2020年复旦大学强基计划数学试题及其详解

甘志国

(北京市丰台二中 100071)

试题及其解答是笔者由华清园教育(http://gk.qhyedu.com/qhy/20200714/98185.html)等公开的内容整理而成的.

1.已知直线m:xcosα-y=0和直线n:3x+y-c=0，则( ).

A.m和n可能重合

B.m和n不可能垂直

C.直线m上存在点P，使得直线n绕点P旋转后与直线m重合

D.以上都不对

2.Given two sets A:{1,2,3,4,5} and B:{3,4,5,6,7}，then the intersection set ofAandBis( ).

A.{1,2} B.{3,4,5}

C.{1,2,3,4,5,6,7} D.{6,7}

3.若实数x,y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2最小值为____.

5.Which number that number 5 is the cubic root of ?

A.3 B.5 C.25 D.125

7.已知抛物线x=3y2的焦点为F，若该抛物线在点A处的切线与直线AF的夹角为30°，则点A的横坐标为____.

12.在△ABC中，已知AB=9,BC=6,CA=7,则BC边上中线长为____.

14. 若关于x的实系数一元三次方程x3+ax2+4x+5=0有一个根是纯虚数，则a=____.

A.0 B.1 C.-1 D.与a有关

图1

18.如图1所示，在凸四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC是∠DAC=∠DBC的____.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

19.如图2所示，平面内两条直线l1,l2交于点O，M为该平面内的任意一点.若点M到直线l1,l2的距离分别为p,q，则称(p,q)是点M的“距离坐标”.p,q是已知的非负常数，给出下列三个结论：

图2

(1)若p=q=0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；

(2)若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有2个；

(3)若pq≠0，则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有4个.

其中正确结论的个数是____.

A.0 B.1 C.2 D.3

20.若函数f(x)=3x-3-x的反函数为y=f-1(x)，则g(x)=f-1(x-1)+1在[-3,5]上的最大值和最小值的和为____.

A.0 B.1 C.2 D.4

21.若k>4，则直线kx-2y-2k+8=0与2x+k2y-4k2-4=0与两条坐标轴围成的四边形面积的取值范围是____.

图3

22.如图3所示，已知A,B,C,D四点共圆，且AB=1,CD=2,AD=4,BC=5,则PA=____.

A.8 B.7 C.6 D.6或7

24.给定5个函数，其中3个是奇函数但不是偶函数，2个是偶函数但不是奇函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数又有偶函数的概率为____.

25.方程5ρcosθ=4ρ+3ρcos2θ所表示的曲线形状是____.

26.在平面直角坐标系xOy中，把点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60°，所得的点的坐标为____.

27.已知实数x,y满足x2+y2=1，若|x+2y-a|+|a+6-x-2y|的值与x,y的取值无关，则a的取值范围是____.

图4

28.某公司安排甲、乙、丙等7人完成除夕到大年初六共7天的值班任务，每人值班一天.已知甲不值第一天，乙不值第二天，甲和丙在相邻两天值班，则不同的安排方式共有____种.

29.若函数f(x)的图象如图4所示，则函数f(f(x))的图象大致为____.

29.解法1 B.设g(x)=f(f(x)).由f(x)的图象关于y轴对称不关于坐标原点对称，可得f(x)是偶函数不是奇函数，所以可得g(x)也是偶函数不是奇函数，从而可排除选项A,D.

可得g(1)=f(f(1))=f(0)=-1<0，可排除选项C.

31.方程3x+4y+12z=2020的自然数解的组数为____.

32.已知m,n∈Z，且0≤n≤11.若22020+32021=12m+n，则n=____.

A.4 B.7 C.10 D.13

33.下列不等式恒成立的是 ( ).

参考答案