关于几何“新定义”问题的探究思考

韦建忠

[摘  要] 几何新定义问题的解析过程较为特殊，需要立足题干的“新定义”，结合教材的相关内容来突破. 分析问题特点，总结破题方法是探究的重点. 文章将结合问题深入探究，并提出相应的教学建议，与读者交流.

[关键词] 新定义;几何;特性;模型;思想方法

问题概述

中考几何新定义问题十分常见，“新定义”问题主要指定义了教材中没有的概念，不具有普遍适用性，是基于特定情形下的设定. 问题往往要求学生临场理解新定义的含义，并结合知识解决问题. 几何新定义问题的题型大体可分三类：定义新图形、定义新关系、定义新方法. 几何新定义问题主要考查学生的阅读理解、联系建立、分析解决的能力，对培养学生的创新探究能力有一定的帮助.

几何新定义问题往往会设置多问，给出新定义后，会引导学生从特殊到一般，逐步探究，问题各自独立，又环环相扣. 通常前一问是后一问的铺垫，而后一问是在前一问基础上的深入，故问题探究建议采用类比关联的方法，结合总结的方法、思路來不断探究，同时立足问题不断反思，形成系统的解题策略.

问题探究

下面以一道新图形定义问题为例，开展解题探究，构建解题思路.

操作1：将正方形ABEF沿着过点A的直线进行折叠，使得折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH;

解后思考

上述对一道几何图形新定义问题进行了探究，从定义内容可知，其实质是对矩形长宽比进行定义，后续再以该定义为背景进行命题构建. 所涉两问是基于定义进行的深入探究，但侧重点有所不同，第（1）问综合了图形折叠，从操作视角来考查学生的探究能力;第（2）问则是以新定义的矩形为背景进行的综合探究. 问题设计很好地将新定义与几何探究相融合，可有效提升学生的探究能力，下面结合问题进一步反思.

1. 操作中的几何探究

2. 新定义下的模型构建

第（2）问则是以新定义矩形为背景开展的综合探究，所涉三问可归为三角函数构建和几何最值构建. 从几何探究视角来看，化“动”为“静”、几何转化是常用策略，综合上述解题过程，可将解题思路分为模型构建、特性转化两部分，新定义矩形的特性是模型构建的基础. 上述的“A字型”和“8字型”相似模型是等角转化、线段比例关系转化的常用模型，另外“手拉手”模型、“一线三等角”也是常用的相似模型. 而几何最值问题的核心原理是“两点之间，线段最短”，以其为基础生成的“共线原理”是确定最值情形的知识基础.

3. 新定义问题的破题思路

上述对一道关于矩形边长比例的新定义问题进行了探究，矩形的新定义在几何探究中起到了“穿针引线”的作用，构建起几何特性与模型之间的关联. 理解新定义，根据定义内容进行探究分析是突破该类问题的核心思路，而在实际解题时建议采用如下分步策略.

第一步，结合图形理解定义，重点关注定义中的特性;

第二步，立足特殊情形深刻把握定义，探索定义的应用思路;

第三步，构建新定义与教材内容的关联，从综合视角探索问题，构建思路，必要时可将定义与几何模型相融合.

教学建议

几何新定义探究题的特点是“新定义”，但从本质上来讲是对几何方法、原理的探究，理解定义，促进知识融合，构建几何模型是问题突破的关键点，下面提出几点教学建议.

1. 结合图形研究定义

几何新定义问题的探究要从图形出发，即结合图形来理解定义，把握定义中的特性. 如上述与矩形相关的新定义涉及了矩形特性和长宽比例，常见的还包括与角度、边长、性质相关的几何新定义. 对于较为抽象的几何新定义，更应立足几何图形，利用直观图形来解读定义内容. 必要时可引导学生对特殊情形进行举例，加深对定义的理解.

2. 参考教材促进融合

知识相融、综合探究是新定义问题考查的重点，也是突破的关键. 解析时要将新定义与教材的方法原理、概念公式相融合，综合构建思路，而不是孤立地、简单地依靠新定义来分析求解. 几何新定义往往是基于教材概念生成的特殊定义，如上述矩形仅是对矩形的长宽比例进行了定义，其基本性质不变，故问题解析时要把握定义核心，从教材知识出发来探究. 教学中建议指导学生理解“新定义”的本质，引导学生关联思考，探索与教材相关的知识点;也可引导学生拆解“新定义”，从定义中提取知识要点.

3. 渗透思想提升素养

“新定义”问题中往往融合了数学思想，以几何定义为例，其涉及了数形结合思想、分类讨论思想、模型思想、化归与转化思想等. 解题时要基于数学思想开展思路探究，如求解上述问题时基于数形结合思想理解定义，利用模型思想构建几何模型，结合化归思想转化条件，因此在探究过程中渗透数学思想是精髓，也是提升学生数学素养的重要方式. 教学中建议引导学生立足数学思想开展几何探究，深入分析每一步构建所依托的数学思想，关注学生的知识与素养的双重提升.

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