落实单元教学，开展定向有序的数学探究

刘炳辰

摘  要：深入体会教材的编写意图，落实好单元教学，真正以发展学生数学学科核心素养为目标开展教学，才能充分发挥数学的育人价值. 在单元教学背景下，针对“函数[y=Asinωx+φ]的图象”这节课，紧扣函数模型的实际意义，开展定向、有序、开放的数学探究活动. 详细记录教学设计与实践的具体情况，并结合课堂实例进行教学反思.

关键词：函数图象;筒车模型;数学建模;单元教学

2021年12月底，笔者有幸参加了一次课例研讨活动. 活动的主要内容是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第一册（以下统稱“教材”）“5.6 函数[y=][Asinωx+φ]”课例研讨，活动形式是同课异构. 笔者就“参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响”进行了课例展示. 仔细研读教材、教师教学用书、配套课例资源及章建跃主编的教科书解读等专业资料是备课中的重要任务. 在基本理解单元立意的基础上，教学设计初具雏形. 之后，山西省教育科学研究院薛红霞老师细致入微地指导笔者对教学设计进行了反复的实践与打磨. 在团队的合作下，这份教学设计于精研教材理念后成型，于精抠教学细节后定型，最终的教学效果得到了章建跃主编的认可. 在备课、磨课、上课、评课的过程中，笔者在实践中摸索，切实感受到了教材在“用数学的方式育人”方面的先进性，借以此文分享本节课教学设计与实践的具体情况与教学心得.

一、单元-课时教学设计

1. 内容和内容解析

（1）内容.

现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性，周期性现象可以用三角函数进行刻画. 匀速圆周运动是一种常见的周期性变化运动，本单元的主要内容为建立一般匀速圆周运动的函数模型[y=Asinωx+φ]，并研究其图象与性质.

结合实际学情，本单元可以划分为以下三个课时.

第1课时：充分经历对筒车运动的数学建模过程，建立一般匀速圆周运动的函数模型[y=Asinωx+φ].

第2课时：利用筒车模型设计实验，分别探究参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响.

第3课时：分别探究用图象变换法和“五点法”作图得到函数[y=Asinωx+φ]的简图的方法和步骤;函数[y=Asinωx+φ]的图象及性质的简单应用.

（2）内容解析.

① 内容的本质.

建立一般匀速圆周运动的函数模型[y=Asinωx+φ]，并研究其图象、性质和应用.

② 蕴含的数学思想和方法.

运用数学抽象从实际问题中建立函数模型;探究参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响过程中所运用的控制变量、从特殊到一般和数形结合的思想方法.

③ 知识的上下位关系.

学生经历了指数函数、对数函数的研究，知道研究一类新函数的一般路径;基于单位圆对正弦函数进行定义，为利用函数[y=Asinωx+φ]刻画一般的匀速圆周运动奠定了知识基础;从筒车模型中抽象出函数[y=Asinωx+φ]，明确参数[A，ω，φ]的实际意义，为探究参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响奠定了基础;函数[y=Asinωx+φ]的图象的探究为函数[y=Asinωx+φ]的简单应用及三角函数的应用（教材第5.7节）奠定了基础.

④ 育人价值.

积累数学建模活动经验. 筒车运动是代表性的匀速圆周运动，建立函数模型[y=Asinωx+φ]对筒车运动进行刻画，有助于学生积累数学建模活动经验.

体会数学研究方法. 学生在探究参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响时，可以充分体会控制变量、从特殊到一般和数形结合的思想方法.

感受数学的实际应用. 由实际问题得到函数模型[y=Asinωx+φ]、利用函数模型[y=Asinωx+φ]解决实际问题，充分体现数学与实际生活的密切联系.

发展数学学科核心素养. 由筒车运动建立函数模型[y=Asinωx+φ]，发展学生的数学建模和数学抽象素养;探究参数[A，ω，φ]的变化对函数模型[y=Asinωx+φ]的图象的影响，发展学生的直观想象和逻辑推理素养;利用函数模型[y=Asinωx+φ]解决实际问题，发展学生的数学建模和数学运算素养.

（3）教学重点.

利用函数模型[y=Asinωx+φ]刻画一般的匀速圆周运动;参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象及性质的影响;从正弦曲线到函数[y=Asinωx+φ]的图象的变换过程.

2. 目标和目标解析

（1）单元目标.

① 通过建立一般匀速圆周运动的函数模型[y=][Asinωx+φ]积累数学建模活动经验，感受三角函数与现实世界的密切联系，发展学生的数学建模和数学抽象素养.

② 通过探究参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=][Asinωx+φ]的图象的影响、绘制函数[y=Asinωx+φ]的简图，理解函数解析式与函数图象之间的内在联系，体会控制变量、从特殊到一般和数形结合的思想方法，发展学生的逻辑推理和直观想象素养.

③ 通过应用函数[y=Asinωx+φ]解决简单的实际问题，体会数学与生活的密切联系，发展学生的数学抽象与数学运算素养.

（2）目标解析.

达成上述目标的标志如下.

① 能借助三角函数的定义，对筒车运动规律进行数学建模，获得函数模型[y=Asinωx+φ]，理解变量[x，y]和参数[A，ω，φ]的实际意义，说明函数[y=][Asinωx+φ]与生活中的匀速圆周运动之间的联系.

② 能通过类比，建立参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响的探究实验的设计思路、研究方法，解释参数[A，ω，φ]对图象的影响.

③ 能总结由正弦曲线经平移、伸缩变换得到函数[y=Asinωx+φ]的图象的步骤;能利用“五点法”作图画出函数[y=Asinωx+φ]的简图.

④ 能根据函数[y=Asinωx+φ]的图象说明其性质，并解决一些简单的具有明确匀速圆周运动特征的实际问题.

3. 教学问题诊断分析

（1）学生已有认知基础.

① 學生理解正弦函数的定义、知道三角函数具有周期性，从而更容易想到借助三角函数对“周而复始”的筒车运动的规律进行刻画，并利用正弦函数建立水筒高度与其转过的角的弧度之间的联系，有助于突破建模时的难点.

② 学生在研究指数函数、对数函数时已经明确了研究一类新函数的一般路径，有助于有序地对函数[y=][Asinωx+φ]展开研究.

③ 初中时，学生经历过参数[a，b，c]对函数[y=][ax2+bx+c]的图象及性质的影响的探究活动，有一定的采用控制变量、从特殊到一般进行研究的方法意识，有利于明确探究思路.

（2）学生可能遇到的难点及破解办法.

① 筒车运动的数学建模较为复杂，综合性强，且涉及几何量之间的对应关系，而非较为直接的运算关系，学生缺乏研究这类问题的经验. 教学中，可以借助信息技术直观呈现筒车运动的情况，引导学生仔细分析其中的变量和函数关系，从而突破这一难点.

② 在研究参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响时，由于三个参数共同影响函数图象，学生可能会感到无从下手. 教学中，教师可以引导学生回顾二次函数图象的研究方法，了解控制变量法和从特殊到一般的思想方法，设计探究方案.

③ 在探究从正弦曲线经图象变换得到函数[y=][Asinωx+φ]的图象的方法时，学生需要综合考虑三种变换，不同的变换顺序会导致变换方法的不同，教师在教学中应该注意引导学生结合筒车模型理解图象变换的本质.

（3）教学难点.

数学建模的过程与方法;函数[y=Asinωx+φ]的图象变换与其解析式变化之间的内在关系.

4. 教学支持条件分析

制作模拟筒车运动的计算机程序，直观展示、对比不同参数对应匀速圆周运动的实际情况，可以降低数学抽象的难度. 利用GeoGebra软件分别制作参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象影响的动态课件，任意改变相应参数并绘制函数图象，不仅可以将局部的图象更加精确地拓展到整体，还可以帮助学生直观感受函数解析式与图象之间的内在联系，理解参数对图象的影响.

5. 课时教学设计

第2课时：参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=][Asinωx+φ]的图象的影响.

（1）课时教学内容.

利用筒车模型设计实验，分别探究参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响.

（2）课时教学目标.

通过探究参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响，能够进一步理解参数[A，ω，φ]在圆周运动中的实际意义，明确参数[A，ω，φ]的变化对函数图象及性质的影响、函数解析式与图象之间的内在联系，体会控制变量、从特殊到一般和数形结合的思想方法，发展学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.

（3）教学重点与教学难点.

教学重点：参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=][Asinωx+φ]的图象的影响.

教学难点：函数[y=Asinωx+φ]的图象变换与解析式变化之间的内在关系.

（4）教学过程设计.

环节1：创设情境，确定方法.

师：上节课中，我们从筒车模型中抽象出了函数[y=][Asinωx+φ]，接下来应该进一步研究其图象与性质. 函数[y=Asinωx+φ]受到[A，ω，φ]三个参数的影响，该如何开展研究呢？首先，请同学们回顾二次函数[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的图象的探究过程：控制[b，c]不变，只改变[a]，可以发现[a]影响开口方向和开口大小，这里用到了控制变量的方法. 通过研究几个特殊的[a]值，可以归纳总结出参数[a]对二次函数图象的影响，这里用到了从特殊到一般的思想. 接下来，类比二次函数的研究过程开展本节课的探究. 思考并回答下列问题.

问题1：（1）函数[y=Asinωx+φ]中变量[x，y]和参数[A，ω，φ]的实际意义分别是什么？

（2）函数[y=sinx]与函数[y=Asinωx+φ]有什么关系？

预设的师生活动：教师带领学生回顾初中时研究二次函数[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的过程，总结其中的思想方法，明确参数[A，ω，φ]的变化对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响的探究思路：从函数[y=][sinx]出发，控制变量，每次探究一个参数，通过研究特殊值归纳总结该参数对函数图象的影响. 之后，教师引导学生复习函数[y=Asinωx+φ]中自变量、因变量与三个关键参数的实际意义. 此处可以着重强调自变量[x]与因变量[y]的物理意义和关系，以帮助学生明确：要想知道平面直角坐标系中哪个点在函数图象上，只要把握好动点做匀速圆周运动的时间（即为[x]），以及此时动点在圆上的位置对应的高度，即纵坐标（即为[y]）.

追问：我们可以按照怎样的顺序对参数[A，ω，φ]进行研究？

预设的师生活动：学生发表自己的观点后，教师引导学生确定按[φ，ω，A]的顺序进行探究，即依次研究函数[y=sinx+φ]、函数[y=sinωx+φ]和函数[y=][Asinωx+φ]的图象.

实际的师生活动：试讲过程中学生给出了各种研究顺序，教师在肯定其可行性的基础上，选择了与教材中一致的研究顺序. 但是教师感觉到本课时的容量略大，为节约时间，正式上课时省略了追问，直接由教师规定参数的研究顺序，导致学生没能进行充分的思考，没能完整地参与数学探究方案设计的全过程.

【设计意图】类比函数[y=ax2+bx+c]的图象的研究方法，确定研究函数[y=Asinωx+φ]的图象的方法和思路. 明确变量与参数的实际意义，为利用筒车模型对函数[y=Asinωx+φ]的图象进行探究打好基础.

环节2：教师主导，师生共研.

探究参数[φ]对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响.

问题2：类比初中时研究二次函数的方法，我们遵循从特殊到一般的思想，先取特殊值[φ=π6，] 再类比总结任意[φ]值对函数图象的影响. 按照这样的思路，函数[y=sinx+π6]与函数[y=sinx]所描述的动点[M]所做的匀速圆周运动分别是什么？主要区别是什么？结合筒车模型说明.

预设的师生活动：学生明确函数[y=sinx+π6]与函数[y=sinx]所描述的匀速圆周运动的区别主要是初始位置不同.

追问1：如图1，任取单位圆上一点[P]. 若动点[M]（记为点[M1]）以[Q0]为起点运动，经过[x]s后到达点[P]，则动点[M1]转过的角的弧度是多少？[y]与点[P]的关系是什么？

追问2：如图1，若动点[M]（记为点[M2]）以[Q1]为起点运动，到达同一个点[P]时，其所用的时间是缩短了还是延长了？从物理角度如何进行计算？

预设的师生活动：追问1和追问2分别对应函数[y=][sinx]和函数[y=sinx+π6]所描述的匀速圆周运动. 在学生回答追问1时，教师引导学生详细分析计算过程：动点[M]运动的角速度[ω=1]，时间为[x]s，因此转过的角的弧度为[1 · x=x]. 在学生回答追问2时，教师可以展示如图2所示的筒车运动模拟程序，同时类比“两名学生在不同的起跑线以相同的速度赛跑，到达同一个终点时谁用时更短”的问题帮助学生更快、更直观地进行分析. 在学生回答“从物理角度如何进行计算”时，教师引导学生明确这是一个路程问题，动点[M1]所转过的角的弧度为[x-π6，] 角速度为[ω=1，] 因此所用时间为[x-π6]s.

实际的师生活动：试讲时发现学生很容易理解点[M1]和点[M2]运动的差异，教师口述了“两名学生从不同起点开始赛跑”的例子，这已经足够帮助学生进行形象理解. 实际上，学生真正的难点是用抽象的数学语言进行表达. 因此，筒车运动模拟程序并没有真正“抓住学生的痛点”，故实际授课时删去了图2中模拟程序的展示.

追问3：根据上述实验过程分析. 若点[x，y]在函数[y=sinx]的图象上，那么哪个点一定会在函数[y=][sinx+π6]的图象上？写出点的坐标，并说出这两个点的位置关系.

追问4：根据上一个问题的结果，你能说出函数[y=][sinx+π6]的图象与函数[y=sinx]的图象有怎样的联系吗？说明原因.

预设的师生活动：学生得出如下结论. 若点[x，y]在函数[y=sinx]的图象上，那么点[x-π6，y]一定在函数[y=sinx+π6]的图象上，且点[x-π6，y]是由点[x，y]向左平移[π6]个长度单位得到的. 因此，将函数[y=sinx]的图象向左平移[π6]个长度单位，即可得到函数[y=][sinx+π6]的图象.

在学生回答追问4时，教师应该着重引导学生分析：函数图象是由一个个点组成的，因而每个点的变化决定了函数图象整体的变化.

实际的师生活动：初次试讲时，追问3中没有强调“位置关系”，只要求学生说明两点的关系，因此学生只从数值层面上回答出“[x-π6，y]与[x，y]相比，纵坐标相同，横坐标减小了[π6]”. 这一情况说明了准确提问对于提高课堂效率的重要作用.

追问5：选择一个[φ]的其他取值进行实验，函数图象会有怎样的变化？结合筒车模型解释.

追问6：根据上述实验结果，你能归纳出[φ]的取值对函数[y=sinx+φ]的图象的影响的一般性结论吗？

预设的师生活动：学生自由选取[φ]的值，按照追问1 ～ 追问4的思路进行分析，根据从特殊到一般的思想最終得到结论.

在学生完成实验探究并得到结论后，教师利用GeoGebra软件展示动态课件，进一步展示函数图象的变化情况，加深学生的直观理解.

实际的师生活动：学生在回答追问6时，很容易脱离筒车模型，仅从抽象的代数层面进行解释. 但是经过教师的引导，学生最终可以结合筒车模型给出具体完整的分析.

【设计意图】本环节引导学生有序地参与数学实验，充分利用筒车模型从特殊到一般地探索参数[φ]对函数图象的影响，让学生积累数学探究活动经验，发展学生的直观想象和逻辑推理素养.

问题链的具体设计意图如下. 首先，厘清关系. 问题2是对研究对象的梳理，帮助学生厘清函数图象上的点的横坐标和纵坐标的含义，以及动点[M]的运动方式的不同，为后续研究奠定基础. 其次，进行实验. 在追问1 ～ 追问4中，教师引导学生参与数学实验，让学生真实体会动点[M]由不同的起始位置开始运动，会导致函数[y=sinx]与函数[y=sinx+π6]出现怎样的差异，发展学生的直观想象和逻辑推理素养. 最后，迁移归纳. 追问5和追问6旨在引导学生完成从特殊到一般的转变，学生根据[φ]取特殊值[π6]时的研究经验，自行归纳出参数[φ]的值对函数图象的影响，充分体会从特殊到一般的数学思想.

环节3：类比方法，自主设计.

探究参数[ω ω>0]对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响.

问题3：你准备如何探究参数[ω ω>0]对函数[y=][Asinωx+φ]的图象及性质的影响呢？试设计方案，猜想结果. 先独立思考，再小组讨论.

预设的师生活动：学生类比参数[φ]对函数[y=][sinx+φ]的图象的影响的研究过程，按照从特殊到一般的思想方法，独立思考之后小组讨论，并拟定研究参数[ω]的变化对函数[y=sinωx+φ]的图象影响的方案. 教师引导学生确定如下探究方案：① 为控制变量，应固定[φ]的值（不妨设[φ=π6]）. ② 根据从特殊到一般的思想方法，可以先研究[ω]取特殊值2时图象的变化，即根据动点[M]运动方式的不同，分析函数[y=][sinx+π6]与函数[y=sin2x+π6]的区别与联系. ③ 选取其他[ω]的值进行实验，归纳参数[ω ω>0]对函数[y=sinωx+φ]的图象的影响.

追问1：函数[y=sin2x+π6]描述的是动点[M]做怎样的匀速圆周运动？与函数[y=sinx+π6]所描述的动点[M]做匀速圆周运动的区别是什么？

追问2：如图1，任取单位圆上一点[P]. 若动点[M]以[Q1]为起点，当角速度[ω=1]时，动点[M]经过[x]s后到达点[P]，那么当角速度[ω=2]时，动点[M]经过多少时间后可以到达点[P]？

追问3：根据上述研究说明，若点[x，y]在函数[y=][sinx+π6]的图象上，那么哪个点一定会在函数[y=][sin2x+π6]的图象上？这两个点的位置关系如何？据此可以说明，函数[y=sin2x+π6]的图象与函数[y=][sinx+π6]的图象有怎样的联系？

预设的师生活动：学生自主完成，可以找到关系，但是不能准确地表达. 教师予以帮助，得到：函数[y=sinx+π6]与函数[y=sin2x+π6]所描述的匀速圆周运动的半径与起点相同，而角速度不同，前者[ω=1]，后者[ω=2]. 若当[ω=1]时，动点[M]经过[x]s后到达点[P]，则当[ω=2]时，由于角速度变为原来的2倍，所以动点[M]转过相同的角时，所用的时间会变为原来的[12]，即[x2]s. 因此，若点[x，y]在函数[y=sinx+π6]的图象上，那么点[x2，y]一定会在函数[y=sin2x+π6]的图象上.

点[x，y]的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的[12]，即可得到点[x2，y]，说明将函数[y=sinx+π6]的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的[12]，即可得到函数[y=sin2x+π6]的图象.

当学生的回答偏离筒车模型时，教师应该及时进行引导.

实际的师生活动：试讲时发现，学生难以准确概括点[x，y]与点[x2，y]之间的位置关系，出现了“向左移动”等错误表述，说明学生没能真正理解伸长与缩短的含义. 为了进一步加深学生的直观理解，笔者在实际授课中增加了“哪些点的坐标不发生改变”的追问，帮助学生明确[y]轴上点的位置不会发生变化，而其他点会更加靠近[y]轴这一事实，从而使学生能以[y]轴为参照描述这种伸缩变换.

追问4：选取其他的[ω]值进行实验，并结合筒车模型分析函数图象的变化. 根据上述实验结果，你能归纳出参数[ω ω>0]对函数[y=Asinωx+φ]的图象影响的一般性结论吗？

预设的师生活动：学生自由选取其他的[ω]值，按照追问1 ～ 追问3的思路进行分析，最终得到结论.

在完成实验探究并得到结论后，教师利用信息技术手段对图象的变化情况进行进一步展示，加深学生的直观理解.

实际的师生活动：学生归纳一般结论时，在没有任何引导的情况下，先描述了函数周期的变化，这是出乎意料的情况，也侧面反映出教材提到周期这一函数性质的合理性. 笔者顺势进行了追问：“周期变化的原因是什么？你能利用筒车模型进行解释吗？”学生在引导下得到结论：动点[M]顺时针或逆时针继续转过每个2π，就会再次到达同一个点[P]，由于角速度为[ω，]因此动点[M]转过2π所用的时间为[2πω]s，这就是函数[y=Asinωx+φ]的周期. 这样追问反而使学生对周期的理解自然地达到了数、形、物理背景的统一，使得周期公式变得具体、直观.

【设计意图】由于本环节需要学生对之前所掌握的经验、思想与方法自觉地进行应用，设计实验进行探究，考验学生运用数学方法的能力和核心素养的水平. 本环节中追问的结构與环节2保持一致，让学生充分参与了定向、有序的数学探究. 学生在完成本环节的探究后，不仅可以进一步体会匀速圆周运动与三角函数之间的密切联系，加深对三角函数实际意义及三角函数图象的理解，还可以在自主设计与探究的过程中进一步体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法，发展自身的直观想象和逻辑推理素养.

环节4：自主探究，师生总结.

探究参数[A A>0]对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响.

问题4：能否自行设计方案对参数[A]进行研究，并总结出参数[A A>0]对函数[y=Asinωx+φ]的图象的影响？

预设的师生活动：本环节主要由学生在独立思考的基础上通过小组合作交流完成. 仿照前面研究问题的方法与思路设计实验、完成实验，最终形成一般性结论.

得到实验结论后，教师可以利用GeoGebra软件绘制函数[y=Asinωx+φ]的图象，进一步加深学生对函数[y=Asinωx+φ]的图象的直观理解.

实际的师生活动：在实际授课中，笔者没能做到完全“放手”，在学生回答问题的过程中进行了不必要的引导，一定程度上禁锢了学生的思维.

【设计意图】这一环节主要由学生对前面学到的数学思想与方法进行实际应用，进一步加深学生对从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想的理解与体会，真正积累数学探究活动的实际经验，发展学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理素养.

环节5：总结知识，提炼思想，发展素养.

教师引导学生对本节课进行回顾与总结.

问题5：能否以下列任务为引导，分享自己在这节课中的收获？

（1）参数[A，ω，φ]分别是如何影响函数[y=Asinωx+φ]的图象的？结合筒车模型进行解释.

（2）在本节课中学习到了哪些数学研究方法？总结一下，并结合研究过程给出具体解释.

（3）你觉得接下来还应该对函数图象进行哪些方面的研究？

师生活动：学生回顾课堂内容与本节课的活动经验，对知识与知识的形成过程进行总结，对相关数学思想方法进行归纳，学生之间进行交流与分享，进一步加深学生对本节课所学内容的理解，发展学生的数学学科核心素养. 教师负责引导和评价.

本环节如无法在课堂上完成，可以留作课后作业.

【设计意图】引导学生总结本节课的知识与知识的形成过程，巩固控制变量的实验方法和从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，从而落实直观想象和逻辑推理素养的培养.

6. 目标检测设计

教材第239页练习的第2题.

7. 布置作业

（1）基础检测：教材第239页第1题和第4题;第240页第1题.

（2）综合运用：教材第241页第5题、第6题和第7题;第254页第9题.

（3）拓展探究.

① 知识拓展：根据本节课的内容，总结参数[A，ω，][φ]分别是如何影响函数[y=Asinωx+φ]的图象的，并探究给定一个函数[y=Asinωx+φ]，如何作出它的图象. 用至少两种方法完成作图，并写出详细作图过程.

② 思维提炼：结合本节课的学习内容，谈一谈你在数学研究方法上的感受.

③ 实践应用：自行查找深圳市“湾区之光”摩天轮的相关信息，建立一个刻画乘客位置高度随摩天轮运行时间变化情况的数学模型，并利用信息技术手段绘制出对应的函数图象. 如果有条件的话，可以进行一次实地体验，检验模型的准确性.

二、教学反思

1. 把握单元主线，落实单元教学

在教学设计初稿中出现的最大问题，就是笔者没能把握好本单元内容的本质. 对此，薛红霞老師在批注中写道“本单元内容的本质是对匀速圆周运动进行数学建模”，还指引笔者仔细阅读教材的章引言、5.1节引言、5.2节引言和5.6节引言. 经过深入的研读和思考，笔者才理解了本单元的主线，按照教材要求完成了单元教学.

函数是用数学语言刻画现实事物间的关系的数学工具. 对于具有不同规律的变化现象，我们选择不同的函数模型进行刻画. 相较于幂函数、指数函数和对数函数，三角函数有其特有的周期性质，因而函数[y=][Asinωx+φ]是刻画现实世界中周期性现象的重要模型. 因此，与指数函数和对数函数的定位一致，应该遵循研究一类函数的基本套路对函数[y=Asinωx+φ]展开研究，这一过程便是一个典型的数学建模过程. 在人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）》（以下统称“旧教材”）中，本节课的标题为“函数[y=Asinωx+φ]的图象”，而教材中将本节课的标题改为“函数[y=Asinωx+φ]”，其目的正是凸显函数[y=Asinωx+φ]作为一类函数的定位.

重视单元教学，重视“一般观念”，让学生切身体验“研究对象在变，思想方法不变，研究套路不变”的数学探究活动，才能更好地发展学生的数学学科核心素养. 章建跃主编的一句话令笔者深受触动，即“发挥数学的内在力量，用数学的方式育人”，把握好单元主线，落实好单元教学，是教学的正道.

2. 理解教材意图，紧扣模型背景

旧教材在研究函数[y=Asinωx+φ]的图象时侧重通过观察图象的变化来归纳规律. 而教材紧扣函数模型的现实背景，借助筒车模型帮助学生理解函数图象变换的内在原因，让数学结论不仅仅停留在抽象层面. 在一次次的教学实践中，笔者越来越领悟到筒车模型的重要作用，也越来越理解教材如此设计的意图.

函数图象的左右平移和伸缩规律一直是学生较难理解的，多数学生只能“死记硬背”. 而借助筒车模型，可以将抽象的数学问题转化为学生熟悉的“路程问题”，帮助学生形象地理解其中的原理. 在不同班级的多次试讲中，学生的反应都是令人满意和惊喜的，这是笔者对于筒车模型重要作用的初次体会.

第二次领悟到利用筒车模型进行研究的优势，是在教学设计的打磨阶段. 薛红霞老师在一次磨课中说道：“在研究单个参数如何影响函数图象时用好筒车模型，对后续研究三个参数如何共同影响函数图象是很有帮助的. 尤其是在解释先进行周期变换再左右平移，平移的长度单位是[φω]的原因时，学生如果理解了筒车模型，就很容易分析出：当起点所对应的角的弧度相差[φ]时，由于角速度已经变为[ω ω>0]，因此到达同一个终点所用的时间就相差[φω].”听完这句话，笔者感到醍醐灌顶，并在之后的教学中如此实践，学生果然很快就理解了这一原本抽象晦涩的知识点，课堂效果令人十分惊喜.

第三次感受到筒车模型的“力量”，是在活动当天正式授课时. 学生在回答问题3的追问4时，主动提到了函数周期的变化，笔者突然想到周期的变化也可以用筒车模型进行解释，便顺势追问：“你能用筒车模型解释周期变化的原因吗？”这个问题挑战学生的自信，因为他前面的回答肯定是正确的，所以学生听到这个问题明显有些迷茫，但在笔者的鼓励和引导下还是一步步分析了出来. 此外，笔者还听到好几名学生也都在小声地一起回答，说明他们真的理解了筒车模型，也更加理解函数[y=Asinωx+φ].

数学的理论尽管是抽象的，但却与实际生活有着紧密的联系，这也是教材所体现的观念之一. 在日常教学中，深入理解教材的编写意图，将数学意义与实际意义紧密结合起来，不仅有助于学生理解数学，更有助于学生体会数学在生产、生活中的力量与价值.

3. 进行有序探究，开放课堂活动

笔者遵循教材设计教学，让学生先类比二次函数的研究过程确定研究思路与方法，再在教师的“主导”下经历参数[φ]的探究过程，充分体会其中的思想方法. 之后教师逐步“放手”，在探究参数[ω]时，让学生类比之前的探究过程自行设计方案，再与教师共同展开探究活动. 而在探究参数[A]时，则更加开放，直接让学生自主完成“设计方案—进行实验—得出结论”的全过程.

在试讲之前，笔者曾担心过学生能否适应这样逐步开放的探究活动，但实际的课堂效果给了笔者很大的惊喜，学生能够积极地回答问题，虽然有时也会偏离主线，但只要教师及时引导，他们还是能给出令人满意的答案的. 分析其中的原因，笔者认为有两点值得关注. 一是对思想方法进行清晰、准确地提炼. 本课时中类比二次函数研究提炼控制变量和从特殊到一般思想的过程，对于后续顺利开展探究活动是非常重要的，不容忽视. 二是探究活动的设计要逻辑清晰、结构统一、导向明确. 本课时依次对三个参数进行探究，其思路、方法与结构是相同的，因此学生只要充分经历过一两次这样的定向探究，便能够自主完成最后一个开放性任务. 让学生这样有意识地关注方法、有逻辑地进行思考、有序地进行探究，对于培养学生的理性思维和科学精神将大有裨益.

在实际授课时，由于临近下课，在学生回答问题4这一完全开放的问题时，笔者急于介入其中进行了引导，没能完全做到“放手”. 章建跃主编在点评时说道：“课堂活动设计得很好，有足够的开放性，课堂上应该坚决地执行.”笔者自己也感到十分可惜，深刻体会到了真正开放地进行开放性活动的重要性.

深入體会教材的编写意图，真正以发展学生的数学学科核心素养为目的而开展教学，是笔者参与本次课例研讨活动之后最大的感悟. 具体到本课时的教学，就是应该落实好单元教学，紧扣函数模型的实际意义，开展好定向、有序、开放的数学探究活动. 我们必须不断学习、不断思考，才能努力做到理解数学、理解学生、理解技术、理解教学，用数学的方式育人.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.

[4]章建跃. 理解数学  理解学生  理解教学[J]. 中国数学教育（高中版），2010（12）： 3-7，15.

[5]王萍，薛红霞，谢永清. 实行单元教学  探讨数学建模：“函数”教学设计、实施与反思[J]. 中学数学教学参考（上旬），2020（1 / 2）：63-66.