线性代数中矩阵的秩的应用探讨

王桂英

现代科学技术的迅猛发展，计算机的广泛使用，使经济学理论与数学的结合日益紧密，线性代数在人们的生产生活中显得越来越重要，成为经济类、理工类学生学习的重要课程.线性代数与线性方程組的求解密不可分.矩阵是研究线性代数中各类问题的载体，是研究线性方程组的一个重要概念.矩阵的秩又是矩阵研究的核心，是研究线性代数问题的“试金石”.因此，对矩阵的秩的应用进行全面而深入的探讨就尤为重要.此外，线性代数比较抽象，矩阵的秩的知识内容在教材中很分散，理论上又与其他知识点联系紧密，这就为学生学习线性代数的知识带来困难，对矩阵的秩的应用难以掌握，矩阵的秩成了学习线性代数的重点和难点.

一、矩阵的秩的定义及等价定义

定义 设矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（若存在）全等于0，那么称D为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）.并规定零矩阵的秩等于0.显然矩阵A的秩R（A）就是A中不等于0的子式的最高阶数.

下面给出矩阵的秩的一组等价描述.

命题1 设A为m×n矩阵，则下面各结论等价：

（1）R（A）=r；

（2）A的行向量组的秩等于r；

（3）A的列向量组的秩等于r；

（4）A的行空间的维数等于r；

（5）A的列空间的维数等于r；

（6）n元齐次线性方程组Ax=0的解空间的维数等于n-r.

二、矩阵的秩在线性代数中的应用探讨

（一）矩阵的秩在求解线性方程组中的应用

定理1给出了矩阵的秩与线性方程组解的判定之间的关系，将线性方程组解的判定问题转化为计算系数矩阵与增广矩阵的秩，判断系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等的问题，大大降低了线性方程组解的判定与求解难度.

定理1 n元线性方程组Ax=b.

（1）无解的充分必要条件是R（A）

（2）有唯一解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）=n；

（3）有无限多解的充分必要条件是R（A）=R（A，b）

例1 线性方程组

（1+λ）x1+x2+x3=0，x1+（1+λ）x2+x3=3，x1+x2+（1+λ）x3=λ.

问λ为何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其同解.

解法 对增广矩阵B=（A，b）做初等行变换，得

B=1+λ11011+λ13111+λλr1r3

111+λλ11+λ131+λ110

r2-r1

111+λλ0λ-λ3-λ1+λ110

r3-（1+λ）r1

111+λλ0λ-λ3-λ0-λ-λ（2+λ）-λ（1+λ）

r3+r2

111+λλ0λ-λ3-λ00-λ（3+λ）（1-λ）（3+λ） .

（1）当λ≠0且λ≠-3时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解；

（2）当λ=0时，R（A）=1，R（B）=2，方程组无解；

（3）当λ=-3时，R（A）=R（B）=2，方程组有无穷多个解.

继续对增广矩阵B做初等行变换，化最简形式为

B=11-2-30-3360000→10-1-101-1-20000

的同解的线性方程组

x1=x3-1，x2=x3-2，

取x3为自由未知量，令x3=c（c∈R），原方程组的通解为

x1x2x3=c111+-1-20，c∈R.

（二）矩阵的秩在求向量组的最大无关组及判别时的应用

命题2 对于n维向量组a1，a2，…，am及矩阵A=（a1，a2，…，am），则下列结论等价：

（1）向量组a1，a2，…，am线性相关（或线性无关）；

（2）齐次线性方程组Ax=0有非零解（或只有零解）；

（3）矩阵A的秩R（A）

命题2将向量组的线性相关性判别转化为判别向量组的矩阵的秩与向量的个数之间的关系问题，为用齐次线性方程组解的相关理论判别线性方程组的线性相关性建立了理论根据.实际上，向量b被向量组a1，a2，…，am线性表示，就是非齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam=b有解及求解的问题.

两个向量组之间的关系问题远比一个向量组内部的关系复杂得多，但矩阵的秩将这个问题的难度降低.定理2刻画了具体的判别方法.

定理2 向量组b1，b2，…，bn能由向量组a1，a2，…，am线性表示的充要条件是矩阵A=（a1，a2，…，am）的秩等于矩阵（A，B）=（a1，a2，…，am，b1，b2，…，bn）的秩，即 R（A）=R（A，B）.

推论1 向量组b1，b2，…，bn与向量组a1，a2，…，am等价的充要条件是R（A）=R（B）=R（A，B）.其中A和B是向量组a1，a2，…，am和b1，b2，…，bn构成的矩阵.

（三）矩阵的秩在线性方程组解的研究中的应用

矩阵的秩可借以求线性方程组Ax=0和Ax=b的解.可是，线性方程组Ax=0和Ax=b的解的结构尚不明了.借助向量空间的基和维数的概念，矩阵的秩从高处理解线性方程组的解.定理3给出了线性方程组解的结构.

定理3 设m×n矩阵A的秩R（A）=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R（S）=n-r，通解为x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r，其中ξ1，ξ2，…，ξn-r为解集的最大无关组，即ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组Ax=0的基础解系.方程组Ax=b的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η，其中ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组Ax=0的基础解系，k1，k2，…，kn-r为任意实数，η是Ax=b的某个解.

三、小 结

矩阵的秩、向量组的线性相关性与线性方程组的解是一脉相通的，无法割裂研究.向量组的最大无关组与向量组的秩密切相关，向量空间的基，其实质就是向量空间的一个最大无关组，向量组的秩等于其矩阵的秩，使矩阵的秩、向量空间的维数和基相联系.所以，研究矩阵的秩、向量组的秩、向量空间的维数和线性方程组的解密切相关.本文主要从矩阵的秩在线性代数中的应用进行讨论，使矩阵的秩在线性代数中得到灵活应用，从而使有些数学问题简化.