几类特殊的多面体的外接球问题

沈清臣

(湖南省长沙市长郡中学 410000)

空间几何体与球的组合问题是近几年高考中的一个频考点，且考查形式灵活多样；要正确求解此类问题，学生必须通过读、想、画、转、算五个基本环节，找准熟悉的基本几何模型及相应的求解策略.

此类问题可划分为旋转体、多面体的内切、外接球问题；而旋转体的内切、外接球问题，通过轴截面可转化为平面几何问题求解；多面体的内切球问题，利用等体法可直接求解.因此，本文主要介绍多面体(棱柱、棱锥)的外接球问题，在此之前，我们先熟悉空间球体的截面性质及其应用.

一、球的截面性质及其应用

如图1，空间球体有如下性质：

(1)用一个平面去截球，所得截面是一个圆面；

(2)球心与截面圆心的连线与截面垂直，且满足：R2=r2+d2(其中R表示球的半径，r表示截面圆的半径，d表示球心到截面的距离).

图1 图2

上例的求解过程，充分利用球体的截面性质，即球心与截面圆圆心的连线与截面垂直，使得求解难度大大降低.类似的问题还在高考试题中曾多次出现，如2013年新课标Ⅰ(理)第6题、2013年新课标Ⅰ卷(文)第15题、2013年大纲卷(文)第16题、2013年大纲卷(理)第16题等.其实，更多几何体的外接球问题的求解均需要利用到球体的截面性质，在后面的问题中将作介绍.

二、棱柱的外接球问题

此处我们主要介绍直棱柱(侧棱垂直于底面)的外接球问题.因为正方体、长方体的外接球直径即为体对角线，因此遇到直棱柱的外接球问题，首先可以考虑将该直棱柱补体为长方体或正方体；若不能补体，再考虑利用球体的截面性质确定球心位置，再由勾股定理求解.

图3

如图3，设直三棱柱ABC-A1B1C1上、下底面的外接圆圆心分别为H1、H，连接H、H1，则易知HH1的中点O即为该棱柱外接球的球心，AH即为底面外接圆的半径，AO即为球的半径R.利用平面几何知识求出AH，再结合球的截面性质可直接求解.

例2(2013年辽宁文、理第10题)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为( ).

直接考查正方体、长方体的外接球问题，在高考试题中曾多次出现，如2013年天津文第10题、2014年陕西理第5题、2016全国Ⅱ文第4题、2017年天津文、理第10题、2017年全国Ⅱ文第15题等，此类问题难度不大.

补体的策略在后面的锥体的外接球问题中将进一步详细介绍.

三、棱锥的外接球问题

球与锥体的组合问题，在高考真题及各地的模拟试题中出现频率最高，试题形式多样，灵活多变.类似于柱体的求解策略，我们首先考虑补体，再者利用截面性质确定球心，进而可得解.下面将按四种类型进行详细阐述.

1.有条侧棱垂直于底面的棱锥

若棱锥的一条侧棱垂直于底，则补体为直棱柱求解，如图4，三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，则可补体成直棱柱SQP-ABC(如图5)，即转化为直棱柱的外接球问题.

图4 图5

例3(2019年全国Ⅰ理第10题)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( ).

图6 图7

在三棱锥中，若共顶点的三条棱两两垂直，则将棱锥补体为正方体或长方体，可迅速求解.类似问题再如，2012年辽宁文理第16题.

2.对棱相等的锥体

正方体或长方体中，相对面的对角线相等，因此当三棱锥的对棱相等的时候，可以将该三棱锥放于正方体或长方体内，即补体为正方体或长方体.

图8

∴球的半径R满足4R2=a2+b2+c2=7，故表面积为S=4πR2=7π.

本例也可以取AB或CD的中点，作出截面，根据几何体的对称特征，确定球心的位置，利用球的截面性质列出方程组求解.但两种解法对比，可体现上述解法的简便快捷.特别是准确熟悉正四面体与正方体之间的联系，可快速解决正四面体的外接球问题，比如下面的例题.

3.正棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面的中心)

图9

例5(2014年大纲文第10题、理第8题)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ).

图10

上述例题的求解过程，还是利用球体的截面性质.前述例3(2019年全国Ⅰ理第10题)亦可利用上述方法求解.

4.有两个面垂直的棱锥

如图11，已知球O1、O2的两个截面圆所在平面垂直，则四边形OO1HO2为矩形，且△OAO1，△OBO2均为Rt△，AO=BO=R.利用勾股定理结合已知条件列出方程组，即可求解.

图11 图12

设△BCD，△ACD的外接圆圆心分别为E、H，四面体A-BCD的外接球球心为O，则OE⊥平面BCD，OH⊥平面ACD，OEFH为矩形，∴OE=HF，OH=EF.

连接AO、BO，并设外接球半径为R，OE=HF=x，则分别在Rt△BOE，Rt△AOH中可得：

上述例题的求解过程，还是利用球的截面性质(过截面圆圆心且与截面垂直的直线一定过球心)，通过两个截面来确定球心的位置，再利用勾股定理求解.

其实，一般情况下，并要求两个截面圆所在平面垂直.如下例：

例7(2020年广州市一模文 第12题)在三棱锥A-BCD中，△ABD和△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BD-C的平面角为120°，则此三棱锥的外接球的表面为( ).

图13

以上内容是对常见的棱柱、棱锥的几类外接球问题及其求解策略的归纳.因为题型可以灵活多变，问题的求解途径多种多样，以上肯定有阐述不全面不到位的地方，期盼读者去补充完善.