填空题中的数形结合技巧

张 忠

(福建省福安市第一中学 355000)

数形结合技巧是解答一些相应的填空题中非常有效的一类方法，破解的基本思维就是利用题目条件，建立对应的图形、图象，借助图形或图象的直观性，利用图形或图象的形象以及数量的关系来合理转化，巧妙破解.数形结合法处理时，直观形象，简捷有效，是破解小题中的一大常见思维，在数学中占有十分重要的地位.

一、函数问题中的数形结合技巧

破解一些函数的填空题时，直接联系函数图象，通过对函数性质的分析，结合相应的图象，对相应的函数或方程问题加以转化，转化为相应的函数图象问题，数形结合，根据题意条件，结合性质简捷分析与求解.

例1已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R且k≠-1，k≠0)的根的个数最少有____个，最多有____个.

分析直接确定相应方程的根的个数无从下手，而通过函数的性质作出相应的函数图象，利用直线的性质，数形结合来处理相应的函数问题.

解析先作出x∈[0，1]时，f(x)=x的函数图象，根据f(x)是以2为周期的偶函数，作出在区间[-1，3]内的图象，而由于直线y=kx+k+1过点(-1，1)的一簇直线，结合y=f(x)的图象(如下图)，易知相应的方程的根的个数最少有1个，图中上面的那条直线与函数图象的交点情况；最多有4个，图中下面的那条直线与函数图象的交点情况，

故分别填答案：1，4.

图1

点评抓住函数的图象与性质是解题的关键，同时要相应直线所表示的是一簇直线，利用一簇直线的变化，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.通过方程中的相关问题，转化为函数来处理，结合方程与函数的对应关系作出相应的图象，达到求解的目的.

二、几何问题中的数形结合技巧

涉及一些三角形、圆等几何问题时，若有效借助数形结合，根据数中思形，以形助数，可以直观有效地加以转化，合理构建关系，正确破解相应问题.

分析根据曲线的实质，把问题转化为直线与双曲线的一部分之间有一个公共点的问题，利用数形结合加以直观化，从而形象直观，简捷处理.

图2

点评抓住题目条件中直线与曲线的本质，回归图象原型，正确画图，准确直观，利用直线与曲线的图象的交点情况加以正确解决，从而合理破解相应的解析几何问题.

三、三角问题中的数形结合技巧

三角函数的图象与性质是三角函数的重要部分，借助三角函数图象与性质来处理问题，模型熟悉，直观快捷.

分析通过条件中辅助角公式的应用，借助正弦型函数的图象与性质加以数形结合，从而直观确定方程的解的和问题.

图3

点评结合三角函数的图象数形结合，正确判断出对应的方程的解的对称情况，从而得以直观确定两个角的和的值，直观形象，快速处理.

四、不等式问题中的数形结合技巧

对于一些含有不等式背景的填空题，通过平面区域等关系知识的转化，运用数形结合，往往能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.

例4设实数x，y满足x2+(y-1)2=1，若对于满足条件的x，y，x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围为____.

分析结合题目条件，把对应不等式中的恒成立问题求解参数的值，转化为直线和圆的位置关系，通过数形结合来处理相应的参数的取值问题.

图4

点评：抓住不等式恒成立与平面区域之间的关系是破解问题的关键所在.合理借助图象直观，数形结合，可以把不等式恒成立问题直观化，形象化，从而实现数形结合的巧妙应用.

当然，数形结合技巧只是解答填空题的一种特殊的策略，有时还要多种方法并重，与其他的破解方法加以组合，共同形成合力，进而快速有效地破解填空题，实现小题不大做，小题巧解，小题妙算，小题直观形象处理.