关于勾股定理与网格图形的问题探究

朱继娜

[摘  要] 勾股定理在网格问题中有着广泛的应用，可用于线段及距离的推导，也可用于图形设计及点的位置确定. 网格与勾股定理问题的形式较为多样，问题突破要充分利用勾股定理的特征，建立起格点、距离或线段、图形形状三者之间的关聯.

[关键词] 勾股定理;网格;三角函数;形状判断;作图设计

网格问题因其独特的形式一直都是中考的常考题型，网格所具有的几何特性及长度信息是问题突破的关键. 勾股定理作为中学数学极为重要的定理，可与网格完美融合. 网格与勾股定理问题不仅有着新颖的外表，而且其隐含的建模方法和转化策略还具有极高的研究价值.

问题导入

问题：如图1所示，已知网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点位于格点处，且CD⊥AB，垂足为点D，则CD=__________.

总结拓展

上述以网格为背景求线段长，其中勾股定理是求线段长的核心定理，故可将其归为网格图形与勾股定理问题. 网格特性是突破的关键，下面总结方法，探索问题的拓展方向.

方法点睛：对于其中的线段或距离问题，需要充分结合网格性质与长度关系，参考上述问题的构建思路，总结如下转化策略.

策略1：求网格图中的斜线段，若线段端点均在格点上，则可视为是某直角三角形的斜边，可通过勾股定理求斜线段的长. 如图3中的斜线段AB，可直接构造Rt△ABC.

问题拓展：网格与勾股定理是中考的重点考查内容，问题的构建形式极为多样，常见形式有如下几种：①把握三角函数与直角三角形的关系，求网格中的三角函数值;②基于勾股定理与作图方法，开展构图设计;③基于勾股定理的逆定理，进行三角形形状判断或角度推导.

拓展探究

网格与勾股定理具有良好的契合性，问题形式虽变化繁多，但其核心知识、破题方法是一致的，实际解题时可把握网格特性，从勾股定理出发来逐步推导，下面举例探究.

1. 网格中求三角函数值

初中阶段常将三角函数放置于直角三角形中，利用三角形的边长比例来求三角函数值. 对于网格中的线段长，则可利用勾股定理来求解.

例1 如图4所示，已知网格中所有小正方形的边长均为1，点A，B，C均位于网格的格点处，则∠ABC的余弦值为____.

评析 本题以网格为背景求角的余弦值，显然构造直角三角形是解题的关键，而利用勾股定理求线段长是重要的方法. 题目中角的顶点在格点处，故可直接构造直角三角形求解. 对于不处于格点处的角，则可以采用等角转化的方式求解. 同时等面积法也是求线段长的重要方法，需重点掌握.

2. 网格中的作图设计

在网格中作图设计是初中几何常见的考查方式，也是量化图形的重要手段，有利于帮助学生建立几何与代数之间的关联. 作图设计中同样可充分利用勾股定理来计算线段长，建立线段之间的平行、垂直关系.

例2 ？摇如图5所示，正方形网格的每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点均为“格点”，下面以格点为顶点分别按要求作图.

（1）作出钝角三角形，且使其面积为4，并计算作出的三角形的三边长;

（2）作出面积为10的正方形;

评析 上述为网格作图题，其中第（1）问和第（2）问为限定面积条件下的绘制图形. 由于图形的顶点需位于格点处，故由面积公式将几何面积条件转化为格点间距是突破的关键，而勾股定理有助于格点间斜直线的长度推导.

3. 网格中图形特征判断

网格三角形的特征判断是常见的问题类型，利用勾股定理的逆定理可以推断三角形是否为直角三角形. 基本策略是依次计算边长的平方，分析是否满足勾股定理即可，同时利用该判定思路可确定三角形是否为锐角或钝角三角形.

例3 如图9所示，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，且△ABC的顶点均位于网格的格点上，回答下列问题.

评析 上述第（1）问为三角形形状判断题，其考查的核心是勾股定理的逆定理，满足该定理的三角形就为直角三角形. 实际上对于其他情形的判断，可参考如下思路：第一步，确定最长边;第二步，关系比较. 假设BC为最长边，若AB2+AC2<BC2，则△ABC为钝角三角形;若AB2+AC2>BC2，则△ABC为锐角三角形.

总结思考

勾股定理与网格在几何中可充分融合，这点在正方形网格中体现得尤为突出，利用勾股定理可求线段长、确定图形格点位置、判断三角形的形状等. 在解题探究时，我们需要关注以下两点.

1. 关注转化策略，总结转化思路

网格与勾股定理问题的命题形式较为多样，但最终均要归结为求线段长与距离，故解析探究时需要关注其转化策略，总结转化思路. 如利用勾股定理求斜格点之间的距离，通过计算三边长是否满足勾股定理来判断三角形的形状;同时利用勾股定理可实现线段的等量转化，判断线段之间的长度关系. 而在实际教学中，教师要引导学生从几何视角来看待网格，提取网格中的特殊图形，建立图形特性与几何定理之间的关联.

2. 关注数学思想，提升综合素养

网格与勾股定理问题中涉及众多的思想方法，掌握思想方法，提升作图能力对于解题十分关键. 如利用割补思想来求面积最值，利用转化思想来求线段长，利用建模技巧来绘制图形等，其中的建模思想、转化思想可培养学生的数学思维. 教学中，教师要从思想上引导学生探索问题，思考构建策略，尤其是作图问题中，可基于面积公式将面积转化为线段长，利用勾股定理将边长转化为格点位置的判断. 必要时，教师可开展多解研究或变式探究，充分拓展学生的思维，提升学生的数学素养.

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