模糊过程熵的一些新结论

2019-07-30 10:42:44冀占江覃桂茳李连芬
梧州学院学报 2019年3期
关键词:模糊集梧州测度

冀占江,覃桂茳,李连芬

(1.2.3.梧州学院 大数据与软件工程学院,广西 梧州 543002)

1 引言和概念

设P={P1,P2…Pn}是X上的有限模糊分割,如果P中的每一个元素都在F中,则称P是X上的有限可测模糊分割;如果一个模糊集在F中,就称该模糊集为可测模糊集。以下考虑的都是m(X)=1的模糊测度空间,不再进行说明。

定义1.3[6]设A是X上的模糊集,T:X→X是函数,按如下方式定义X上的模糊集T-1A:对X中的任何一个点x,(T-1A)(x)=A(T(x)).对于n≥2,按如下方式定义X上的模糊集T-nA:对X中的任何一个点x,(T-nA)(x)=A(Tn(x)).

定义1.4[6]设P={P1,P2…Pn}是X上的模糊分割,对于n≥0,按如下方式定义T-nP:T-nP={T-nPi|1≤i≤n},n≥1;T0P=P.

显然T-nP也是X上的模糊分割。

定义1.5[6](X,F,m)是模糊测度空间,T:X→X是函数,若对∀A∈F,有T-1A∈F,则称函数T是可测变换。

定义1.6[6](X,F,m)是模糊测度空间,T:X→X是函数,若对∀A∈F,有T-1A∈F和m(T-1A)=m(A),则称函数T是保测变换。

定义1.7[7]设(X,F,m)是模糊测度空间,P={P1,P2…Pn}是X上的可测模糊分割,T:X→X是保测变换,则称(X,F,m,P,T)是模糊过程。

2 若干引理

引理2.1[6]设P,Q,R是X上的有限可测模糊分割,则有

(1)H(P▽Q|R)=H(P|R)+H(Q|P▽R);

(2)H(P▽Q)=H(P)+H(Q|P);

(3)若PQ,则H(R|P)≥H(R|Q),H(P)≤H(Q);

(4)H(P|R)≤H(P).

引理2.3[7]设(X,F,m,P,T)是模糊过程,对任意的n≥1,则有

(1)H(T-nP)=H(P);

引理2.4[8]设(Ai)1≤i≤n是X上的模糊集序列,则有

引理2.5 设P,Q,R是X上的有限可测模糊分割,则有

(1)H(P▽Q)≤H(P)+H(Q);

(2)H(P▽Q|R)≤H(P|R)+H(Q|R).

证明:(1)由引理2.1(2)知:H(P▽Q)=H(P)+H(Q|P),由引理2.1(4)知:H(Q|P)≤H(Q),故H(P▽Q)≤H(P)+H(Q).

(2)由引理2.1(1)知:H(P▽Q|R)=H(P|R)+H(Q|P▽R).下证:RP▽R.

设P={P1,P2…Pn},R={R1,R2…Rm},∀1≤j≤m,∀x∈X,有

3 主要定理

定理3.1设(X,F,m,P,T),(X,F,m,Q,T)是两个模糊过程,则有

(1)H(P▽Q,T)≤H(P,T)+H(Q,T);

(2)H(P,T)≤H(Q,T)+H(P|Q).

证明:(1)由引理2.2知:

由引理2.5(1)知:

所以

H(P▽Q,T)≤H(P,T)+H(Q,T).

(2)设S={S1,S2…Sn},R={R1,R2…Rm}是X上的有限可测模糊分割,首先证:RS▽R.∀1≤j≤m,∀x∈X,有又S1,S2…Sn互不相交,且由引理2.4(2)知:因此再由引理2.4(1)知:(SiRj)1≤i≤n不相交.∀x∈X,由引理2.4(2)知:

再由引理2.5(2)知:

下证:H(T-1P|T-1Q)=H(P|Q).设P={P1,P2…Pn},Q={Q1,Q2…Qm},则

又T:X→X的保测变换,故

因此H(T-1P|T-1Q)=H(P|Q),故

由引理2.2知:

由引理2.3(1)知:

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