走进抛物线：问题突破与反思探讨

季彬

[摘  要] 以抛物线为背景的综合题具有知识点多、形式多样、图像复杂等特点，在解题探究过程中要注重思维过程、方法构建以及解题反思. 文章将以一道抛物线综合题为例进行问题探究、解后反思，并提出教学建议，以期与读者交流分享.

[关键词] 抛物线;三角形;相似;面积;变式;反思

问题探究

1. 问题呈现

问题：在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式为y=-x2+bx+3，与坐标x轴相交于点A和B，与坐标y轴交于点C，且抛物线的对称轴为x=-2，点P（0，t）是y轴上的一个动点.

（1）求抛物线的解析式，以及顶点D的坐标;

（2）如图1所示，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式;S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值.

（3）如图2所示，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，请求出点P的坐标;若不相似，请说明理由.

2. 思路突破

分析：第（1）问为传统的抛物线基础知识问题，由抛物线的解析式即可表示出对称轴，构建条件列方程即可求出b值，对抛物线解析式进行配方变形即可求出顶点D的坐标.

第（2）问为抛物线中图形的面积问题，所涉三角形的形状一般，可通过面积割补的方法构建模型，再利用函数性质求出面积最小值.

第（3）问的难度较大，解析三角形相似可采用“点坐标推导——性质验证”的思路.

解后反思

上述为二次函数综合题，考查了二次函数的性质、三角形的面积公式、三角形相似等知识. 深刻理解题干条件，把握图像特征，数形结合构建解题思路是关键. 考题的难度相对不大，在完成解析时有必要关注以下几点.

1. 关注考题的关键点

考题的后两问是核心之问，其中第（2）问主要考查抛物线中三角形面积的构建方式. 本题采用了常见的面积割补法，用梯形和特殊三角形的面积表示△ADP的面积是解题的关键. 而抛物线中常见的三角形可分为三类：一是特殊的三角形，如等腰三角形、直角三角形，可直接利用三角形的特征来构建面积模型;二是位置特殊的三角形，如三角形的三边中存在与坐标轴相平行的边，此时就可以该边为底构建面积模型;三是上述的一般三角形，通常采用面积割补法，但对于上述问题还可以采用面积铅垂法，即过点D作铅垂线，由铅垂高和底来构建面积模型.

第（3）问考查了抛物线中相似关系的构建，上述问题的难点是判断出点P为BD与y轴的交点，进而基于判定定理“两条线段对应成比例且夹角相等，则两个三角形相似”来构建思路，把握三角形的特殊角，利用中位线的性质确定点坐标. 该问题可归为三角形相似问题，实际上抛物线背景中的三角形相似问题还有如下解法：方法1，基于定理“两角对应相等的两个三角形为相似三角形”构建思路，解析时重点探索问题中的角度大小，可充分利用三角形全等性质、平行线性质以及直线斜率与角度的关系等;方法2，基于定理“三边对应成比例，则两个三角形相似”构建思路，解析的重点是探究所涉三角形的边长，可充分利用勾股定理、两点之间的距离公式等.

2. 关注考题变式方向

函数综合题的难点在于所涉知识点众多，尤其是综合性极强的函数与几何综合题，图像错综复杂，设问形式多样. 在完成解题探究后，有必要對考题进行变式探究，思考问题的变式方向，全方位地探讨问题，提升学生解题的灵活性. 上述考题有如下几种变式思路，下面具体探究.

第（1）问考查了待定系数法求抛物线解析式及配方法变形解析式，在实际考查时，常综合抛物线和x轴的交点与方程的根的联系来考查学生的能力. 对于该问，可将问题变为：已知抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，与x轴的交点分别为点A（-6，0），B（2，0），与y轴的交点为C（0，3），试求抛物线的解析式. 解题时可直接将解析式设为y=a（x+6）（x-2），代入点C的坐标，即可求出a的值，整理可得抛物线的解析式.

第（2）问探究三角形面积的最值. 对于该问，还可以逆向变式或关联变式，具体如下.

变式1：点P（0，t）是y轴上的一个动点，设△PAD的面积为S，若S的取值范围为0≤S≤4，试求t的取值范围. 解析时同样需要构建三角形的面积模型，然后根据S的取值分析t的取值.

变式2：已知当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S1，△PAO的面积为S2，试求S1取得最小值时S2的值. 问题解析与原题一致，可直接求出△PAD面积最小时点P的坐标，由于△PAO为直角三角形，利用面积公式即可求出S2的值.

第（3）问考查三角形相似关系，可归为三角形相似存在性问题，其中设定了直角，若将该条件去掉，则问题变为：当点P运动时，能否使△ADP与△AOC相似？若相似，请求出点P的坐标;若不相似，请说明理由. 问题解析时需要关注三角形的相似对应关系，由于△AOC为直角三角形，则需要探讨△ADP为直角三角形时的三种情形，从而逐个排除，确定最终解.

教学建议

1. 细致构图，斟酌探“路”

数形结合是解析函数综合题的常用方法，利用该方法进行解析的重点有两个：一是结合条件理解图像，根据特性，细致作图，完善图像;二是结合图像的性质特征，挖掘隐含信息，利用直观图像深入思考，探究思路. 因此，在实际教学中教师要引导学生重视读图，让学生掌握读图的方法，借助语言转化来提升学生的信息提取能力，如利用文字语言描述几何关系，根据几何关系绘制直观图像. 同时，教师还要强化学生的数形转化能力，如由直角三角形构建三边关系，利用相似对应关系构建线段比例，基于垂直平分线探索中点坐标等.

2. 深入反思，方法积累

解后反思是解题探究的关键一环，通过对考题特征、关键点、思路、解法的反思来提升学生的解题能力. 反思阶段要关注考题的特征条件、问题突破的关键点、常用的转化思路以及可以采用的解法，必要时可进行多解探究、类题剖析，引导学生站在解题的高观点处来思考解法的合理性及思路的简捷性. 如在上述考题中，笔者总结了抛物线中常见三角形的结构特点和位置特点，并给出了相应的建模思路. 教学中帮助学生积累解题经验、基本问题的常见解法，可有效提高学生的解题效率，使学生从根本上获得解题能力的提升.

3. 变式探究，专题教学

在解题探究过程中，教师要注重提升学生解题的灵活性，拓展学生的解题思维，使学生获得“解一题，通类题”的能力，这就需要教师在教学中侧重问题的变式探究，即基于考题进行变式分析，思考问题的变式方向、解题方法的异同. 在实际教学中，教师可基于类型考题开展“一题一课”，注重预设环节的师生互动，以学生为主体，设置互动式问题，引导学生基于考题进行变式衍生，总结变式问题的特征及解法，让学生在变式对话中形成独立的数学思维，促进学生综合素质的提升.

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