在“穿梭”中发展空间观念

李晓梅

摘要：《正方体和长方体的展开图》一课教学，教师可以引导学生充分经历观察、操作和想象等过程，使学生不但能在生活经验与活动经验中“穿梭”，而且能在操作活动与想象活动中“穿梭”，还能在二维空间与三维空间中以及感觉和知觉之间来回“穿梭”，从而帮助学生丰富空间感知，发展空间观念。

关键词：空间观念;经验;活动;空间维度;感知;《正方体和长方体的展开图》

“图形与几何”领域的教学内容是培养小学生空间观念的重要载体，而“正方体和长方体的展开图”是“图形与几何”领域的重要知识点，是培养小学生空间观念的重要教学内容。教学《正方体和长方体的展开图》一课，教师引导学生充分经历观察、操作和想象等过程，促进学生在探究性学习过程中不断“穿梭”，从而有效发展学生的空间观念。

一、在经验中“穿梭”

研究表明：学生是依靠经验开始几何学习并逐步形成空间观念的。韩龙淑，吕传汉.空间观念的含义和特征及其教学策略[J].数学教育学报，2010（6）：21。小学生的经验包括生活经验和活动经验。生活经验是在生活实践中通过观察、感受、体验积累和丰富起来的知识总量。活动经验是直接或间接经历数学活动过程所获得的经验，包括行为操作经验和思维操作经验等。行为操作经验是学生“在实际的外显操作活动中来自感官、知觉的经验”③孔凡哲.基本活动经验的含义、成分与课程教学价值[J].课程·教材·教法，2009（3）：34，35。;思维操作经验是学生“在思维操作中开展活动而获得的经验”③。在日常生活中，学生已经积累了一些关于正方体和长方体展开图的生活经验;学习了观察物体、图形的认识、周长、面积以及平移、旋转等知识后，学生已经具备了一些相关的行为操作经验和思维操作经验。教学时，教师要根据学生的年龄特点和教学需要，引导学生在生活经验与数学活动经验中“穿梭”，充分激活学生的已有经验，从而发展学生的空间观念。

《正方体和长方体的展开图》一课教学伊始，教师由宜兴地区（上课地点）的学生在日常生活中常见的紫砂壶包装盒引入，学生很容易由包装盒有正方体和长方体两种形状联想到它们的特征。教师引导学生认识正方体的各个面时，学生探究长方体和正方体特征所形成的数学活动经验被充分激活，这为学生寻找展开图的相对面奠定了基础。在小组合作剪、找、贴、折等活动中，学生初步形成了行为操作经验——操作要有序，同一个正方体可以有不同的展开图。在正方体的展开与折叠中，学生初步形成了寻找正方体展开图相对面的行为操作经验——相对的面不相邻。学生闭眼“回放”正方体展开图的形成过程，能强化刚刚形成的思维操作经验;判断哪些图形是正方体展开图，则是对刚刚形成的操作经验的迁移应用。探究长方体展开图是学生对正方体的展开图探究经验的迁移应用，同时也是对活动经验的丰富。课末，教师用课件出示各种各样的包装盒，鼓励学生课后继续研究正方体和长方体的展开图并探究规律，让活动经验与生活经验在广阔的空间里相融相生。

这里，教师循循善诱，引导学生在生活经验中“穿梭”：一方面让学生了解数学来源于生活，另一方面鼓励学生用数学知识和积累的数学活动经验解决生活中的实际问题。同时，教师引导学生在行为操作经验和思维操作经验中“穿梭”，有效帮助学生探究、理解、掌握正方体和长方体展开图的相关知识。学生积累的生活经验和数学活动经验为探究新知奠定了基础，而探究新知中形成的数学活动经验逐渐内化并与已有的数学活动经验融为一体，助力后续探究和空间观念的发展。

二、在活动中“穿梭”

活动是学生学习数学的主要方式之一，包括身体的活动（即操作活动）和思维的活动（如推理、想象等）。学生根据相关要求和程序进行操作性实践活动，不但能积极参与到数学知识的形成过程中，还能有效地理解和掌握数学知识。想象是学生在头脑中对已储存的表象进行恰当加工并改造成新形象的心理过程。小学高年级学生的思维以形象思维为主，并逐渐向抽象思维发展。探究新知时，教师要引导学生动手操作、大胆想象，根据描述或图样在头脑中进行“再创造”，以便将抽象的数学知识变得更加具体生动、更容易理解和掌握，使学生在丰富具体形象思维和抽象逻辑思维的同时发展空间观念。

这节课教学，教师先固定一个正方体的后面，再沿着正方体的棱依次剪开，得到正方体的前面、左面和下面，最后形成一个完整的正方体展开图（如图1，文字为验证结果时加上的）。学生根据展开图判断图中的六个面分别是原来正方体的哪个面后，教师通过折叠验证结果是否正确。

在此基础上，教师出示活动要求：（1）剪一剪。沿正方体的棱剪开，剪出不一样的展开图，但展开图要相连。（2）找一找。找出展开图中三组相对的面。（3）贴一贴。在相对的两个面上贴上颜色相同的彩纸。（4）折一折。贴完彩纸后折叠验证。学生思考后开展合作，动手剪贴、交流展开图（交流结果板贴如图2所示），发现展开图都有6个相同的正方形，折叠后都有3组相对的面（颜色相同），并且所有相对的面都不相邻。

寻找展开图相对面时，有的学生从不相邻的面里找，有的学生根据颜色找，有的学生通过反复折叠找。练习找相对面时，教师出示一个展开图（如图3），学生根据颜色判断并折叠还原验证，再想象折叠过程，交流想象方法：想象一個固定的面，再想象其他的面，最后折叠验证。

判断图形沿虚线折叠后能否围成正方体时，学生先独立思考，然后在交流中说出自己的想法，再用折叠的方法进行验证，最后思考如何调整正方形展开图使之能围成正方体。如对图4，学生需要思考：调整几号才能围成正方体？还可以怎么调整？把1号正方形调整到2号正方形的左边行不行？为什么？进而，通过想象和操作验证顺利解决了问题。

操作是想象的基础，想象是操作的升华。想象正方体的展开与折叠过程是一个动态表示6个面关系的过程。学生在想象过程中容易对展开图6个面对应立体图形6个面的相关位置产生混乱或无序的认识。而学生在操作活动中获得了丰富而直观的体验，为想象活动做好了铺垫。从教师的示范操作中，学生初步认识了正方体的展开图，理解了“相对的面不相邻”的特征。在小组合作操作中，学生学会了把正方体展开、找相对面以及折叠验证的方法，为想象折叠过程、交流想象方法奠定了基础。通过先想后折，学生学会了空间定位;通过先想后说，学生学会了空间推理。这样，学生在有序操作和充分想象中“穿梭”，不断丰富空间思维表象，推动空间观念的发展。

三、在维度中“穿梭”

空间是运动物质存在的一种形式。如果用“维”表示方向，由一个方向确立的直线模式就是一维空间，由两个方向确立的平面模式就是二维空间，由三个方向确立的立体模式就是三维空间。简单地说，一维空间是一条线，二维空间是一个面，三维空间是一个立体。正方体和长方体是立体图形，正方体和长方体的展开图是平面图形。把正方体和长方体展开是从三维空间走向二维空间，把展开图折叠变成正方体和长方体是从二维空间走向三维空间。引导学生用“一些非正式的方式去看待二维和三维的空间，例如折纸、变换、镶嵌、对称、投影等”张昆.养成空间观念数学核心素养新视角[J].中小学教师培训，2021（12）：48。，能有效发展学生的空间观念。

这节课教学，教师示范剪开正方体得到展开图，学生首次发现平面图形与立体图形的对应关系，初步认识了立体图形向平面图形的转化，实现了从三维空间到二维空间的转换。学生根据活动要求合作把正方体展开变成平面图形，再把展开图折叠为正方体，经历了由三维空间到二维空间再到三维空间的过程。从展开图中找出相对的面后，教师演示正方体的展开过程，学生闭眼“回放”这一过程，再次体验了由三维空间到二维空间再到三维空间的过程。用反复操作或想象的方法找平面图形与立体图形上的面的对应关系是在三维空间和二维空间不断“穿梭”;对正方体的展开图进行分类是在二维空间中“穿梭”;判断由6个相同正方形拼成的图是不是正方体展开图或能不能沿虚线折叠后围成正方体，是二维空间向三维空间的转换;把一个长方体纸盒剪开变成展开图并探究特征，判断图形是否是长方体的展开图，学生先提出猜想，再折叠验证，实现了由二维空间向三维空间再到二维空间的“穿梭”。

在空间观念的发展过程中，学生不但要认识图形的特征，而且要学会二维空间与三维空间的相互转化，能从图形的形状、特征和关系等不同角度理解空间、把握空间。学生从二维空间观念发展到三维空间观念不是一蹴而就的，必须借助空间想象和抽象思维在头脑中建构立体图形的影像，再想象展开图折叠所出现的情况，实现图形的有效转换。学生“穿梭”于二维空间和三维空间，发现寻找正方体展开图相对面的方法，沟通展开图各个面之间的联系，对几何图形的认识由浅入深，空间观念不断增强。

四、在感知中“穿梭”

感知就是感觉和知觉。感觉是大脑对直接作用于感觉器官的客观事物的个别属性的反映;知觉是大脑对直接作用于感觉器官的客观事物的整体属性的反映。感觉是知觉等复杂的认识活动的基础。“空间知觉是关于物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的知觉。空间知觉源于对现实物体或几何图形的观察、触摸，直观刺激物以及已往的直观经验是空间知觉的物质基础和能力起点。”吴静.小学生空间能力培养的实践研究[J].教育研究与评论（小学教育教学），2018（1）：5758。

观察紫砂壶的包装盒，学生的第一感觉是包装盒的形状有正方体，也有长方体，然后才感觉到包装盒的大小或颜色，进而形成整体认识，也就是知觉。学生观察教师拿出的正方体时，先感觉到正方体的某一个面，等教师把正方体完全展开后才能对展开图形状有整体知觉;教师把展开图转换（折叠）成正方体时，由于教师的提示，学生知觉到展开图能转换成正方体，但不是很清楚究竟怎么转换。教师用课件动画演示时，学生仔细观察，逐个感觉每个面的转换情况，最后自己閉眼“回放”转换过程，又形成了整体知觉。正方体的展开图是不是只有一种情况呢？学生只有一种模糊的感觉。动手操作时，学生按照要求剪开，逐个面感觉剪开图的形状，剪完后形成对展开图形状的整体知觉;最后折叠验证又是一次从感觉到知觉的“穿梭”过程。找剪开图相对面的颜色时，学生一开始也只有一种感觉，认为某个面的对面可能是绿色或黄色，边操作边感觉;操作结束后，学生对剪开图的相对面颜色的感觉就形成了知觉;反向验证则是学生由知觉向感觉的“穿梭”过程。

学生对长方体和正方体个别属性的反映越丰富、越精确，形成的知觉就越完整、越正确。在感觉和知觉过程中不断“穿梭”，学生激活了自己已有的知识经验，不断形成新的空间知觉，为后续学习打下坚实的基础。