透视解法策略，探究突破思路

王敏敏 张大伟

[摘  要] 二次函数中的角度存在性问题可从几何与函数两大视角突破解法思路，几何分析时依托角度构建模型，函数分析时关注直线与角度正切值的关系. 文章深入剖析了该类问题的解法策略，并结合实例进行了解法初探和综合探究，提出了几点教学建议.

[关键词] 二次函数;角度;存在性;几何;函数;思想方法

二次函数中的角度存在性问题需要学生重点掌握. 问题常以二次函数为背景，探究角度是否存在，或探究角度存在时某点的坐标. 从问题的本质来看，探究的内容是一致的，均需要在抛物线中构建角度模型. 下面分析几个方法，探究并构建相应的思路.

方法综述

二次函数中的角度存在性问题主要分为两类：一是特殊角存在性问题，如30°，45°，60°，90°等;二是一般角存在性问题. 在实际考查中，特殊角存在性问题最常见，而涉及一般角时则可以通过角度的组合来构造特殊角. 该类问题的解法较特殊，可从几何或函数的视角来构建思路.

1. 几何法

几何法主要是利用特殊角来构造直角三角形，利用直角三角形的特殊比例关系来转化求解. 如若某问题涉及45°角，则可依托该角构造等腰直角三角形;若出现的是30°角或60°角，则可构造直角三角形，30°角对应的边是斜边的一半;若出现的是90°角，则可将直角三角形倾斜放置，构造“一线三垂直”模型，如图1所示.

2. 函数解析法

函数解析法需要利用直线斜率与角度正切值的关系，即对于直线l，设其与x轴正方向的夹角为θ，则该直线的解析式可表示为y=tanθ·x+m，因此后续探究只需要联立直线的解析式和抛物线的解析式，直接确定两者的交点即可.

解法初探

无论是利用几何法构造含所涉角的直角三角形，还是利用解析法分析直线与曲线的交点，解题时均需有序过程，把握要点. 第一步，读题审题，理解题意;第二步，把握特征，有序思考;第三步，把握关键点，合理作图;第四步，数形结合，转化破题. 下面结合一道简单的例题来探究解题过程.

例1 在平面直角坐标系xOy中，已知点P为抛物线y=x2上的一个动点，若点A的坐标为（4，2），且满足∠AOP=45°，则点P的坐标为______.

分析 本题探究的是∠AOP=45°时点P的坐标，可按照上述的步骤逐步构建思路.

第一步，读题审题，理解题意. 本题的核心条件有两个：一是点A的坐标为（4，2）和抛物线的解析式为y=x2;二是∠AOP=45°.

第二步，把握特征，有序思考. 点A为定点，点P为动点，可知在射线OA上方的抛物线上有满足条件的点P，即在抛物线上存在点P使得∠AOP=45°.

第三步，把握关键点，合理作图. 求点P的坐标，可充分利用条件∠AOP=45°，将其放置在直角三角形中，以点A为直角顶点构造直角三角形.

第四步，数形结合，转化破题. 利用直角三角形的性质求解线段长，推导直线OP上其他点的坐标，同时可将所得的结果代入图形，分析其是否合理，还要结合图形分析是否存在其他情形.

评析 以二次函数作为背景探究特定角是否存在，涉及了直线旋转，解析时需要充分利用旋转的条件推导角度，所呈现的两种解法各具代表性和优势. 函数解析法注重直线斜率与角度正切值的关系，利用直线与函数曲线相交来求解点的坐标;几何模型法则注重几何模型的构建，利用几何性质来推导线段的长，进而确定点的坐标. 整体上都采用了“假设—验证”的思路，顺推解析，相悖否定.

总结反思

二次函数中的角度存在性问题具有两大特征：一是以二次函数为背景，具有函数属性，利用函数的性質可推导点的坐标，研究最值;二是同几何图形相结合，几何属性显著，常依托函数曲线上的关键点构建几何模型，可利用几何性质求解线段长. 从问题属性的角度探究解法，可生成函数分析和几何分析两大突破思路，下面就此提出两点教学建议.

建议1：把握问题本质，总结转化策略. 二次函数中的角度存在性问题的本质是函数曲线与几何模型的性质和特征的综合，教学探究时要引导学生关注问题的本质、属性，掌握常见的转化策略. 引导学生从几何视角构建模型，探究角度与边长的联系;从函数视角分析直线斜率与角度的关联，通过曲线与直线相交来定位关键点;同时应注重常见模型的归纳和总结，培养模型解题的良好习惯.

建议2：领悟数学思想，构建解析思路. 角度存在性问题的解析过程实则是思想和方法综合运用的过程，其中隐含了众多的数学思想：作图建模隐含了建模思想，条件转化隐含了化归与转化思想，条件讨论隐含了分类讨论思想……无论是从图形的角度进行分析，还是从函数的角度进行突破，均隐含了数形结合思想. 实际教学中建议立足数学思想开展问题探讨，提升学生解题能力的同时培养学生的核心素养.

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