温故知新，深度学习

吴敏

【编者按】 复习课难上，极易陷入“走过场”“炒冷饭”“题海战”的困境，整合多个单元内容的综合复习课教学则更具挑战性。2021年12月举办的“苏州市初教课改展示活动（数学专场）”中，特级教师徐斌和两位青年骨干教师参与了《小数四则运算（复习）》的同课异构活动，各上了一节课。这一综合复习课涉及五年级上册三个单元的內容，选择这个高难度的课题，无异于挖了个“深坑”。三位教师如何在“深坑”中上下求索，寻得“富矿”？本期《专题研究》栏目，呈现执教者的思考和观摩者的评析。

摘要：一节有质量的复习课，要做好三件事，即查漏补缺、织线成网、温故知新。有人形象地将其比喻成“打补丁”“串珠子”“开窗子”。《小数四则运算（复习）》一课教学，让这三者协同推进：创设氛围，引发深度参与;纵横联系，实现深度建构;注重回顾，促进深度反思。

关键词：小数四则运算;复习课;温故知新;深度学习

《小数四则运算（复习）》一课的教学目标确定为：（1）进一步理解小数四则运算的意义，能正确口算和笔算小数加、减法和乘、除法，能正确应用小数计算解决简单的实际问题。（2）进一步认识小数四则运算的意义、方法与整数四则运算之间的联系和区别，加深对计算原理的理解，培养比较、概括等思维能力，提高小数计算的能力。（3）主动参与运算、比较、归纳等数学活动，能主动与他人交流，在学习中有所收获，提高学习的主动性和积极性。本课教学过程与思考如下：

一、教学过程

（一）谈话导入，明确目标

师 同学们，今天我们来上一节复习课，猜一猜：复习什么内容？（出示教材目录，圈出复习内容）我们在低、中年级学习了整数的四则运算，这学期又重点研究了小数的四则运算。那么，你们对小数的加、减、乘、除有哪些认识呢？课前，同学们围绕三个问题进行了自主梳理。现在，把你们的想法和同桌交流一下。

师小数四则运算的意义是什么？如何进行小数加、减、乘、除的计算呢？整数四则运算和小数四则运算的意义及计算有什么联系呢？让我们带着这些问题，进一步研究小数的四则运算。

[说明：复习是培养学生自主学习能力的一种重要方法。精心设计统领本课的三个问题作为复习提纲，对复习内容和目标提出明确的要求，引导学生自主复习。学生通过有效的课前复习，唤起旧知，尝试整理归纳，并带着自己的理解和思考开启本课学习。]

（二）追本溯源，沟通联系

1.再认四则运算的意义

师看，昨天吴老师去买面包了。猜一猜：这个牛角包多少钱？我又挑了1个甜甜圈，猜一猜多少钱。最后买了1盒牛奶，再猜一猜多少钱。

出示问题：（1）1个牛角包配1盒牛奶一共需要多少钱？1个甜甜圈配1盒牛奶呢？为什么都可以用加法计算？（看来，要解决把两个部分合在一起的问题，就可以用加法计算）（2）用10元买1个牛角包还剩多少钱？用10元买1个甜甜圈呢？为什么都可以用减法来计算呢？（可见，从总数里去掉一部分，都可以用减法计算）（3）买20个牛角包需要付多少钱？买20个甜甜圈呢？怎么都用了乘法？（是呀，求几个几相加是多少，可以用乘法计算）（4）180元可以买几个牛角包？甜甜圈呢？你知道两个问题都用除法计算的理由吗？（原来，只要是求一个数里有几个几，都可以用除法来计算）

师仔细观察这些算式，你能把它们分成两类吗？说说你的想法。

师同学们，都说温故而知新，通过刚才解决生活中的实际问题，你们对小数四则运算的意义有了怎样的新认识？

[说明：意义，是四则运算之“源”。因此，教学整数四则运算的意义时，教师都会创设生活情境，引导学生理解运算的意义。但是进入第二学段，教学小数、分数的四则运算时，往往会忽略运算的意义。所以，学生对小数四则运算的意义及其与整数四则运算之间的联系是不清晰的。本环节创设了问题情境，让学生通过口算说理、比较分类，理解小数四则运算的意义，体会小数和整数四则运算意义的一致性，在查漏补缺的同时温故知新。]

2.复习四则运算的方法

【片段1】 猜一猜，引出四则运算

师今天老师带来了两个小数。（板书：6.12○0.6）我对这两个小数进行了一次运算，得到一个答案，就藏在这个信封中。现在请你猜一猜：我计算出的答案是多少呢？先把你猜的答案和组内同学交流一下，说说你是怎么猜的。

教师根据学生的反馈，依次板书4个答案“6.72、5.52、3.672、10.2”及相应的运算符号。

师那到底谁猜对了呢？想不想知道？

出示答案：3.672。

[说明：复习课也应注重设疑激趣，以趣味性的复习形式激发学生的积极性。本环节通过“猜一猜”游戏，让学生主动参与小数四则运算，为接下来的复习做好充分准备。]

【片段2】 辨一辨，厘清原理联系

（1）小数加法、减法运算

师如果对这两个小数做加法或减法计算，这两个答案对吗？

展示学生的加、减法笔算竖式。

师我们已经知道加法和减法的意义不同，但在计算中有没有相同之处？或者，关于小数加、减法的运算，你还有什么想和大家分享的？

预设：小数点对齐（相同数位对齐）;加法计算最后结果中，小数末尾的0要去掉;减法计算时，被减数哪位上没有数就填0来计算。

板书：小数点对齐。

师数学学习是讲道理的，算法大家都说得很清楚了，算法背后的道理究竟是什么？今天，我们不妨请出计数器，看看能否在计数器上讲明白这个道理。

师（出示计数器和算式“6.12+0.6”）0.6应该怎么拨？为什么？

预设：6个0.1和1个0.1相加，得7个0.1，所以结果是6.72。

师（出示变式“6.12+0.06”）0.06在计数器上怎么拨？为什么？

预设：6个0.01和2个0.01相加，得8个0.01，所以结果是6.18。

师 （出示变式“6.12-0.6”）再来看这道减法算式，这个0.6又该怎么拨？为什么？

预设：11个0.1去掉6个0.1，得5个0.1，结果就是5.52。

师（出示变式“612-6”）這个6在计数器上怎么拨？竖式怎么列？为什么？

预设：12个一去掉6个一，得6个一，所以结果是606;末尾对齐，低位算起。

师如果变成加法呢？

预设：也是末尾对齐，将2个一和6个一相加。

师同学们，温故而知新，学到这里，你们对小数加、减法运算有什么新的认识或收获？

预设：小数加、减法和整数加、减法计算的道理是一样的，都要做到相同数位对齐，也就是相同计数单位的数相加、减;小数加、减法和整数加、减法计算的道理都可以在计数器上讲明白。

教师根据学生的回答，小结并逐步完善板书。

师是呀，刚刚我们借助计数器从计数单位的角度理解了加、减法计算的道理，发现小数加、减法和整数加、减法的道理是一样的，都要做到相同计数单位的数相加、减。

板书：相同计数单位的数相加、减。

[说明：本环节直接从小数加、减法算法之间的共同点着手，先引导学生比较竖式，得到小数加、减法算法的一致性;接着，通过“算法背后的道理究竟是什么？”这一设问，引发学生积极思考，并借助计数器从计数单位的角度理解算理。通过三次变式，学生在比较中明理，不仅深度理解了小数加、减法的算理，而且沟通了小数加、减法和整数加、减法之间的联系——都要做到“相同计数单位的数相加、减”。最后，通过反思交流，学生在原有认知的基础上有所提升，再一次温故知新。]

（2）小数乘法、除法运算

师原来吴老师对这两个小数进行了乘法计算，又该怎么计算呢？谁来介绍一下？

出示学生的乘法算式。

预设：竖式末尾对齐，先不看小数点，算612乘6等于3672，最后从右向左数出三位，点上小数点。

师同学们，此刻你们对小数乘法的计算有什么问题要问？

预设：小数乘法为什么不是小数点对齐，而是末尾对齐？为什么对最后的结果要数出三位，点上小数点？

师同学们的问题都很有价值，吴老师也想知道答案，谁能答疑解惑呢？

预设：小数点不看，就是先按整数乘法计算，所以只要末尾对齐。

预设：不看小数点，就是把6.12扩大100倍，0.6扩大10倍，积就扩大1000倍。最后，要把积相应地缩小，所以要从右向左数出三位，点上小数点。

师看来，小数乘法是根据积的变化规律，转化为整数乘法来计算的。那么，如果也从计数单位的角度看，是否也能说明白它的计算道理呢？

全班交流，教师同步出示课件，见图1。

师最后还有同学猜吴老师进行了除法计算，答案是10.2。（出示学生的除法算式）同学们，此时你们对小数除法的计算又有什么问题要问？

预设：商的小数点为什么要和转化后被除数的小数点对齐？是否也和计数单位有关？

师同学们真会学习，问题越提越有价值，那谁来发表一下自己的观点？

预设：1.2表示12个0.1，除以6得到的2就表示2个0.1，所以要和转化后61.2的小数点对齐。

师看来，可以将除数是小数的除法转化成除数是整数的除法计算。计算时，每一步的思路都与整数除法相同，只要确定好商的小数点位置。

[说明：本环节，引导学生进行学习方法的迁移，大胆提出想法或质疑。重点围绕学生提出的“小数乘法为什么要末尾对齐？”和“商的小数点为什么要和转化后被除数的小数点对齐？”这两个核心问题讨论交流，从“积的变化规律”和“商不变的规律”的角度梳理小数乘、除法计算的依据，在转化中找联系。但这显然不够，因为还未触及小数乘、除法计算背后的道理。因此，尝试通过数形结合，也从计数单位的角度帮助学生理解小数乘法的算理。相比小数的加、减法，虽有难度，但大部分学生还是能借助图形看到算理的本质，这也是一种“新”得。而对于小数除法的算理，考虑到难度和时间，不宜面面俱到，需要合理取舍。]

3.纵横结合找联系

师通过刚刚的梳理，你对小数加、减、乘、除有了哪些更深入的理解或新的收获？小数四则运算和整数四则运算之间有怎样的联系？

根据学生的回答，逐步完善板书。

[说明：复习课最重要的功能，就是引导学生将零散的、孤立的知识点联系起来，串点连线，连线成网，使学生在梳理知识的过程中建构知识体系。本环节，通过回顾梳理，使学生纵向、横向或纵横结合地找联系，就像串珠子一样，把一粒粒散落的珠子串成一条美丽的项链。珠子是旧的，项链是新的，温故知新，让知识得到深化。]

（三）巩固应用，融会贯通

师（出示算式，见图2）找出得数相等的算式，并连一连。

师这里的小数乘法都是先算3×24，因此只要看乘数一共有几位小数，如果位数相同，那么结果肯定相等;除数是小数的除法先转换成除数是整数的除法，再计算。

师（出示“今日油价”，见图3）吴老师的车加92号汽油，要加30升汽油，带200元够吗？你是怎么想的？那200元究竟能加多少升油呢？得数保留一位小数。如果要换成同样数量的95号汽油，大约多付多少钱？

[说明：复习课不仅要对知识进行梳理，还要注重知识的应用，提高学生解决实际问题的能力。因此，教师要有针对性地设计练习，兼顾灵活性和综合性，引导学生在练习的过程中整合数学知识，提高数学应用能力。]

（四）全课总结，拓展延伸

师同学们，这节课我们是怎样复习的？你们有什么收获？

师我们研究了整数、小数的四则运算，发现了两者之间的紧密联系。猜猜今后的学习中我们还将研究什么四则运算？（板书：分数）那么，分数四则运算和整数四则运算是否也会有联系？和小数四则运算呢？这些问题有待同学们在以后的学习中继续研究。

[说明：课尾，组织学生回顾反思复习过程，梳理复习方法，关联整数与小数四则运算的意义、算法、算理。这有助于学生实现数学知识和方法的整体建构。同时，引出分数四则运算，激起学生的思考，让学习方法得到延伸。]

二、教学思考

一節有质量的复习课，要做好三件事，即查漏补缺、织线成网、温故知新。有人形象地将其比喻成“打补丁”“串珠子”“开窗子”。三者协同推进，便是开展深度学习的路径。据此，本节课的教学思路如下：

（一）创设氛围，引发深度参与

深度参与是深度学习的前提。课始，从谈话引入，让学生同桌交流课前自主复习内容，进而明确本课学习任务，调动学生的学习积极性;课中，创设“猜一猜”活动，活跃课堂氛围，吸引注意，有助于学生保持积极的复习状态，从而主动参与到学习中来。

（二）纵横联系，实现深度建构

深度学习关注知识的结构，注重培养学生的结构化思维，而复习课则是培养学生结构化思维的极佳载体。透过结构化的视角引导学生对知识点查漏补缺、归纳整理，能使学生把握知识的本质，逐步形成数学知识的体系，凸显整体性、一致性。首先，关注横向联系的结构。本课教学抓住“计数单位”这个核心概念，借助计数器和图形，引导学生深度理解小数四则运算方法背后的道理，横向沟通了小数加、减、乘、除运算的本质，也就是计算计数单位的个数。其次，关注纵向联系的结构。本课教学注重引导学生比较小数运算和整数运算，在比较中寻找、体会共性。小数加、减法，从本质上找联系，即相同计数单位的数直接相加、减;小数乘、除法从转化中找联系，都是转化成相关的整数运算。

（三）注重回顾，促进深度反思

从复习的角度看，学生在深度建构的过程中，需要通过深度反思理解数学知识的本质，而学生的反思应贯穿于全部数学活动的始终。课中，基于“通过刚刚的梳理，你对小数加、减、乘、除有了哪些更深入的理解或新的收获？”这个问题，从梳理四则运算的意义，到回顾小数加、减法的算法，再到回顾小数乘、除法的算法，最后到小结，都在引导学生进行深度反思，有助于学生从知识整体性、一致性的高度，用统整的思维，理解知识的本质。