例谈补形法解立体几何题

刘立强 杜红全

(1.甘肃省康县第一中学 746500;2.甘肃省康县教育局教研室 746500)

补形法就是根据题目的题设的条件和图形，经过观察、分析及联想，运用添加辅助线的方法，将其转化为范围更广的、其特征更明显的、更为熟悉的几何图形，从而沟通条件和结论之间的联系.用补形法做题既可以化难为易，又能培养学生空间想象能力.下面举例说明.

一、补形成长方体

例1 如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求异面直线AC与D1B所成的角的余弦值.

解在长方体的一旁补上一个相同的长方体，如图1，则ABCE，所以四边形ABEC是平行四边形，所以BEAC，所以∠D1BE(或补角)即为异面直线AC与D1B所成的角.在△D1BE中，因为由余弦定理，得

所以异面直线AC与D1B所成的角的余弦值为

二、补形成正方体

例2 如图2，过正方形ABCD的顶点A，作PA⊥平面ABCD，PA=AB，求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小.

解将图2补成如图3所示的正方体ABCD-PQRS，平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小，就等于平面ABQP和平面DCQP所成的二面角的大小.易证四边形CDPQ是矩形，进而可知∠CQB是平面ABQP和平面DCQP所成二面角的平面角，易知∠CQB=45°.所以平面PAB和平面PCD所成的二面角是45°.

三、补形成平行六面体

四、补形成四棱锥

例4三棱锥A-BCD，AB=CD=a，AB与CD成θ角，且AB与CD的距离为b，求三棱锥A-BCD的体积.

解如图5，在平面BCD内作BCDE，则AB与BE所成的角是AB与CD所成的角，所以∠ABE=θ，或∠ABE=π-θ.因为四边形BCDE为平行四边形，所以S△BCD=S△BDE.又CD∥平面ABE，所以CD到平面ABE的距离就是AB与CD的距离，所以VA-BCD=VA-BDE=VD-ABE.又所以