BL-代数的反犹豫模糊子代数

姜 曼

(西安交通工程学院 公共课部， 陕西 西安 710300)

0 引言

1965年，Zadeh[1]提出了模糊集，而后模糊集在理论和应用两方面取得了很大的进展.比如，在模糊集理论的基础上提出了直觉模糊集，基于正规形式的区间值模糊集以及区间值直觉模糊集，并把这些理论应用于不同的代数结构中，得到了很多重要的结论[2-4].作为模糊集的又一个重要的拓展，Torra[5]又提出了犹豫模糊集概念，由于每个犹豫模糊元素是由很多个不确定的元素构成，因此犹豫模糊集能更好的描述人类在思考问题时的不确定、瞻前顾后、以及研究问题时犹豫不定性.在不同代数中研究滤子的犹豫模糊性，现阶段已经取得了一些研究成果.比如，彭家寅[6-7]在BL-代数中研究犹豫模糊滤子，证明了各个犹豫模糊滤子之间相互等价需要具备的条件，并且拓展了剩余格中的n-重滤子理论，获得了几类犹豫模糊n-重滤子与其对应的n-重剩余格以及其商n-重剩余格之间的等价描述.刘春辉等[8-9]分别在FI代数和Fuzzy蕴涵代数研究犹豫模糊滤子和犹豫模糊同余关系，讨论它们的相互关系，取得了一些有意义的研究成果.

为了更好地证明基本逻辑的完备性定理，1998年，Hájek[10]提出了BL-代数，其中MV代数、格蕴含代数、Godel代数和积代数等逻辑代数都可以看成是BL代数的特例.因此，研究BL代数是对这些代数结构共同特征的发掘，有非常重要的意义[11-14].尤其是近年来，房卫平[15]研究BL代数中的直觉模糊滤子，得出直觉模糊滤子的代数结构；彭家寅[16]根据区间值直觉模糊集的理论，研究了各个区间值直觉模糊滤子之间等价的条件；朱翔等[17]研究了模糊子BL代数的程度，得到了模糊子BL代数度之间的等价刻画.这些研究对于BL-代数理论有很大的促进作用.但是，迄今为止，关于反犹豫模糊代数结构的研究尚无公开成果.在上述相关研究的基础上，本文将犹豫模糊集与BL代数子代数理论相结合，给出了BL-代数的反犹豫模糊子代数的概念，引入反直积及投影的定义，得到了一些有意义的结论，进一步丰富和拓展了犹豫模糊集和BL-代数的理论研究.

1 预备知识

以下将介绍本文所需的BL-代数、BL-同态、水平集以及模糊直积等基本概念.

定义1[5]设X是一个非空经典集合，一个X上的犹豫模糊集F的定义如下：

F:={(x,hF(x))|x∈X},

其中，hF(x)是由区间[0,1]上若干个不同值构成的集合，表示X中的元素x属于集合F的若干种可能隶属度.

设F为X中的犹豫模糊集，P([0,1])为区间[0,1]的幂集.称集合

X(F,γ):={x∈X|γ⊆hF(x)}

为F的犹豫水平集，其中，γ⊆P([0,1]).

定义2[5]设X是一个非空经典集合，F和G是X上的犹豫模糊集，且具有如下形式：

F:={(x,hF(x))|x∈X},

G:={(x,hG(x))|x∈X},

规定如下运算：

(1)补：对于F,它的补元Fc定义为：

补运算满足对合律，即(Fc)c=F.

(2)并：F和G的并F∪G定义为：

hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)=

{h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF(x),hG(x))}.

(3)交：F和G的交F∩G定义为：

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)=

{h∈hF(x)∩hG(x)|h≤min(hF(x),hG(x))}.

定义3[10]有界格(L，∨，∧，*，→，0，1)叫BL-代数.若∀x,y∈L,有下列条件成立：

(BL1)(L，*，1)是以1为单位的交换半群；

(BL2)(*，→)是L上的伴随对；

(BL3)x∧y=x*(x→y);

(BL4)x→y=x*(x→y).

为了叙述方便，以下L均指BL-代数.

命题1[14]设(L，∨，∧，*，→，0，1)是BL-代数，则∀x,y∈L,有

(BL5)x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x)；

(BL6)x≤y⟺x→y=1,特别x→x=1.

定义4[17]设A：={(x,hA(x))|x∈X}是X的犹豫模糊子集，∀ε⊆[0，1],则称

定义5[17]设L1是BL-代数L的非空子集.若L1在L中的运算下仍构成一个BL-代数，那么称L1是BL代数L的子代数，或称L1是L的子BL-代数.

定义6[17]L的模糊集A称为L的一个模糊子BL-代数.如果∀x,y∈L,满足下列条件：

(1)A(x)≤A(0);

(2)A(x)∧A(y)≤A(x∨y);

(3)A(x)∧A(y)≤A(x∧y);

(4)A(x)∧A(y)≤A(x*y);

(5)A(x)∧A(y)≤A(x→y).

定义7[17]设L1,L2是BL-代数，映射f:L1→L2称为BL-同态，如果∀x,y∈L1,满足下列条件：

(1)f(x∨y)=f(x)∨f(y);

(2)f(x∧y)=f(x)∧f(y);

(3)f(x*y)=f(x)*f(y);

(4)f(x→y)=f(x)→f(y).

若f是满射，则称f是BL-满同态；若f是单射，则称f是BL-单同态；若f是双射，则称f是BL同构.

命题2[17]设L1是L的一个非空子集，则L1是L的子BL-代数的充要条件是：

(1)0∈L1；

(2)∀x,y∈L1,有x*y,x→y∈L1.

命题3[17]设L1,L2是BL-代数，映射f:L1→L2称为BL-同态，如果∀x,y∈L1,满足下列条件：

(1)f(x*y)=f(x)*f(y);

(2)f(x→y)=f(x)→f(y).

命题4[17]设L1,L2是BL-代数，1L和1M分别是L1和L2的最大元，0L和0M分别是L1和L2的最小元.

(1)若f:L1→L2是BL同态，则f(1L)=1M;

(2)若f:L1→L2是BL满同态，则f(0L)=0M.

定义8[18](反扩张原理)设X,Y是两个集合，f：X→Y是一个映射.A:={(x,hA(x))|x∈X}和B:={(y,hB(y))|y∈Y}是两个分别定义在X,Y的犹豫模糊子集.x∈X,∀y∈Y,定义Y的犹豫模糊子集f(A)如下：

∀x∈X,定义X的犹豫模糊子集f-1(B)如下：

hf-1(B)(x)=hB(f(x)).

定义9[18]设A，B分别是非空集合X,Y的犹豫模糊子集，∀(x,y)∈X×Y,定义X×Y的子集A×B：

A×B:X×Y→P[0,1],
hA×B(x,y)=hA(x)∪hB(y)，

则A×B是X×Y的犹豫模糊子集，并称A×B为A，B的反直积.

定义10[18]若A×B是X×Y的犹豫模糊子集，则定义X的犹豫模糊子集A1：

则称A1为A×B在X中的反犹豫模糊投影.

(x∨y)(i)=x(i)∨y(i)=xi∨yi;
(x∧y)(i)=x(i)∧y(i)=xi∧yi;
(x*y)(i)=x(i)*y(i)=xi*yi;
(x→y)(i)=x(i)→y(i)=xi→yi;

命题5[19]设a,ai∈[0,1],i∈I(I为任意指标集)，则：

定义13[20]设映射I:[0,1]×[0,1]→[0,1],若∀a,b,c∈[0,1]满足条件：

(1)a≤b⟹I(a,c)≥I(b,c);

(2)b≤c⟹I(a,b)≥I(a,c);

(3)I(1,0)=0,I(0,0)=I(1,1)=1.

则称映射I为一个模糊蕴含算子.

蕴含算子及取大、取小运算具有如下性质：

2 BL-代数的反犹豫模糊子代数与反直积

为了叙述方便，下文中的犹豫模糊子集A：{(x,hA(x))|x∈A}均用A表示.

定义14设A是L的犹豫模糊子集，则称A是L的反犹豫模糊子BL-代数，如果∀x,y∈L,满足下列条件：

(1)hA(0)⊆hA(x);

(2)hA(x∨y)⊆hA(x)∪hA(y);

(3)hA(x∧y)⊆hA(x)∪hA(y);

(4)hA(x*y)⊆hA(x)∪hA(y);

(5)hA(x→y)⊆hA(x)∪hA(y).

定理1设A是L的一个模糊子集，则A是L的反犹豫模糊子BL-代数的充要条件是：∀x,y∈L,

(1)hA(0)⊆hA(x);

(2)hA(x*y)⊆hA(x)∪hA(y);

(3)hA(x→y)⊆hA(x)∪hA(y).

证明必要性显然.

充分性：若∀x,y∈L,条件(1)～(3)成立，只需证明定义14中的(2)和(3)成立.

由(BL3)和条件(2)、(3)可得hA(x∧y)=hA(x*(x→y))⊆hA(x)∪hA(x→y)⊆hA(x)∪hA(x)∪hA(y)=hA(x)∪hA(y),由hA(x∧y)⊆hA(x)∪hA(y)、(BL5)及条件(2)和(3)可得

hA(x∨y)=hA(((x→y)→y)∪((y→
x)→x))⊆hA((x→y)→y)∪hA((y→x)→
x)⊆hA(x→y)∪hA(y)∪hA(y→
x)∪hA(x)⊆hA(x)∪hA(y)∪hA(y)∪hA(y)∪
hA(x)∪hA(x)=hA(x)∪hA(y).

在上述定理1中，容易证明条件(2)和(3)等价于hA(x)∪hA(y)⊇hA(x*y)∪hA(x→y),从而有如下推论：

推论1设A是L的一个犹豫模糊子集，则A是L的反犹豫模糊子BL-代数的充要条件是，如果∀x,y∈L,

(1)hA(x)⊇hA(0);

(2)hA(x)∪hA(y)⊇hA(x*y)∪hA(x→y).

定理2设A是L的反犹豫模糊子BL-代数，则

(1)hA(1)=hA(0);

(2)∀x∈L,hA(x)⊇hA(x→0),hA(x)⊇hA(x*0).

证明(1)根据定义14(1)知，hA(1)⊇hA(0),下面只需证明hA(0)⊇hA(1)即可.

根据(BL6)知，0→0=1,再由定义14(5)可得：hA(1)=hA(0→0)⊆hA(0)∪hA(0)=hA(0).所以hA(1)=hA(0).

(2)由定义14，∀x∈L,hA(x)=hA(x)∪hA(0)⊇hA(x→0),hA(x)=hA(x)∪hA(0)⊇hA(x*0).

定理3设A是L的一个犹豫模糊子集，则A是L的反犹豫模糊子BL代数的充要条件是：∀x,y∈L,

(1)hA(0)=hA(1);

(2)hA(x)∪hA(y)⊇hA(x*y);

(3)hA(x)∪hA(y)⊇hA(x→y).

证明必要性：由定理1和定理2可得.

充分性：若条件(1)～(3)成立.由定理1知，只需证明∀x∈L,hA(x)⊇hA(0).事实上，由条件(1)，(3)及(BL6)可得hA(x)=hA(x)∪hA(x)⊇hA(x→x)=hA(1)=hA(0).

下面利用水平集给出BL代数的犹豫模糊子BL代数与其子BL代数之间的相互诱导关系.

定理4设A是L的一个非空犹豫模糊子集，则A是L的反犹豫模糊子BL代数，当且仅当∀ε⊆[0,1],L(A;ε)：={hA(x)⊆ε|x∈L}(≠φ)是L的子BL代数.

证明必要性：设A是L的反犹豫模糊子BL代数，若∀ε⊆[0,1],L(A;ε)(≠φ),则∃x∈L(A;ε),从而有hA(x)⊆ε.因为A是L的反犹豫模糊子BL代数，由定义14(1)可知，hA(0)⊆hA(x)⊆ε,因此0∈L(A;ε).若∀x,y∈L(A;ε),则hA(x)⊆ε,hA(y)⊆ε.因此hA(x*y)⊆hA(x)∪hA(y)⊆ε∪ε=ε,即x*y∈L(A;ε)；

又由于hA(x→y)⊆hA(x)∪hA(y)⊆ε∪ε=ε,即x→y∈L(A;ε)；由命题2知L(A;ε)(≠φ)是L的子BL代数.

充分性：∀ε⊆[0，1],L(A;ε)(≠φ)是L的子BL代数.∀x∈L,令ε=hA(x),则有x∈L(A;ε).L(A;ε)(≠φ)是L的子BL代数，故0∈L(A;ε),因此有hA(0)⊆ε=hA(x).∀x，y∈L,令hA(x*y)∪hA(x→y)=ε,则hA(x*y)⊆ε且hA(x→y)⊆ε.从而有x*y∈L(A;ε)且x→y∈L(A;ε).即hA(x*y)⊆ε=hA(x*y)∪hA(x→y),hA(x→y)⊆ε=hA(x*y)∪hA(x→y).由定理1可知A是L的反犹豫模糊子BL-代数.

推论2设A是L的一个非空犹豫模糊子集，则A是L的反犹豫模糊子BL-代数当且仅当

是L的子BL-代数.

定理5若A是L的反犹豫模糊子BL-代数，则称B={x∈L|hA(x)=hA(0)}是L的子BL-代数.

证明令ε=hA(0),一方面，∀x∈B,有hA(x)=hA(0)=ε,所以x∈L(A;ε),即B⊆L(A;ε).另一方面，∀x∈L(A;ε),hA(x)⊆ε=hA(0),又因为hA(x)⊇hA(0),所以hA(x)=hA(0).因此x∈B,即L(A;ε)⊆B.综上B=L(A;ε).再根据定理4知，B=L(A;ε)是L的子BL代数.

L的反犹豫模糊子BL-代数在交和并运算下是否仍为反犹豫模糊子BL-代数？下面定理6和定理7给出了回答.

定理6设A和B是L的反犹豫模糊子BL-代数，则A∩B仍是L的反犹豫模糊子BL-代数.

证明因为A和B是L的反犹豫模糊子BL-代数，∀x，y∈L,则有

hA∩B(0)=hA(0)∩hB(0)⊆
hA(x)∩hB(x)=hA∩B(x),
hA∩B(x*y)=hA(x*y)∩hB(x*y)⊆
(hA(x)∪hA(y))∩(hB(x)∪hB(y))=
(hA(x)∩hB(x))∪(hA(y)∩hB(y))=
hA∩B(x)∪hA∩B(y).

同理可证，hA∩B(x→y)⊆hA∩B(x)∪hA∩B(y).因此，由定理1可得A∩B是L的反犹豫模糊子BL-代数.

定理7设A和B是L的反犹豫模糊子BL-代数，则A∪B仍是L的反犹豫模糊子BL-代数.

证明∀x，y∈L,因为A和B是L的反犹豫模糊子BL-代数，于是

hA∪B(x)=hA(x)∪hB(x)⊇
hA(0)∪hB(0)=hA∪B(0),
hA∪B(x*y)=hA(x*y)∪hB(x*y)⊆
(hA(x)∪hA(y))∪(hB(x)∪hB(y))=
(hA(x)∪hB(x))∪(hA(y)∪hB(y))=
hA∪B(x)∪hA∪B(y).

同理可证，hA∪B(x→y)⊆hA∪B(x)∪hA∪B(y).因此，由定理1可得A∪B是L的反犹豫模糊子BL-代数.

定理8设L1和L2是BL-代数，f：L1→L2是BL-同态映射，A和B分别是L1和L2的犹豫模糊子集，且f(0)=0,则：

(1)若A是L1的反犹豫模糊子BL-代数，则f(A)是L2的反犹豫模糊子BL-代数;

(2)若B是L2的反犹豫模糊子BL-代数，则f-1(B)是L1的反犹豫模糊子BL-代数.

证明因f是BL-同态，则由命题4(1)知f(1)=1.

(1)若A是L1的反犹豫模糊子BL-代数，由定义14和定理2知，∀x∈L1,hA(x)⊇hA(0)=hA(1).又f(0)=0,从而由反扩张原理得：

下面只需证明∀y1,y2∈L2,

hf(A)(y1*y2)⊆hf(A)(y1)∪hf(A)(y2)和hf(A)(y1→y2)⊆hf(A)(y1)∪hf(A)(y2)成立.

事实上，若存在y1,y2∈L2,使

hf(A)(y1*y2)⊃hf(A)(y1)∪hf(A)(y2),

那么

于是存在x1,x2∈L1,使得f(x1)=y1,f(x2)=y2,且

hf(A)(y1*y2)⊃hA(x1),hf(A)(y1*y2)⊃hA(x2).

因为f是BL-同态，故f(x1*x2)=f(x1)*f(x2)=y1*y2,则

这与A是L1的反犹豫模糊子BL-代数矛盾.从而有

hf(A)(y1*y2)⊆hf(A)(y1)∪hf(A)(y2).

类似可证：

hf(A)(y1→y2)⊆hf(A)(y1)∪hf(A)(y2).

由定理3可知f(A)是L2的反犹豫模糊子BL-代数.

(2)由反扩张原理、定理2(1)及f(0)=0可得，

hf-1(B)(1)=hB(f(1))=hB(1)=
hB(0)=hB(f(0))=hf-1(B)(0),

又B是L2的反犹豫模糊子BL-代数且f是BL-同态映射，故对∀x1，x2∈L1,

hf-1(B)(x1*x2)=hB(f(x1*x2))=
hB((f(x1))*(f(x2)))⊆
hB(f(x1))∪hB(f(x2))=
hf-1(B)(x1)∪hf-1(B)(x2).

同理可证，hf-1(B)(x1→x2)⊆hf-1(B)(x1)∪hf-1(B)(x2).所以，f-1(B)是L1的反犹豫模糊子BL-代数.

由命题4(2)知，若f是BL-满同态，则f(0)=0.于是有如下推论：

推论3设映射f：L1→L2是BL-满同态，A和B分别是L1和L2的犹豫模糊子集，则：

(1)若A是L1的反犹豫模糊子BL-代数，则f(A)是L2的反犹豫模糊子BL-代数；

(2)若B是L2的反犹豫模糊子BL-代数，则f-1(B)是L1的反犹豫模糊子BL-代数.

证明

其中xi,yi∈Li,因为Ai为Li的反犹豫模糊子BL代数，所以，

又

定理10若A，B分别是BL-代数L1,L2的反犹豫模糊子BL-代数，则A×B是L1×L2的反犹豫模糊子BL-代数.

证明若A,B分别是BL-代数L1,L2的反犹豫模糊子BL-代数，则∀x∈L1,∀y∈L2,hA(x)⊇hA(0),hB(y)⊇hB(0),从而hA×B(x,y)=hA(x)∪hB(y)⊇hA(0)∪hB(0)=hA×B(0,0).

∀(x1,y1),(x2,y2)∈L1×L2,

hA×B(x1,y1)∪hA×B(x2,y2)=
hA(x1)∪hB(y1)∪hA(x2)∪hB(y2)=
(hA(x1)∪hA(x2))∪(hB(y1)∪hB(y2)) ⊇
hA(x1*x2)∪hB(y1*y2)=
hA×B((x1*x2),(y1*y2)).
hA×B(x1,y1)∪hA×B(x2,y2)=
hA(x1)∪hB(y1)∪hA(x2)∪hB(y2)=
(hA(x1)∪hA(x2))∪(hB(y1)∪hB(y2)) ⊇
hA(x1→x2)∪hB(y1→y2)=
hA×B((x1→x2),(y1→y2)).

综上可得A×B是L1×L2的反犹豫模糊子BL-代数.

定理11若A×B是BL-直积L1×L2的反犹豫模糊子BL-代数，分别定义L1和L2的反犹豫模糊子集为：

则A1、B1分别是L1和L2的反犹豫模糊子BL-代数.

证明∀x∈L1,因为A×B是L1×L2的反犹豫模糊子BL-代数，所以

∀x，y∈L1,

又

从而

⊇hA1(x*y).

同理可证，

hA1(x)∪hA1(y)⊇hA1(x→y),

故A1是L1的反犹豫模糊子BL-代数.类似地可证明B1是L2的反犹豫模糊子BL-代数.

3 结论

将犹豫模糊集理论与BL-代数中的子代数理论相结合，提出并研究了反犹豫模糊子代数的概念，得到了一些有意义的结论.这些结论更加丰富了犹豫模糊集的理论研究，今后，将继续研究其它的反犹豫模糊代数结构.