逆矩阵的教学设计

闫伟文　白庆月

摘  要：线性代数作为代数学的分支，具有重要的理论和实际应用价值。矩阵是研究线性代数的重要工具，矩阵中的逆矩阵在求解线性方程组中起着举足轻重的作用。逆矩阵既是线性代数的教学重点，又是教学难点。本文从理论与实践两个角度探讨逆矩阵的教学设计，以此达到提高学生数学应用能力的目的。

关键词：线性代数;逆矩阵;线性方程组;教学设计

中图分类号：G632    文献标识码：A    文章编号：1673-7164（2021）19-0068-04

线性代数是我国高校经管、理工类各专业的一门公共必修基础课，在经济学、计算机技术、人工智能等多领域有着广泛的应用。该课程内容丰富、概念抽象、公式繁杂、知识点之间联系紧密，学生学习难度较大，培养学生的逻辑思维能力，运用数学思维分析问题、解决问题的能力。该课程中逆矩阵是求解矩阵方程即线性方程组的重要工具，而线性方程组是线性代数的教学主线，贯穿该课程的始终[1]。因此做好逆矩阵的教学设计十分必要。线性代数提供了一种数学思想方法及素养的范式[2]。本文从理论与实践两个角度探讨逆矩阵的教学设计。

一、从理论角度——数学的思想方法设计

目前多数应用型本科高校使用的线性代数教材是吴赣昌主编的《线性代数》（简明版第五版）[3]。教学内容主要包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值、二次型。求解线性方程组是线性代数的本质任务，贯穿线性代数的始终。教学过程中，教师应该以线性方程组为主线，用旧知识去解释新知识，通过数学的思想方法找出不同概念之间的联系，这样才能使学生形成系统的知识体系[4]，进而建构数学思维，培养学生思维能力。矩阵作为求解线性方程组的主要工具，体现了丰富的数学思想，下面对逆矩阵从数学思想层面进行教学设计。

（一）通过类比思想导入概念

类比思想是用旧知认识新知，用已知探究未知的一种重要数学思想。在引入逆矩阵概念的设计中，这种思想表现更为突出。线性代数的主要任务是求解线性方程组。

n元齐次线性方程组可以表示为矩阵方程Ax=b。矩阵方程Ax=b类比于实数方程ax=b。对于方程ax=b，当a≠0时，解方程的思想是化“a”为“1”，即

a-1（ax）=a-1b？圯（a-1）ax=a-1b？圯1x=a-1b？圯x=a-1b;

对于矩阵方程Ax=b，求解的思想类似，为化“A”为“E”，即

B（Ax）=Bb？圯（BA）x=Bb？圯Ex=Bb？圯x=Bb。

若此解法可行，关键是否存在矩阵B，使得BA=E，引出逆矩阵的概念：

定义[3]：对n阶矩阵A，若存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则矩阵A称为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵，记做A-1。

逆矩阵类比于倒数，矩阵的逆运算类比于数的除法运算。通过对逆矩阵的类比，有助于学生对逆矩阵概念的理解，学生学习此概念的难度会大大降低，培养学生用已有知识体系构建新知识体系的能力。

（二）通过具体到抽象的思想得到矩阵可逆的一般结论[5]

一个非零数的倒数一定是存在的，类似地学生会设疑，什么样的矩阵存在逆矩阵？先看一个简单案例[6]：

（1）设矩阵A=2  51  3，存在矩阵B=2  -5-1  2，使得AB=BA=E，则矩阵B为矩阵A的逆矩阵，即矩阵A可逆。

（2）设矩阵O=0  00  0，显然找不到任何一个矩阵B，使得OB=BO=E，则零矩阵不存在逆矩阵，即零矩陣不可逆。

（3）设矩阵A=1  22  4，则矩阵A不可逆。

通过以上具体案例，学生会问两个问题：第一，方阵什么条件下可逆？第二，若方阵可逆，逆矩阵唯一吗，如何找到？进而引发学生思考，得到矩阵可逆的一般结论。

结论1[6]：若矩阵A可逆，则其逆矩阵一定是唯一的。

引导学生用反证法证明这一抽象结论。

结论2[3]：n阶矩阵A可逆的充要条件是A≠0，且当A可逆时，有A-1=A*。

首先引导学生找规律，思考探索矩阵可逆的一般条件，进而加以证明。通过以上具体到抽象的思维方式，培养了学生的抽象思维能力与分析探究能力。

（三）通过特殊到一般的思想引出伴随矩阵求逆

特殊矩阵：单位矩阵与对角矩阵。

（1）单位矩阵的逆矩阵是其本身。

（2）对角矩阵的逆矩阵为其主对角线各元素的倒数。

对于一般n阶可逆矩阵A，需要寻找矩阵B，使得AB=BA=E，将矩阵A与矩阵B的具体元素设出来，通过解方程组可得矩阵B，矩阵B为矩阵A的逆矩阵，在此过程中，定义了伴随矩阵A？鄢，即AA？鄢=A？鄢A=AE。这样有了伴随矩阵，求逆就有了方法。

这种由特殊到一般的分析思路是学生学习数学的能力目标，是分析问题的基础能力。

（四）通过方程思想[7]得到初等变换法求逆

若AB=E，则B=A-1。根据此推论[3]，利用求解方程组来求逆矩阵。

设n阶可逆矩阵A与矩阵B，由上述推论可得方程组Aβ1=e1，Aβ2=e2，Aβn=en， 其中B=（β1 β2…βn），E=（e1e2…en），理论上高斯消元法就可以求得方程组的解，即得矩阵B。而高斯消元法对应矩阵的初等变换，上述线性方程组对应增广矩阵（Ae1e2…en）Eβ1 β2…βn，这样通过方程的思想就得到了求逆矩阵的初等变换法（AE）（EA-1）。初等变换法是求逆矩阵的非常有效的方法，也有笔者研究了同时使用初等行变换与初等列变换求逆矩阵[8-9]。通过给学生植入熟悉的方程思想，使学生能更深刻地理解初等变换法求逆矩阵。

二、从实践角度——逆矩阵的实际应用设计

（一）逆矩阵在密码学中的应用

逆矩阵的一个经典应用是对Hill密码的加密与解密。学生对某一知识的使用比对知识本身更感兴趣，因此，教师在讲授完逆矩阵的基本概念与性质之后，可以给学生引入实际案例——Hill密码。

Hill加密算法的基本思想是设计一种可逆的对应关系即矩阵方程。首先给学生一个小任务，快速查阅关于Hill密码的简介，大概了解其由来，并认识其组成，并在教师的指导下研究探讨其原理。在探究的过程中，让学生感知数学知识并不是枯燥乏味的，它在实际生活中活灵活现，而且体会到数学知识是很重要的工具。与前面数学的思想方法相比，学生可能更喜欢这种看得见的实际应用，以此激发学生对理论的演算与推理的更深层次理解。然后，通过一个有趣的练习让学生进一步使用逆矩阵来加深对逆矩阵的理解[10]。

如对明文“I love you”，设计合适的密钥矩阵，实现Hill加密和解密过程。加密步骤总结为：①将文字信息转化为数字信息;②利用加密矩阵将数字信息加密;③将加密得到的数字信息转化为文字信息;④传输给对方。解密步骤总结为：①将收到的文字信息转化为数字信息;②利用解密矩阵将数字信息解密;③将解密得到的数字信息转化为文字信息。重难点总结：加密矩阵的设计原则：①算起来容易（加密矩阵与其逆矩阵元素都是整数）;②不容易被敌方破译，要有一定的复杂性。加密矩阵满足的条件：①的每一个元素为整数（加密矩阵为整数矩阵）;②解密矩阵为整数矩阵。寻求满足条件的简单矩阵：上（下）三角矩阵，但容易被破译，所以采用上三角矩阵与下三角矩阵的乘积，较复杂些。另外不应采用低阶矩阵，而应采用高阶矩阵不易被破译[11]。

（二）逆矩阵的数学实验操作

在开设的数学实验课程中，让学生用MATLAB实现对逆矩阵的求解。学生既需要将实际问题抽象出简单的矩阵模型，又需要对简单的矩阵模型进行求解。数学实验促进学生掌握求逆矩阵的多种方法，加深学生对逆矩阵理论的理解，强化了学生应用数学工具解决实际问题的意识，培养了学生的动手能力。

MATLAB作为数学上较实用的数学软件，是学生跨越数学理论与实践的桥梁。熟练掌握MATLAB，既可以提高学生应用数学解决实际问题的意识，又可以培养学生用所学的数学知识和计算机技术解决实际问题的能力。

参考文献：

[1] 江蓉，王守中. 向量组线性相关性的教学设计[J]. 西南师范大学学报（自然科学版），2017，42（04）：146-150.

[2] 朱琳. 基于发生教学法的线性空间概念的教学研究[D]. 武汉：華东师范大学，2017：74-81.

[3] 吴赣昌. 线性代数（简明版第五版）[M]. 北京：中国人民大学出版社，2017.

[4] 徐海静，何立官. 矩阵思想在《线性代数》教学中的应用[J]. 西南师范大学学报（自然科学版），2012，37（05）：161-163.

[5] 张莉. 矩阵与变换的教学设计研究与实验[D]. 武汉：华中师范大学，2011：13-23.

[6] 戴维·普尔（POOLE D.）. Linear Algebra（Fourth Edition）[M]. 北京：中国人民大学出版社，2016：107-111.

[7] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[8] 张喜善. 初等行变换与初等列变换并用求逆矩阵[J]. 中央民族大学学报（自然科学版），2016，25（03）：37-40.

[9] 裴昌萍. 基于求逆矩阵的几种方法[J]. 青海大学学报（自然科学版），2014（04）：13-15.

[10] 杨威，陈怀琛，等. 大学数学类课程思政探索与实践——以西安电子科技大学线性代数教学为例[J]. 大学教育，2020（03）：77-79.

[11] 陈建龙，张小向. “金课”标准下的线性代数教学[J]. 大学数学，2019，35（05）：73-82.

（荐稿人：贾庆菊，山西财经大学副教授）

（责任编辑：淳洁）