几何证明（1）

摘 要：证明是几何学习的精髓，要学好证明需要有一个循序渐进的过程，其中学会说理是学好证明的关键.

关键词：几何证明;一题多解;一题多变

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）23-0040-02

收稿日期：2021-05-15

作者简介：王安华（1972.6-），男，本科，中小学高级教师，从事初中数学教学研究.

课题：专题复习—几何证明（1）

一、教学目标

1.通过例题探究学习，掌握证明线段相等的基本方法.

2.通过例题探究学习，总结添加辅助线的基本方法.

3.通过一题多解，培养学生分析问题、转化以及综合运用能力.

4.培养学生推理能力，提高学生思维水平.

二、教学重点

构造全等三角形，证明两条线段相等.

三、教学难点

添加辅助线.

四、教学准备

几何画板课件.

五、教学过程

1.知识回顾（6分钟）

（1）哪些定理可以帮助我们证明两条线段相等？（学生回忆后，部分同学展示，3分钟）

主要有：全等三角形的对应边相等，等角对等边，平行四边形的对边相等，角的平分线的性质，线段垂直平分线的性质等.

（2）等腰三角形、等边三角形有什么性质？（学生回忆，部分同学展示，3分钟）

设计意图：（1）通过回忆相关定理，为学生证明线段相等提供方向.

（3）回忆等腰三角形、等边三角形性质为例题学习提供基本知识和储备.

2.新课学习（约27分钟）

（1）新课引入：今天我们通过一个例题，来学习证明线段相等的一般方法.

（2）出示例题（课件出示）

例题 如图1，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，E是CB延长线上一点，且DE=DC，求证：AD=BE

（3）学生自主探究：（8分钟）

设计意图：给学生8分钟的思考时间，充分发挥学生的主体地位，让学生先独立思考，找到自己的解决办法，培养学生独立思考能力.

（4）小组讨论（5分钟）

设计意图：小组讨论5分钟，在组内展示自己的方法，获得成功感，借鉴其他同学思路、方法，提高思维能力，同时帮助有困难的同学解决问题

（5）小组展示（教师根据小组讨论情况选择发言）：（约5分钟）要求学生重点展示方法（怎么做）和思路分析（为什么这么做，你是怎么想到的这个办法？）

（6）教师点评（7分钟）

教师根据学生展示情况，做好预设

①若学生出现预设方法中作等边三角形一边的平行线，引导学生思考在其他位置作平行线，得到不同构图方法并总结.（作等边三角形一边的平行线，和另外两边相交，又会出现一个等边三角形，得到线段相等）

②若学生方法中出现了教师预设中的方法4或方法5，引导学生对这种方法进行思路分析，获得直接构造三角形全等的方法经验.

③对于教师预设方法6，根据课堂情况进行选择，若学生证明方法中出现，让学生重点介绍方法选择的思路源泉，给其他学生以启迪.若学生证明方法中未出现，教师课根据课堂时间灵活掌握（或课下出示给学生）.

例题解析：

方法1 如图2，作DM∥BC，与 AC相交于点M.

①证明△ADM是等边三角形，得到AD=DM

②证明△BDE≌△MCD得到BE=DM

由①②得到BE=AD

方法2 如图3，作DM∥AC，与 BC相交于点M.

①证明△BDM是等边三角形，得到BD=BM， 进一步得到AD=CM（或：因为DM∥AC，所以ADAB=CMBC，由AB=BC得到AD=CM）

②证明△BDE≌△MDC，得到BE=CM

由①②得到BE=AD

方法3 如图4作EM∥AC，与AB延长线相交于点M.

①证明△EBM是等边三角形，得到BE=EM

②证明△EDM≌△DCA得到EM=AD

由①②得到BE=AD

方法4 如图5，作DM⊥AC，EN⊥AB，垂足分别是M，N.

证明△CDM≌△DEN，得到DM=EN

①证明△ADM≌△BEN得到BE=AD

（思路分析：构造要证明的两线段所在的直角三角形全等）

方法5 如图6，在CA延长线上取一点M，使DM=DC，（或以D为圆心画弧，交CA延长线于点M）证明△BED≌△AMD

（思路分析：构造要证明的两线段所在的三角形全等）

方法6 如圖7，作DN⊥BC，垂足为N，交CA延长线于M，连接EM

①证明AM=AD（思路源于鲁教版七下110页习题10.7知识技能1题）

②利用DN是EC的垂直平分线（三线合一）得到ME=MC，进一步得到AM=BE

由①②得到BE=AD

3.变式练习（10分钟）

（变式练习可根据前面例题完成情况出示或改为课下练习.）

如图8，△ABC是等边三角形，D是边AB延长线上一点，E是CB延长线上一点，且DE=DC，求证：AD=BE

4.课堂总结（2分钟）

今天你有哪些收获？

（重点引导学生总结：①证明线段相等的方法，②构造全等三角形的方法，

③作等腰三角形一边的平行线与另两边相交，有什么作用？）

5.布置作业

（2015年烟台中考试题）如图9，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且DE=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF.试证明：AB=DB+AF.

参考文献：

[1]赵菲.烟台市中考数学试题与课程标准的一致性分析[D].烟台：鲁东大学，2016.

[2]吴健.分析近几年全国各省市中考数学命题特点和高频考点r——探究2016年中考数学命题趋势[J].中学数学（初中版·下半月），2016（1）：47-50.