分析，容易发现参数a的次数是1，因此不妨变更主元，将“主元为x、参数为a的不等式”转化为“主元为a、参数为x的不等式”. 变更主元后，原不等式转化为（x2-1）a+1-2x<0. 令f（a）=（x2-1）a+1-2x，原问题转化为“f（a）<0对a∈[-2，2]恒成立”，再结合一次函数的图像，问题便迎刃而解了.

评注：本题求解时通过变更主元有效地规避了复杂的分类讨论，虽然分类讨论可以实现化繁为简，然其求解过程一般都较为复杂，同时分类不当或烦琐计算都会为解题带来更多的不确定因素. 因此，解决此类问题时常借助主次元转化来规避风险. 显然，本题通过主次元转化获得了意想不到的结果.

[?]建模转化

所谓数学建模可简单地理解为将实际问题抽象为数学问题，进而可以应用数学知识来解决现实问题，彰显数学的应用价值. 在高考数学中也常出现一些实际问题，解决此类问题时需要学生进行信息的抽象和提取，将问题转化为常见的数学模型，运用模型思路求解. 当然，若有些问题过于抽象，也可以联系生活实际，借助实际问题与数学模型的相互转化，完成抽象与具体的转化.

例5 （1）现将6人排成一排，要求小明和小刚不能挨着，你有多少种排法？

（2）若排好的队伍中新增3人，又有多少种排法呢？

分析：本题显然就是排列中的“相离问题”，解决此类问题一般常用“插空法”. 对于问题（1），先不考虑小明和小刚，另外4人共有A种排法，这样4人首尾和中间共有5个空位，将小明和小刚插进空位共有A种排法，所以共有A·A=480种排法. 对于问题（2），当新增第1人时，有7个空位，有A种排法;当新增第2人时，有8个空位，有A种排法;同理，当新增第3人时，有A种排法. 因此，共有AAA=504种排法.

评注：排列组合问题与生活的联系最为密切，解决此类问题时往往需要借助数学模型来求解. 仔细研究发现，很多题目虽然看起来不相同，然解题思路却完全相同. 因此，只有準确、熟练地掌握好各个数学模型，在应用时才会显得毫不费力，进而达到融会贯通的目的.

总之，转化思想在数学解题中有着重要的应用价值，日常教学中应重视引导和强化，进而通过转化提升解题能力.