指向深度学习的数学教学

涂承煌 董涛

摘  要：指向深度学习的数学教学深度契合以数学学科核心素养为目标的新课程理念. 开展指向深度学习的数学教学包括围绕大概念，厘清基本问题;聚焦基本问题，创设任务，激发情感;设计思考框架，延续基本思路，精准教学三个步骤. 以“空间直线与平面垂直的性质定理”为例，建构深度聚焦基本问题、深度激发学习情感及深度引领基本思路的教学策略，实现深理解、深投入及深迁移.

关键词：深度学习;单元教学;基本问题;基本思路;核心素养

一、深度学习及其教学

深度学习起源于计算机科学领域中的机器学习研究，而后被迁移至教育领域. 教育领域中深度学习概念于1976年由Marton与Saljo在观察大学生开展散文阅读时发现学生对信息的处理存在浅层与深层的不同水平而提出，国内外教育学者由此展开对深度学习的研究. 结合相关文献研究及数学学科特点，笔者认为，深度学习是指教师选择具有挑战性的学习主题，引导学生深度投入学习中，触及数学核心，获得核心知识和关键能力，提高数学思维品质，有效解决新情境中的问题，学会学习. 迁移是深度学习的本质特征与教育价值. 深度学习是培养学生数学学科核心素养的重要手段，它反对割裂数学知识，关注知识的整体性，提倡单元教学.

开展指向深度学习的数学教学包括如下三个关键步骤.

第一，围绕大概念（一般观念），厘清基本问题. 数学大概念是数学知识的“控制中心”，反映数学的主要观点和思维方式，抽象性强. 基本问题是大概念的“航标”，旨在引导学生体悟大概念，理解数学家的典型思维方式，可操作性强. 教师应该围绕数学大概念，深度分析数学、课程标准、教材、高考和学情，厘清基本问题，并以此为关键抓手串联整个数学（单元）教学，引领学生做到深理解.

第二，聚焦基本問题，创设挑战性学习任务，激发学生情感. 聚焦问题的教学能有效激发学生学习的动机，引起学生的学习兴趣，启发学生的思维，提高学习的效果. 聚焦基本问题的教学能反映本节课（单元）数学知识的本质，体现数学学科（单元）核心知识所蕴含的数学思想与方法，有效培养学生的迁移能力. 教师应聚焦基本问题扩展问题，创设挑战性问题，引导学生做到深投入.

第三，设计思考框架，深度延续基本思路，实施精准教学. 即围绕“数学知识是如何想到的？”“数学结论是如何得到的？”“数学结论又是如何证明（解释）的？”三个问题组成的思考框架，构建基本学习思路，形成逻辑连贯的“情境 + 问题”，展开系列化数学学习活动，并延续此思路提出新的数学问题，尝试延续方法解决新问题，构建可迁移的学习结果，帮助学生做到深迁移.

下面以“空间直线与平面垂直的性质定理”为例，进行具体说明.

二、空间直线与平面垂直的性质定理教学案例

1. 围绕大概念，厘清基本问题

“空间直线与平面垂直的性质定理”是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）第八章“立体几何初步”单元的内容. 本单元隶属大概念为“证明”，基本问题是几何图形的性质，研究对象是空间图形、空间基本图形的位置关系，研究过程是在抽象现实世界物体的基础上探寻几何图形的构成要素和相关要素之间的关系，得到空间图形的形状特征，并由此出发对几何图形各构成要素、相关要素及相关几何图形之间的位置关系、大小度量关系展开研究. 位置关系是图形性质中的一个核心问题.

2. 聚焦基本问题，延续基本思路，展开深度教学

本节课的教学是由几何图形位置关系这一基本问题而引发的，具体研究空间基本元素直线与平面垂直的性质，其教学基本思路围绕“线面垂直性质定理是如何想到的？”“线面垂直性质定理是如何得到的？”“线面垂直性质定理是如何证明（解释）的？”三个问题展开.

（1）线面垂直性质定理是如何想到的？

笔者对福州市某一级达标校高中生“立体几何初步”单元的学习情况展开问卷和访谈调查，发现学生不能很好地理解教材通过类比在平面上垂直于同一条直线的两条直线平行去研究垂直于同一平面的两条直线的位置关系来引入线面垂直性质定理的方式，认为这与研究线面平行性质定理的方式不同，难以构建彼此之间的联系. 特别地，学生存在对线面垂直的性质说不出所以然，误以为性质就是性质定理等问题. 事实上，教材对几何图形性质的研究既强调共性又注重其个性特征，而聚焦于本单元的基本问题能更好地解决学生难以理解教材引入方式的问题，也能加深学生对图形性质的理解. 教师可以类比研究线面平行性质定理的过程，引导学生在已知直线与平面垂直的条件下，结合线面垂直的定义，发现垂线与平面上所有直线的位置关系都被研究清楚了，激活学生知识的生长点，引导学生深度投入到“线面垂直的性质是什么，还可以是什么”的挑战性数学问题中来. 此时，教师深度聚焦单元基本问题，可以借助初中三角形的性质的学习过程引导学生抽象并感受图形的性质——几何图形构成要素、相关要素及相关几何图形之间确定的相互关系，明确几何图形位置关系的性质就是探讨平面相关要素（直线或平面）与已知元素的位置关系，而数学研究通常是从特殊到一般的过程，启发学生从特殊的位置关系着手分类研究，确定思考方向，即研究平面外特殊（垂直、平行）的直线、平面与已知垂线、平面的位置关系. 沿着这个方向，学生能顺畅地发现线面垂直的性质定理. 紧扣几何图形的位置关系这一基本问题，有助于学生厘清空间中直线与平面垂直的性质是如何想到的，由学生自己来提出数学问题，构建知识之间的联系，提高自主学习能力.

（2）线面垂直性质定理是如何得到的？

在理解线面垂直性质是研究已知元素（垂线[m]、平面[α]）与平面外（垂直或平行）直线、平面的关系后，学生有了明确的研究方向，产生了高阶思维活动，去解决“线面垂直性质定理是如何得到的”这一挑战性学习任务，即根据位置关系分类研究，得到线面垂直性质的研究方法. 由学生提出并展示与线面垂直相关的命题，教师对学生自主学习的结果进行合理分类.

① 根据平面[α]外的直线[b]（不同于直线[m]）与平面[α]的位置关系来考虑.

如图1，[m⊥αb⊥α⇒m∥b;] 如图2，[m⊥αb∥α⇒m⊥b.]

② 根据平面[α]外的直线[b]（不同于直线[m]）与已知直线[m]的位置关系来考虑.

如图1，[m⊥αb∥m⇒b⊥α;] 如图2，[m⊥αb⊥m⇒b∥α.]

③ 根据平面[α]外的平面[β]与已知直线[m]的位置关系来考虑.

如图3，[m⊥αm⊥β⇒α∥β;] 如图4，[m⊥αm∥β⇒α⊥β.]

④ 根据平面[α]外的平面[β]与平面[α]的位置关系来考虑.

如图3，[m⊥αβ∥α⇒][m⊥β;] 如图4，[m⊥αβ⊥α⇒m∥β]

[或m⊂β.]

数学深度学习的发生强调要以学生发展为中心，学生要有解决真正数学问题的过程体验. 该环节是学生的“舞台”，学生以具身认知的方式深度参与到发现数学定理的过程，激发学生的情感. 同时，学生与教师的共同参与有利于数学深度学习的发生. 通过师生、生生之间的深度交流，促进学生反思，也有助于学生厘清线面垂直的性质是如何得到的，逐步内化、迁移数学学习基本思路，并自己提出一些数学命题，得出了一些数学结论，扩展深度学习.

（3）线面垂直的性质定理是如何证明（解释）的？

在理解了数学结论（命题）是如何得到的之后，自然会提出一个问题：命题是否正确？直观的感觉不一定正确，数学是讲逻辑的，需要对线面垂直的性质命题进行严谨地数学证明（略），这是几何性质教学培养学生逻辑推理能力的核心步骤. 此时，教师引领学生经历线面垂直的性质定理的证明过程，渗透数学学习基本思路，建立正难则反的数学思维模式，引导学生完善思路、扩展思维，锻炼学生的数学逻辑推理能力，促进学生融会贯通地掌握数学学习方法和思路. 同时，可以进一步启发学生思考“为什么把第一条性质作为线面垂直的性质定理”. 另外，考虑到课堂上的时间有限，在证完线面垂直的性质定理之后，对于其他未证的七条命题，让学生在课后完成证明，提倡学生各自证明后再进行交流.

3. 学生的深度学习扩展体现

深度学习旨在让学生学会学习、自主学习，融会贯通乃至有所创见，这亦是数学学科核心素养得到发展的表现. 深度学习的一些结果，体现在课堂与课后的扩展学习中. 教师应该给学生提供利用本节课所学知识解决其他问题的展示机会，加强学生对数学知识的深刻理解，及时接受内在反馈或矫正性反馈. 以下呈现的是学生在本节课中深度学习的扩展表现.

（1）体会编题门道.

生1在整理有关线面垂直的性质题目的过程中，发现许多有关空间直线与平面位置关系的数学题目是依据“图形性质”，即空间中直线、平面之间确定的特殊关系来编制的，特别是有些题目就是在本节课探讨线面垂直性质定理是如何得到的过程中产生的.

例  已知[m，n]是空间中两条不同的直线，[α，β]是空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（    ）.

（A）若[m⊂α，] 则[m⊥β]

（B）若[m⊂α，n⊂β，] 则[m⊥n]

（C）若[m⊄α，m⊥β，] 则[m∥α]

（D）若[α⋂β=m，n⊥m，] 则[n⊥α]

这样的发现有助于学生加深对空间中直线与平面垂直或平行性质定理的理解，同时能使他们体悟题目编制的道理，个别学生能延续这种题目编制思路编制相关类型的题目，有效提高他们的空间想象能力和数学解题能力.

（2）辨析线面垂直的性质定理的合理性.

学生提出问题：教材为什么把第一条性质作为线面垂直的性质定理呢？其他的性质能作为线面垂直的性质定理吗？生2认为，第一条性质揭示了空间中两种位置关系（平行与垂直）之间的内在联系;而其他三个得到平行结论的命题不作为性质定理的理由是：[m⊥αb⊥mb⊄α⇒b∥α，] 该结论的证明相对简单，且按照经验，性质定理是降维的，应该讨论直线与直线间的位置关系;[m⊥αm⊥β⇒][α∥β，] 该命题显然成立，同理，按照经验，性质定理是降维的;[m⊥αβ⊥α⇒m∥β，] 该结论未必成立，还可能存在直线[m]在平面[β]上的情况. 生3则认为，把[m⊥αm⊥β⇒][α∥β]作为性质定理比较好，因为能揭示垂直与平行的内在联系，且该性质讨论的是面面之间的关系，有助于后续平面与平面位置关系的学习.

（3）延续思路，展望学习.

生4依据本节课的学习，提出新的数学问题：空间中垂直与平行之间还存在怎样的联系？平面与平面垂直的性质能否延续思考框架的思路展开学习？

三、指向深度学习的数学教学策略

为了能更好地把深度学习落实到高中数学课堂之中，开展指向深度学习的数学教学需要采用三条教学策略.

1. 深度聚焦基本问题——深理解

指向深度学习的数学教学强调对数学知识的深刻理解，即以大概念为统领把握数学知识的本质. 数学大概念是由基本问题来体现的，即通过基本问题来引导学生探寻大概念，进而指引学生体会数学家典型的思维方式，像数学家那样思考数学问题，经历知识建构、问题解决和反思改进的过程. 聚焦基本问题的数学教学，有助于达成效果好、效率高和参与度大的深度学习，带给学生“火热的思考”的机会，启发学生的数学思维，发展学生的数学学科核心素养.

因此，教师应该围绕数学大概念，深度分析教学要素，准确定位基本问题，在数学教学中始终深度聚焦基本问题，有目的地设计教学，引导学生自己体会大概念，提炼出基本问题，在此基础上激发学生提出扩展性的数学问题，培养学生提出问题的能力，提高学生自主学习的能力. 例如，本节课围绕“证明”这个大概念，始终聚焦“图形性质——几何图形位置关系”这一基本问題，激发学生提出“线面垂直的性质是什么？”“还可以是什么？”“还可以研究哪些图形的性质？”等一系列问题. 在训练学生提出问题的能力时，教师要有目的、有计划地做一些示范，总结一些典型样例供学生学习、模仿、内化，在学生提出问题时做一些指导，在课堂小结时做一些回顾性总结，真正有效地提升学生提出问题的能力.

2. 深度激发学习情感——深投入

实现数学深度学习的标志是学生能将所学知识、技能及思想方法运用到真正的数学问题的解决之中，这需要学生保持高投入、长坚持的学习状态，主动地参与到蕴含高阶思维的持续性学习过程中，其关键在于激发学生的学习情感. 科学研究表明，“情感”的本质是大脑中神经递质（如多巴胺）释放所引发的大脑的感受，从而主动地促进人的认知行为.

因此，教师要多思考在教学中如何通过数学学习帮助学生在大脑中产生数量大、种类多的神经递质，激发情感，进而促使学生深度投入到持续性学习中来. 例如，创设富有挑战性的学习任务. 这是数学深度学习活动的基本特征. 在基本学习思路的引领下，延续问题及围绕基本问题扩展问题，都是挑战性学习任务. 这种具有延伸性且富有挑战性的问题串容易激发学生持续的学习兴趣，促进神经递质的产生，以支持学生的大脑开展高度活跃的思维活动，学生能以具身认知的方式深度投入到解决挑战性任务的过程中来. 此外，当最终的结果能被大脑理解、吸收时，大脑又能产生更大量的神经递质来“奖励”自己，继而维持深度学习. 再如，提出学生感兴趣的数学真问题，揭示数学知识的普适价值. 立体几何单元所隶属的大概念以及数学知识学习的基本学习思路具有普适意义. 对于这些内容，学生会觉得特别有意义，非常想要了解. 这种期待感表明学生脑中产生了大量的神经递质.

3. 深度引领基本思路——深迁移

数学深度学习提倡高通路迁移，培养学生自主学习、学会学习的能力. 教师应该引导学生建构具有迁移意义的图式，构建数学学习的基本思路. 笔者认为，在数学知识教学的过程中无非要解决三个问题：数学知识是如何想到的？数学结论是如何得到的？数学结论又是如何证明（解释）的？教师以这三个问题构建而成的思考框架为基本学习思路引领学生深度学习，开启自主思考，形成触类旁通的学习能力与问题解决能力. 但是，教师需要明确，并不是单元中所有的数学知识都能引起学生的深度学习，教师不需要花过多时间在学生已掌握的，自己能看会的、想出来的、做出来的、说出来的，以及教师讲了学生也不会的内容上. 例如，在立体几何单元中，对于空间几何体的一些概念的教学，学生容易理解，教师则不必对此引导学生进行深度学习. 同时，教师也需要明确，并不是所有数学知识的教学都需要完整经历这三个问题的解决过程，教师应该着重讲解学生想不到的、想不透彻的，以及易混、易错的内容，有些数学知识的教学只需要将重点放在一个或两个问题的解决上. 例如，“简单几何体的表面积与体积”教学主要侧重如何得到柱体、锥体、台体及球的表面积和体积公式.

思考框架是一个大思路. 在这个大思路下，教师应该聚焦单元基本问题，针对具体内容，形成相应的基本思路，根据基本思路展开具体知识点的教学. 特别地，教师需要明确具备深度学习的关键课时，选择能引发学生深度思考的关键教学点进行思考框架内的精准教学. 在教学时集中应用这个思考框架一段时间，学生由模仿到尝试应用到逐步内化，会基本掌握这个数学基本思路，明确思维方向，开启自主学习. 例如，在“空间直线与平面垂直的性质定理”的教学中，学生经历了与线面平行性质定理相同的思维过程，解决了“线面垂直的性质定理是如何想到的？”“线面垂直的性质定理是如何得到的？”“线面垂直的性质定理是如何证明的？”这三个问题，体会了数学学习的共性与数学知识的结构，对自己的数学学习过程进行复盘并归纳总结，延续这个思路提出（展望）新的数学问题，预见新问题的学习过程，最终学会学习，学会自主学习，提高数学思维能力.

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