数学建模复习教学探析

刘兴安

[摘  要] 概述数学建模的概念与价值，提出数学建模专题复习的教学策略，以使学生在操作体会的基础上，总结数学建模的一般步骤，并迁移应用在其他问题上，进而发展学生的数学核心素养.

[关键词] 数学建模;复习教学;初中数学

数学核心素养包括数学抽象、数学建模、数学运算等六大核心素养. 其中数学建模是中心，其是联系数学与外部世界的桥梁，也是运用数学的思维方式解决实际问题的重要工具.笔者尝试在学生操作体会的基础上，总结数学建模的一般步骤，并迁移应用在其他问题上，进而发展学生的数学核心素养.

数学建模的概念与价值

数学建模是指抽象现实问题，用数学语言表达，然后运用解方程、解不等式或函数的性质进行研究，得到数学问题的结论，最后用数学问题的结论解释实际问题，从而得到实际问题的结果[1].

数学建模的操作步骤：（1）分析现实问题;（2）根据现实问题的特征选择合适的数学模型;（3）应用数学中的定理、性质或法则等解答数学模型;（4）以数学模型的答案解释实际问题得到现实问题的解，如图1.

数学建模的价值：学习数学建模，可使学生认识到数学的应用价值，发展学生数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等核心素养，在分析问题与解决问题的过程实现数学的教育价值.

教学目标及解析

（1）教学目标：①通过具体实例，经历建立方程、不等式、函数模型的过程;②总结归纳建立方程、函数、不等式模型的一般过程，得到数学建模的一般步骤，感受数学建模的价值;③应用抽象出的数学建模的方法步骤解决新问题.

（2）教学目标解析：①完成第一个教学目标的标志是：在实际问题中，学生能够通过自主学习，发现方程、不等式、函数模型;②完成第二个教学目标的标志是：学生能够对数学建模解决现实问题的过程进行反思，总结得出数学建模的操作要领，深化学生对数学建模的认识;③完成第三个教学目标的标志是：在巩固训练中，学生能够自主运用数学建模解决问题[2].

教学问题诊断分析

（1）学生原有的基础：学生已经掌握了三种函数的概念、图像及性质，掌握了四种方程的概念、解法及应用，掌握了不等式的概念、解法及应用，对数学建模有了初步理解.

（2）存在困难：学生对数学建模的经验是零散的，没有形成体系，没有掌握其操作要领，没有应用数学建模解决问题的意识，什么情况下选择什么样的数学模型，学生没有认识.

（3）教学难点：根据现实问题选择合适的数学模型解决问题，突破难点的方法是以具体问题为背景，体会数学建模的价值，总结数学建模的方法和步骤，并通过适当的训练加以巩固.

数学建模专题复习的教学策略

1. 反思解决具体问题的过程，感受数学建模的思想和方法

案例1  由于新冠肺炎疫情暴发，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的空气净化器，每台A型净化器比每台B型净化器进价多200元，用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等.

（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少元.

（2）公司计划购进A，B两种型号的净化器共50台进行试销，其中A型净化器为m台，购买资金不超过9.8万元. 试销时A型净化器每台售价2500元，B型净化器每台售价2180元. 公司决定从销售A型净化器的利润中按每台捐献75元作为公司帮扶疫区贫困居民，设公司售完50台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为w，求w的最大值.

分析  （1）设每台B型净化器的进價是x元，则每台A型净化器的进价是（x+200）元，依题意得=，解得x=1800.经检验，x=1800是原方程的解，且符合题意，所以x+200=2000. 答：每台A型净化器的进价是2000元，每台B型净化器的进价是1800元.

（2）因为购进A型净化器m台，所以购进B型净化器（50-m）台，又购买资金不超过9.8万元，所以2000m+1800（50-m）≤98000，所以m≤40. 依题意，获得的利润w=（2500-2000-75）m+（2180-1800）（50-m）=45m+19000. 因为45>0，所以w随m的增大而增大，所以当m=40时，w取得最大值，最大值是45×40+19000=20800. 答：w的最大值为20800元.

设计意图  原题叙述中存在等量关系，即“用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等”，应建立方程模型求未知数;在第二小题的题意中有不等关系，即“购买资金不超过9.8万元”，应建立不等式的模型求参数m的取值范围;求利润的最大值，应建立函数关系利用函数的增减性解决，其是建立函数模型的标志性信息.

2. 通过归纳推广，抽象数学建模的一般思想和方法

让学生分别回顾并反思建立方程模型、建立不等式模型、建立函数模型解决问题的过程，如图2、图3、图4所示，引导学生总结归纳共性，最后得到数学建模的一般操作步骤.即首先要分拣出相关的量，分析相关量之间的数量关系;然后选择数学模型，并根据数量关系建立模型，从而转化为数学问题;最后解方程或不等式，化简函数解析式，利用函数性质解答，从而得到实际问题的答案. 其关键步骤是：分析相关量之间的数量关系，选择数学模型[3].

3. 在迁移应用中，巩固数学建模的数学思想

案例2  如图5，在一平直的河岸l同侧有A，B两村. A村位于河流l正南4 km，B村位于A村东8 km南7 km处. 现要在河岸边建一水厂C为两村供水，要求管道长度最少，请你确定选址方案，并求出所需最短管道的长度.

分析  第一步，分析问题的构成要素.即在已知直线l的同侧有两个固定点A，B，其目的是在已知直线上找一点C，使它们构成的单向线段和最小，这里需要把两个村庄抽象为两个点，把河流抽象为直线，这样就把实际问题转化为数学问题了.

第二步，此问题应分成两种情况加以研究，即A，B之间有线段连接时，包括两种情况：第一种，如图6所示，显然图6的第二个图管道长度比较长，应舍去. 图6中第一个图的管道长度计算如下：连接AB，过A作AC1⊥l于C1，则C1即为水厂地址;过B作BD⊥AC1交C1A的延长线于D，则AD=7 km，BD=8 km，AC1=4 km，所以AB==（km），所以所需管道的长度是AC1+AB=（4+） km. 第二种情况是在A，B之间没有线段相连时，如图7所示，作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于C2，则C2即为水厂地址. 过B作BD⊥AA′交A′A的延长线于D，则A′D=15 km，BD=8 km，所以所需管道的长度是A′B==17 km.综上所述，所需最短管道的长度是（4+） km.

设计意图  迁移应用属于高阶思维能力，从方程、不等式、函数模型，应用几何模型解决了现实问题，巩固了数学建模的数学思想.在先分类再整合的过程中，学生积累了分析问题、解决问题的经验，应用总结出的数学建模的思想和方法解决了新问题，实现了数学建模思想的迁移，拓宽了数学建模的应用领域.

总之，培养学生的数学建模素养，能够让学生体会数学的实用价值，激发学生的学习数学的内驱力，提高学生思维的灵活性，提升学生发现问题与解决问题的能力.

参考文献：

[1]邱宗如. 初中数学模型思想的教学实践与思考[J]. 福建中学数学，2020（08）.

[2]吴香秀. 培养数学建模能力  落实数学核心素养[J]. 初中数学教与学，2020（10）.

[3]王秀秀，董磊，陈棉驹. 初中数学模型思想方法的内涵及教学分析[J]. 中学数学教学参考，2019（11）.

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