换一个视角看向量法求二面角问题的新思路

付宏祥

(甘肃省定西市安定区东方红中学 743000)

二面角的求解是高考命题中常出现的问题．空间向量的引入，利用平面的法向量的夹角来度量二面角的大小，对二面角的大小求解带来了很大的方便，不失为一个好方法．但两个法向量均指向二面角的内部或外部，则法向量的夹角等于二面角的平面角的补角；两个法向量中一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则法向量的夹角等于二面角的平面角，需在写出二面角的平面角的大小前做出判断后进行准确回答．当二面角接近直角或不宜观察时，要判断二面角的大小范围就有一定的难度了．

我们能不能在求解二面角的平面角大小时避免判断直接将问题解决呢？实质上只需回归二面角的平面角定义，分别在两半平面内寻找从棱出发垂直棱的向量m、n(如图1)，则两向量m、n的夹角即为所求二面角的平面角．向量m、n的得到可以借助共线向量基本定理，即向量共线的充要条件：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb来求解向量，使得问题完美解决．下面结合2018、2019年北京卷理科两道高考试题谈谈问题解决的具体过程．

(1)求证：AC⊥平面BEF；

(2)求二面角B-CD-C1的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交．

解析(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形．

又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF．

因为AB=BC，所以AC⊥BE．

因为EF∩BE=E，所以AC⊥平面BEF．

(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．

又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC．因为BE⊂平面ABC，所以EF⊥BE．如图3建立空间直角坐标系E-xyz．

(3)略．

注：该题第(2)问利用法向量求二面角B-CD-C1的余弦值时，需结合实际判断该二面角为钝角，才能准确表达出二面角的余弦值，但若采用在二面角半平面内选择适当的向量既能简化运算，又能准确表示二面角的大小，避免了运用平面法向量求解二面角的大小时判断二面角的环节，使得问题快速准确的解决．

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

解析(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．

又因为AD⊥CD，且PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD．

(2)过A作AD的垂线交BC于点M．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如图5建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,-1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．

(3)略．

注：该题第(2)问利用法向量求二面角F-AE-P的余弦值时，需结合实际判断该二面角为锐角，才能准确表达出二面角的余弦值，但是若结合空间向量的加法、减法及数乘等基本运算寻找垂直于棱的向量，即可灵活、简练、准确地解决问题．

在高考立体几何试题中，有关二面角的计算问题屡屡出现，仔细品味空间角的解法既可从几何角度解决，又可从向量角度解决，问题解决形式多样、灵活多变，对我们理解立体几何问题有很大帮助．大多数二面角的求解能从实际出发，找出从棱出发分别在各自半平面内的垂直于棱的向量，此两向量的夹角即为所求二面角的平面角，用向量的夹角计算出二面角的大小，对问题的解决快捷高效、准确明了，不失为计算二面角大小的一种好方法，值得大家借鉴．