剖析动态下空间角的大小关系

蔡 明

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

浙江高考连续三年在小题中均涉及动态下空间角(线线角、线面角、面面角)的大小关系，蕴含常用方法、特殊方法、特殊结论应用等，可以为不同层次的学生提供不同的方法进行三种角解答.

一、真题呈现

图1

Aγ<α<βB.α<γ<β

C.α<β<γD.β<γ<α

2.【2018浙江卷8】已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则( ).

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

3.【2019浙江卷8】设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则( ).

A.β<γ,α<γB.β<α,β<γ

C.β<α,γ<αD.α<β,γ<β

二、命题立意

作为立体几何中的三种空间角问题立足于教材，命题背景公平，考生容易入手.近三年考题均以棱锥为载体，题型、位置也相对固定，解答的方法也基本相同，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念和性质，以及三种角的计算.通过对三种角的三角函数值求解，结合三角函数的性质进行大小比较，或运用图形特征和变化，也可达到事半功倍的效果.

三、解法探究

2019年的空间角高考题以动态题为背景，考查数学运算、逻辑推理等，对学生数形结合及转化与化归的能力也有一定的要求.本文通过对2019年的高考题展开对解法的探究.

从题型上入手，考生可考虑使用极限法或从图形上进行直观判断三个角的相关关系.

方法1在三棱锥逐渐压扁的过程中不难发现直线PB与平面ABC所成的角β趋于零，可判断出β<α,β<γ，选B.

作为选择题的特点，不妨将三棱锥和动点特殊化，用定量的方法进行计算，并进行大小比较.

方法2不妨取各棱长都相等为2的正四面体V-ABC，且P为VA的中点，根据三种角的定义分别作出相应的角，并通过计算求得：

则sinβ

作为数学解题的严密性，往往需要一一求证，因此用一般的方法加以求解、判断真伪.

图2 图3

方法3取AC的中点为G，O为底面△ABC的中心，连AO，则O为点V在底面ABC内的投影，且点P在底面ABC内投影点D在线段AO上运动，在底面ABC内，过D作DE⊥AC交AC于E，连PE，VG，易证PE∥VG.在面VAC内过P作PF∥AC交VG于F，过D作DH∥AC交BG于H，

则∠BPF=α，∠PBD=β，∠PED=γ.

综上，选B.

在立体几何的三个角中有两个特殊的定理，即最小角定理与最大角定理.最小角定理——一条斜线与一个平面内的直线所成的角的最小角为该直线与此平面所成的角；最大角定理——一个半平面内任意一条直线与另一个半平面所成角的最大角为该二面角的平面角(或其补角).

方法4由最小角定理直接可得：β<α，设V-AB-C的平面角为θ，则θ=γ，根据最大角定理可知：β<θ，则β<γ，故选B.

四、解题思考

常规解法易出现运算错误或运算量较大，甚至也有不能正确作图得出各种角；未能利用特殊图形、特殊位置，寻求简便解法.而运用特殊题型的意识，可运用已有的结论使小题快而准地解答.

近年来，立体几何的动态题时有出现，往往需要学生更多的空间想象能力或一定的动手能力，快速有效地解决问题，因此平时教学中要不断培养学生的观察、发现、动手实践等能力.

在解题中重视线线角、线面角、面面角之间的内在联系，深层次的挖掘空间角的内涵，通过对空间位置关系的转化来培养学生的直观想象、数学运算等素养.在思维上也要下足功夫，要提升分析问题的能力，从而能更快更有效地解决问题.

五、教学反思

总体来看相对比较稳定，以基础知识、基本方法为命题出发点，教学中让学生更多地参与解题的探究过程.教学中的几点反思：

1.重视基础、加强运算

从学生反馈来看，作角容易，计算困难.由于学生平时缺乏对运算的训练，削弱了运算能力，在考试中运算丢三落四，出错率居高不下.在平时教学中应尽量要求学生在平时作业、练习时务必笔算，不要借助计算器等工具，更不要养成眼高手低的习惯，导致在真正考试时手忙脚乱，甚至出现一些低级的运算错误.

2.通性通法指导

加强重点问题的通性通法指导、保证解题的规范与严密.近几年浙江高考总体平稳，应在平时强化问题的常规解法，形成一定的解题模式.学生解题格式不够规范与不到位的失分也颇多，在平时讲解中对易出错的相关环节应强调于学生，使学生减少或避免这些无谓的失分.

总之在教学中应立足课本，抓好基础，重视数学思想方法的运用，强化应用意识的训练，提高分析问题、解决问题的能力.