培养小学生模型意识的思考与实践

杨晔

[摘 要]数学课程标准将模型思想的培养分学段逐步推进，小学阶段重点强调模型意识的渗透。模型意识是学生对数学表征的一种意识形态，更是数学输出的一种语言表达。从建模教学淡化的归因分析展开思考，在实践中探索如何进行建模教学。

[关键词]模型意识;数学建模;核心素养

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2022）20-0044-03

数学模型可以理解为“用格式化的语言概括地表征所研究对象的特征及其关系的数学结构”。如果用一张图来表示数学的元素，你就会看到很多公式、符号、图形，其实这就是数学模型。换言之，数学模型就是数学外显的语言。纵观数学的研究，都是对数学模型建立的探索，从猜想到结论，从发现到运用，数学思想、数学思维、数学能力都在这一过程中充分展现。小学阶段，教师主要是培养学生的模型意识，通过建模教学，让学生感受到很多生活问题都可以用数学模型进行表达和解释，从而更深刻地认识到数学与生活的联系。

一、建模教学淡化的归因分析

笔者在对数学建模进行研究前，和部分数学教师关于“建模”教学进行了讨论，发现大家普遍对建模概念的理解比较模糊，在课堂上很少让学生从这个角度进行研究。这是为什么呢？

1.站高看低，忽略模型意识的渗透

从知识的维度看，小学数学课堂简单且显而易见，如“一共”用加法计算，“平均分”用除法计算，大家也普遍认为“建模”是数学高追求下的产物，小学阶段的学生只需吸收和运用。从能力的维度分析，小学生还处于数学学习的初始阶段，他们未有很强的能力去发现大家已经认识到的问题，无须在此进行深挖。从培养核心素养的维度想，模型思想很难在一些课堂中体现，也不易产生成果，而其他素养更加直白，更容易被挖掘和塑造。从教师自身看，我们是数学知识的传递者，并非数学知识的研究者，我们需要做的是将已有的知识教给学生，从而完成数学学习的不断赓续，建模是从无到有的过程，既然已有，自然无须反复强化。当大家站在巨人的肩膀上来俯瞰小学数学时，模型意识自然就被忽略了。

2.舍远求近，忽略模型结构的价值

数学是研究数量关系和空间形式的科学，从概念的角度剖析，无论是“数量关系”还是“空间形式”，最后的呈现都依赖于模型。而模型的建立，必然需要很多其他素养的介入，如数感、空间观念等。当教师都聚焦于这些时，就容易忽略模型结构本身的价值。教师普遍在纠结：这些简单的数学公式很多学生都已经会了，还有必要让他们去思考这些是怎样来的吗？跟小学生谈数学建模，太难太深了，这如同数学的创造，我们难以驾驭。这是制约数学建模教学的问题之一。但教师忽略了一个重点，那就是如果学生在小学阶段没有形成数学模型的意识，那么在后面的学习中将如何有更多数学的创造呢？高斯在10岁时能将1加到100的和用等差数列模型求解出来，这就是建立和运用模型的智慧。当代的小学生同样可以通过教师的精心教学，对一些常见的问题加以思考形成数学模型，为将来的数学学习服务。

3.思弱用强，忽略模型内涵的宽泛

抽象、推理、建模是数学能力的三大核心，抽象和推理都是为模型的建立服务的，通过三者的融通，能提升数学学习的水平。数学课程标准强调的是模型思想，指出学生初步形成模型思想是为提高学习数学的兴趣和应用意识服务，起媒介作用。因此教师会跳过模型思想的形成，去重点研究数学知识的应用，从而忽略模型内涵的宽泛，将过程中的思考和模型建立弱化，将具体的运用放大为教学的核心。同时，强烈的“质量观”让教师更关注问题的解决，将已有的模型通过简化变为易懂的方式传达给学生，在更多的问题解决中获得质量提升的成就感。

二、培养模型意识的实践探索

模型意识是一种表达思维，模型是反映外部事物联系和规律的方式。在教学时渗透模型意识，学生才能逐步形成建模观念，最后形成建模能力。

1.智用抽象推理，放慢建模过程

史宁中教授将对数学发展影响最大的三种思想“抽象、推理、模型”用下图来表示。

通过这幅图，我们可以清晰地认识到模型思想指向核心素养，数学建模指向“四能”的发展，素养与能力相辅相成，是同一目标的不同表达。抽象和推理推动数学模型的形成，将整个数学研究以闭环的姿态向前推进。从这个视角可以看出，数学知识的学习离不开数学建模，建立模型是目标，应用模型是发展。其他的核心素养都是模型思想形成之路上的辅助工具和生成元素，因为对模型进行探究，才让数学变得更加丰润和充满魅力。有时，模型的建立只源于一种灵感或是瞬间的感悟，但求解模型的过程往往很漫长，也正是因为漫长，才让数学如大树般，生長出了枝丫。这种“漫长”是一种严谨，更是一种方向的指引。课堂中，教师也应该放慢建模的过程，让学生在探究中体会学习数学的快乐。

如苏教版教材四年级下册“加法交换律”的教学，学生根据例题已经抽象出加法交换律的模型，然后要验证模型的正确性。

出示活动任务：

验证猜想“交换两个加数的位置，和不变”。

想一想：用什么方法验证？

写一写：记录你的验证过程。

说一说：根据过程先自己组织语言说一说，再进行全班交流。

呈现学生资源：

层次一：学生用举例的方式进行验证，其中包含整数、小数、分数、较大的数等算式的验证过程。（多个资源）

层次二：学生通过画线段图进行验证，并在图中标出具体的数值，线段的起点和终点的位置相同。（一个资源）

层次三：同样画线段图进行验证，但是在线段图上用字母表示数值。（一个资源）

教师讲解时重点对用线段图验证的学生进行追问，让学生说明想法，并在三种验证方法结束后提问有没有遇到反例。当学生汇总没有反例后下结论，强调加法交换律的文字表达和字母表达。

通过上面的教学环节可以发现验证模型的过程其实很慢，并不是通过几个例证就能加以肯定，而是通过三个层次不断递进肯定的。层次一的数值举例验证关注不同种类的数，呈现较为丰富的资源。图形表征是学生从合情推理转向演绎推理的过渡，更是模型思想的核心，需要学生有较强的推理能力。层次二正是学生的理性萌芽向层次三跨越的最好扶梯。层次三抛开数值的局限，直接抽象出字母模型，让学生的思维进一步走向严谨和深刻。最后通过“有没有反例”来逆向完善学生的建模过程，帮助学生在“慢”推理和抽象中，形成正确的数学探究行为，养成严密的逻辑思维。这不仅仅是对学生数学素养的培养，更是对他们数学思维的完善。后面加法结合律的证明也再次体现了这种“慢”的价值，通过举例的方式进行验证的学生人数明显降低，但资源却非常丰富，他们综合考虑了数的种类，更多的学生倾向于用线段图验证，模型的建立有了蓬勃的生长。小学数学课堂有时看似很稚嫩，一年级时要用一节课的时间教学生在幼儿园就明白的“加”，这用教吗？其实这教的不是知识本身，而是数学思想的渗透、数学思维的塑造、数学能力的培养。建模是培养素养的催化剂和脚手架，需要通过“慢”教模型的过程来逐步形成。

2.关注思维节点，抓实培养契机

从数学语言的角度纵观学生学习数学知识的过程，其实是在掌握一个个数学模型。每节课也都有培养的重心，如果关注的素养过多，很容易将数学课堂做成“大锅饭”，反而失去其“色香味”。模型意识的培养可以抓住关键的思维节点，强化基础模型，延展变化模型，让学生感受到模型之间的联系，找到共性，为其纵向发展夯实根基。

如苏教版教材六年级上册的“分数乘整数”教学。教学时，教师先通过问题“导弹方阵每列4辆导弹装甲车，有3列，每辆上有4枚导弹，一共有多少枚导弹？”与“解放军每步都走0.75米，10步能走多少米？如果走n步呢？”，帮助学生复习整数乘法和小数乘整数模型，唤醒学生“乘法是加法简便运算”的经验。接着出示例题，学生列出[310]×3或[310+310+310]两道分数算式，分析两种算式列法，提出学习模型：分数与整数相乘的乘法。

如何在教學时使探究过程有层级地逐步推进？首先，学生自主探究分数乘整数的计算方法，抽象出“分数与整数相乘，用分数的分子与整数相乘得到积的分子，分母不变”的计算模型。其次，抛出另一个分数乘整数的乘法算式，出示[79]×4，让学生将它转化为加法算式验证结果是否是[289]。最后，让学生意识到列举的繁杂性和不完整性，从而想到用[ba]×n来代表分数乘整数并加以证明。

本课的基础模型是乘法，变化模型是整数乘整数、小数乘整数，分数乘整数是在小数乘整数的基础上延伸的，是对乘法模型的再次丰富。在这个思维节点上，关注乘法模型的解决方法，不仅可以突出模型的共性，还能将模型的创造过程进行充分的展现，为后面分数乘分数的学习做铺垫。同时，我们也发现建模教学可以将学生点状的思维系统化，合并成类，形成深刻的数学结构。当学生学习分数乘分数后，乘法模型就会合并成最终结构：分子相乘作分子，分母相乘作分母。这一模型也可用于解释整数乘法和小数乘法，这就是模型探究的魅力，它是有层级地逐步推进，从而系统化、完整化。学生抓住思维节点进行探究，可以夯实模型意识，感悟数学模型的高度概括性，达成数学语言表达的精准性。

3.强化模型本质，灵活辨析应用

建模是一个闭环的过程，从问题出发，建立模型、求证模型，而后让模型作用于实际问题。数学本身是对问题不断求解的过程，模型是解决问题的媒介。如何运用好模型，这不仅仅是教学的另一重点，更涉及学生对模型的理解与辨析。笔者在教学中经常发现，当只出现一种模型时，学生对其运用都非常熟练，错误也非常少，但当模型多了之后，学生就容易混淆，结构错乱化。如何处理好模型的运用，提炼模型本质，这是课堂上不可或缺的环节。

（1）注重问题对比，在辨析中不断明确

小学数学知识的学习是在不同的思维区域内打“地基”。这时候学生学习的知识是分散的，还未形成关联，因而在提炼模型时，学生会因为问题结构的不清晰而出现错误。教师在处理该问题时，应该抓住这一学习特点和思维特性，将问题进行对比，明辨模型结构的区别，从而不断提升学生对模型的运用能力。如对于长方形周长和面积的计算，学生经常会混淆周长计算模型和面积计算模型。在教学面积计算模型时，教师应该先复习周长计算模型，让学生意识到周长和面积是两个不同的概念。部分教师会忽略这一点，因为周长和面积的教学时间相差较远。笔者在面积的教学中设计了三个对比：课前对比，发现周长和面积的区别，通过周长计算公式激发学生探究面积公式的欲望;课中对比，推导出面积公式后，让学生辨别其与周长公式的区别;课末对比，利用题组练习使学生对周长和面积两个概念的认识更深刻。运用对比手法，帮助学生在模型提炼中明确，在模型运用中思辨，提升模型意识培养速率。

（2）抓实问题本质，在理解中合理运用

笔者清晰地认识到，学生模型意识的养成并非一朝一夕之事，他们对知识的掌握是一个渐进的过程。教师在关注学生运用模型的同时，还要帮助学生理解，只有建立在明白基础上的解决才是学习本身的追求。很多时候学生对模型的运用过于机械，“正确”的背后留下了思维定式的“暗疮”，待时机成熟就会爆发。在教学时，教师要关注学生对问题的理解和对本质的把握，只有如此，学生才能在模型的运用中更加灵活。例如四年级上学期教学用连除或先乘再除解决归一问题时，其实很多学生都已经掌握了解决问题的模型，在运用中也没有出错，但他们真的理解了模型吗？教学时，教师一定要抓实学生对问题的理解，说明每一步算的是什么，只有说得清理得顺，才是真的掌握了模型。如一年级学生在解决“妈妈有10个苹果，比小明多5个苹果，小明有几个苹果？”时，常会计算成“10+5”，这其实就是对“求比一个数多几”模型的掌握不够清晰，未真正理解多和少的本质。教师作为知识的传递者，学习的引导者，要帮学生从小形成正确的模型应用意识，如此，学生才能在不断变化的数学问题中合理运用，形成素养。

让学生自己创造出已有的数学模型，不仅可以增强成就感，还能在创造的过程中综合运用已有的数学能力，提升自身的数学素养。因此，进行数学建模的研究，应在过程的放慢中抓实思维节点，强化模型本质，提升能力、进阶思想、赓续思维，让数学语言展现其独特的魅力。

[本文系江苏省重点资助课题“小学生数学建模能力培养的教学课例研究”（课题号：C-a/2020/02/01）阶段性成果。]

（责编 吴美玲）