关注探究环节，模型转化破题

薛丽萍

[摘  要] 关注几何模型，利用性质定理进行转化，是破解几何题的重要策略，同样适用于几何探究题. 探究型问题往往侧重于考查知识探究、思路构建的过程. 实际解析时要关注图像特征，合理类比，充分利用模型特性. 文章以一道几何探究题为例开展解题探究，并深入反思.

[关键词] 几何;三垂直;模型;结论;相似三角形

几何是初中数学的重要知识模块，几何问题中常融合模型探究的几何结论，因此掌握模型特点，活用模型特性，有助于获得解题思路. 下面以一道几何探究题为例，深入分析破题过程.

问题探究

【应用尝试】 在“问题初探”的基础上作图，过点B作AD的垂线，与AD的交点设为G，与AC的交点设为F，如图2所示，试证明AE2=AF·AC.

【创新拓展】 对“应用尝试”中的等腰直角三角形进行修改，如图3所示，∠BAC=90°，∠ABC=30°，其他条件不变，试探究AE，AF，AC三条线段之间的关系.

【极限挑战】 将“创新拓展”中的直角三角形改为∠BAC=90°，其他条件不变，如图4所示，再次探究AE，AF，AC三条线段之间的关系.

解析突破

上述是一道几何探究题，按照“问题初探→应用尝试→创新拓展→极限挑战”设计四个环节的问题，旨在引导学生发现问题、总结应用、拓展探究，拓宽解题思路，促进学生思维的发展. 下面逐问探究.

1. 初步探究

“问题初探”环节设定△ABC并交叉連线，整体来看，是三角形内的交叉图形，线段比值所涉两条线段均未知，可利用平行线分线段成比例定理，结合“A字形”“8字形”相似模型来转化. 本问题属于基础问题，构造平行线的方法较为多样，下面举例探究.

评析 上述呈现的两种解法的核心思想是一致的，即通过作平行线，利用平行线分线段成比例来转化线段关系. 解法1和解法2中所构造的“A字形“和”8字形“相似模型是线段比例关系转化的基础. 实际解析时需要注意两点：一是合理选取平行对象，尽量不去截取问题所涉线段;二是合理利用相似模型来转化线段比例关系.

2. 应用尝试

“应用尝试”环节是在上一问基础上的进一步探究应用，即在原图上作了垂线，需要求证线段关系. 根据结论的形式可知需要借助相似三角形的性质. 已知△ABC为等腰直角三角形，AE∶AC=1∶2，BF⊥AD，可见与矩形内的十字架结构相关，可构造“三垂直”模型来转化条件，具体如下.

过点C作AC的垂线，设与AD的延长线交于点H. 已知AB=AC，可证△BAF≌△ACH（“三垂直”模型），△PAE∽△PHC（“8字形”相似模型）. 由“问题初探”可知EP∶CP=2∶1，所以AE∶HC=2∶1. 可设CH=a，则AF=a，AE=2a，可推知AB=AC=4a，则（2a）2=a·4a，所以AE2=AF·AC，得证.

评析 在图中构造“三垂直”模型是突破的关键，题中图形结构较为抽象，不容易发现模型，此时就可以将Rt△ABC补全，构建相应的正方形，如图7所示. 很明显，题干的核心条件“BF⊥AD”使得正方形中呈现出“三垂直”全等模型，因此解题探究要注重补形思想的培养.

3. 创新拓展

“创新拓展”环节是从几何视角进行的拓展创新，再次探究AE，AF，AC三条线段之间的关系，同样可将其放置在相应的三角形中，利用本题的主题“相似转化”来进行突破，作图解法过程如下.

评析 本环节突破的关键同样是构造“三垂直”模型，利用模型来推导相似三角形. 与前两个环节关联思考可知，问题解析有两大策略：一是过顶点C作AB的平行线来构造“三垂直”模型，二是利用相似性质探索线段关系. 这也是突破该题的核心策略，后续探究可直接从模型构造、相似转化的视角进行思考.

4. 极限挑战

该环节进一步对题干信息进行了修改，删去了“创新拓展”中的“∠ABC=30°”，则△ABC不再是含有30°角的直角三角形，故无法从三角形的边长比例关系来突破，问题更具有一般性. 此时可同样猜想AE，AF，AC三条线段具有“AE2=AF·AC”的关系. 探索问题本质可知，实际上该环节是探究直角三角形的锐角对线段比例结论的影响. 问题突破沿用上述的“模型构造，相似转化”策略，过程如下.

评析 上述“极限挑战”环节的三角形更具一般性，回归几何本身，解析的方法思路是一致的，即可通过构造“三垂直”模型，利用相似性质来证明线段比例结论. 对于Rt△ABC，由于∠BAC=90°，结合圆周角定理的推论可知点A在以BC为直径的圆上.

解后反思

上述对一道几何探究题进行了解析突破，探究题共分四个环节，设置了四问，问题所涉知识点、方法的内涵丰富，所呈现的四个环节充分体现了数学的探究精髓. 问题图像立足数学模型，但不局限于模型，解析过程突破了定式思维，对结论进行了一般化拓展. 下面深入反思.

1. 关于问题的模型思考

问题突破的核心是几何模型，包括“三垂直”模型和“A字形”相似模型、“8字形”相似模型. 其中“三垂直”模型为两个直角三角形的一组顶点对接，一组边共线，形成了相夹三角形，从而出现三个直角三角形，且互为相似关系. 若三角形中存在一组对应边相等，则可形成“三全等模型”. “A字形”和“8字形”相似模型是基于位置关系生成的模型，其中“A字形”从整体上可视为两个三角形的套叠，而“8字形”则是对顶角对接. 探究学习需要关注模型特点，总结模型特征，掌握模型的识别方法.

2. 关于问题的思路分析

上述探究线段的乘积关系可归为线段关系问题，是几何探究的常见问题形式，解析时充分利用相似模型的边长比例关系来进行转化. 实际上几何线段关系问题的类型较为多样，还存在线段和差关系、线段倍分关系、线段乘方和关系等，问题解析要从几何定理入手，结合结论的形式来逐步转化突破. 以线段和差关系问题为例，“全等转化”是解析的基本思想，常采用“截长补短”的策略;对于线段倍分关系问题，其本质是比例线段问题，可通过探究三角形的相似比或全等关系来解决;而线段乘方和关系问题，从结论形式来看显然要立足勾股定理，故需要构造直角三角形，利用直角三角形之间的关系来转化构建.

3. 关于问题的命题构建思考

几何探究题最显著的特点是侧重“探究”，问题设置层层递进，逐步深入，体现出知识探究的全过程. 教学探究题的精髓在于引导学生由“特殊”到“一般”，逐步向数学本质靠近. 以本问题为例，其核心结论是三条线段之间的数量关系，图形由“特殊”的直角三角形，逐步过渡到“一般”的锐角三角形，深刻反映出三条线段的数量关系与直角三角形的内角无关. 从解题过程来看，可将其视为是关于解题思路的类比探究，即通过构造“三垂直”模型，利用相似转化来证明. 而类比型探究题还包括模型类比、结论类比、建模类比等，实际探究时要充分把握问题的前后关联，思考可类比的内容，简化解题思路，同时注意总结思考，生成数学解题的基本策略.

写在最后

几何探究题具有极高的研究价值，不仅体现在问题的作图方法、构建思路，问题的转化思想、破题策略对于后续解题探究也有极大的帮助. 而在解题教学中，教师要注重研究几何模型，提炼核心思想，合理类比探究，帮助学生形成对应的解题策略.

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