横看成岭侧成峰——从不同的角度截长方体的外接球

苏丽娟

(山东省宁阳县第一中学 271400)

命题设长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球为球O，球O的直径为d，AB=a,AD=b,AA1=c，，则易知a2+b2+c2=d2，即长方体中从一个顶点出发的三条棱的棱长的平方和等于外接球直径的平方.

现在我们从长方体上截取以下几何体，结论依然成立.

图1 图2

截法一用平面BD1截长方体，得到三棱柱ABD-A1B1D1，则三棱柱的六个顶点都在球上，等式a2+b2+c2=d2仍然成立.即三棱柱中从一个顶点出发三条两两垂直的棱的棱长平方和等于外接球直径的平方.

截法二用平面A1BC、平面A1CD截长方体，得到四棱锥A1-ABCD，它的五个顶点均在外接球上，侧棱垂直于底面，底面为长方形，等式a2+b2+c2=d2仍然成立.即四棱锥中从一个顶点出发三条两两垂直的棱的棱长平方和等于外接球直径的平方.

图3 图4

截法三用平面A1BD截长方体，得到三棱锥A1-ABD，它的四个顶点均在球上，等式a2+b2+c2=d2仍然成立.即三棱锥中从一个顶点出发三条两两垂直的棱的棱长平方和等于外接球直径的平方.

结论从球上一点出发的任意三条两两垂直的弦，其平方之和等于球直径的平方.

链接高考半径为2的球面上有ABCD四点，且AB、AC、AD两两垂直，则△ABC、△ACD与△ADB面积之和的最大值为____.

(2019年山东省高考模考16题)

解析设AB=a,AD=b,AA1=c，△ABC、△ACD与△ADB面积之和为S，

当且仅当a=b=c时取“=”，所以面积之和的最大值是8.

数学就在我们身边，只要我们多思考，深挖掘，一定会有意想不到的收获.