分类讨论思想在数学解题中的运用

摘 要：分类讨论思想是初中数学教学中的重要思想方法，教师引导学生利用分类讨论思想解决各种复杂的数学题目，确保学生的解题效率，有利于发展学生的数学思维.分类讨论思想主要运用在函数方程、三角问题和圆问题中.教师需要正确引导学生，帮助学生掌握分类讨论思想方法在初中数学解题中的运用方法，提高学生的数学解题效率.

关键词：初中数学;解题思路;分类思想

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）23-0030-02

收稿日期：2021-05-15

作者简介：陈艳阳（1983.11-），女，江苏省如皋人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

一、利用分类讨论思想解决函数方程问题

方程问题是学生初中阶段必须掌握的一个数学知识点，但是由于学生的认知水平不足，数学知识储备量有限，在学习较为抽象的数学函数问题时，总是感到难以下手.当出现这种情况时，教师需要耐心引导学生，指导学生正确运用分类讨论思想解决相应的方程问题，提高学生的数学解题效率.

例1 现已知一个方程式子a-3x|a-1|+x2-3=0，a满足什么条件的情况下，上述式子为一元二次方程？

解析 从题目给出的信息可以得出，当x的指数小于等于2，且是自然数即可满足要求，即|a-1|≤2.学生在解决上述问题时，容易犯的错是，认为只有当指数为1时，才能满足题目要求，导致答案不完整.而引入分类讨论思想方法能够有效避免学生的这一错误，教师指导学生将所有的可能列出来，避免答案遗漏现象.当a-1=2，时，a=3或者a=-1，将a代入一元二次方程，可得到式子x2-3=0，或者3x2+3=0.当a-1=1时，解得a=2或者a=0，得到一元二次方程式为x2-x-3=0，或者x2-3x-3=0.而当a-1=0时，解得a的值为1，此时的一元二次方程式子为x2-5=0.通过上述解析，不难发现将分类讨论思想方法运用到数学解题中，有效避免答案遗漏的现象，学生的解题准确率有所提升.

二、利用分类讨论思想解决三角几何问题

三角形问题也是学生在解决数学问题中经常遇到题型，因为几何知识的抽象性和逻辑性，学生在解决这类问题时存在一定的难度.而且因为学生的空间想象力不足，难以准确理解此类问题的具体意思，解题思路自然存在偏差.因此，教师在教学时，需要有意识、有目的地培养学生的逻辑思维能力，锻炼学生的空间想象力.将分类讨论思想方法运用到几何问题解决中，有效帮助学生解决数学问题，提高学生的数学解题技能，确保学生的数学解题效率，增强学生的解题信心.

例2 如图所示，已知两条直线l1和l2，以及一条线段AB，两条直线相交，假设两条线段上存在一点P，在什么情况下，能够满足△PAB为等腰三角形？

解析 学生在求解上述数几何问题时，因为缺乏较强的想象力，在解决问题上存在一定的难度，如果学生继续运用传统的解题方法，可能会导致答案错误.因此，教师需要指导学生正确解决上述问题，首先，教师需要帮助学生回忆有关等腰三角形的定义和相关知识，然后指导学生利用课堂所学知识进行求解，正确运用分类讨论思想方法，已知AB为等腰三角形的一条边，现在需要进行分类.首先，假设AB为等腰三角形的底边，在此条件下，作线段AB的中垂线，分别与直线l1和l2相交于点P2和P1，此时满足要求，即△PAB为等腰三角形.继续假设，当线段AB为等腰三角形的腰时，又需要进行分类.首先假设当∠A为顶角时，教师引导学生利用课堂中与等腰三角形的定义知识，指导学生作图.以点A为圆心，线段AB为半径画一个圆，和直线l1和l2相交于点P3、P4、P5和P6，即满足上述题目的要求.当∠B为顶角时，同理，以点B为圆心，线段AB为半径作圆，可得到和直线l1和l2的交点P7、P8、P9和P10，满足数学题目要求，△PAB为等腰三角形.由此可见，学生在解决初中数学三角问题时，应当正确指导学生利用分类讨论思想解决数学问题，提高学生的数学解题效率，确保初中数学课堂教学质量.

三、利用分类讨论思想解决圆的相关问题

几何数学知识是学生学习数学知识的重中之重，学生的逻辑思维不足，难以准确掌握数学几何知识.因此，教师需要正确引导学生.初中的几何知识包括三角形、圆形等几何图形，学生在解决这类问题时，因为对几何知识的理解不透彻，无法准确抓住题目的关键，从题意本身出发，导致答案错误.所以，教师需要指导学生动手作图，通过自主探索获得数学新知识，既锻炼学生的动手能力，又确保数学课堂的教学质量.

例3 已知两个圆O1和O2的半径分别为10和17，两个圆存在两个交点A和B，线段AB的长为16，求圆心距O1O2和∠O1AO2？

解析 在求解上述题目时，学生需要将所有的可能性都考虑到，避免遗漏.所以，教师需要指导学生利用分类讨论思想方法，确保答案的完整性.根据上述题目给出的信息，两个圆相交存在两个交点的情况有两种，如图所示.联系以前所学的勾股定理，可以列出式子O1C=AO21-AC2=102-82=6.同理可得O2C=AO22-AC2=172-82=15.计算到这里，学生可能不知道如何继续下一步，这时，教师需要指导学生联系三角函数的相关知识，调动学生所有可以利用的数学知识，锻炼学生的实际运用能力.将上述得出的条件代入到新的式子中，可得到cos∠O1AC=ACAO1=810=45，同理可以得到cos∠O2AC=ACAO2=817，所以∠O1AC=36.9°，∠O2AC=61.9°.接着，教师指导学生进行假设，分类进行讨论.假设两个圆相交的情况如（a）所示，则O1O2=O1C+O2C=6+15=21，∠O1AO2=∠O1AC+∠O2AC=36.9°+61.9°=99°.当两个圆相交的情况如（b）所示时，教师需要引导学生重新分析.O1O2=O2C-O1C=15-6=9，∠O1AO2=∠O2AC-∠O1AC=61.9°-36.9°=25°.由此可以看出，分类讨论思想运用广泛，利用分类讨论思想解决几何数学问题，能够确保答案的完整性和准确性，让数学解题教学课堂得以顺利开展.

综上所述，分类讨论思想在初中数学解题中运用较为广泛，教师需要合理准确地引导学生利用分类讨论思想，仔细审题，根据题目所给的信息，具体分析数学题目，确保答案的准确性，提高学生的解题技能，发展学生的数学思维.

参考文献：

[1]袁绍建.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].数学学习与研究（教研版），2015（24）：136-137.

[2]史志亞.分类讨论思想在初中数学解题中应用分析[J].数学大世界（教学导向），2012（11）：64-65.

[责任编辑：李 璟]