基于数学史的数学实数教学设计

吴玉婷

摘 要：数学史融入课堂教学已成为一种趋势，它是培养学生数学核心素养的重要途径，通常有附加式、复制式、顺应式和重构式。对于“实数”的教学，以第一次数学危机为故事主线，问题驱动为辅，步步引导学生学习无理数，体会无理数产生的实际需要，以及从中体现的人类理性精神。

关键词：数学史;实数教学;问题驱动

一、引言

数学史是人类文明中的一笔宝贵财富，具有独特的教育功能。法国数学家庞加莱说：“如果我们想要遇见数学的未来，适当的途径就是研究这门科学的历史和现状”。学生是未来世界的创造者，对作为一线的中学数学教师来说，带领他们领略数学史，体会数学家们的精神和数学思想，为他们打开世界的大门，是我们应当要做到。

那如何将数学史融入到课堂教学中？附加式、复制式、顺应式和重构式是几种较为常见的融入方式。基于不同方式的优势以及无理数涉及的数学史，以第一次数学危机故事为基础，让学生了解无理数发现的现实背景，感受数学家顽强拼搏，坚持真理的精神;接着通过几个问题，让学生沿着先人足迹去探索无理数;最后以一段微视频，带领学生感受数系的发展过程。

二、教学设计与实施

（一）无理数的发现背景

教师讲述以下故事：

“万物皆數”是古希腊毕达哥拉斯学派的信仰。他们认为宇宙的一切现象，都可以化为整数或分数的问题;除此之外，就不再有其他的什么东西了。然而这一信仰却随着他的学生希帕索斯计算边长为1 的正方形对角线长度时被打破了。希帕索斯发现它既不是整数又不是分数，这个实际存在的量，就像是一个“外星人”一样闯入了他的视线，于是赶紧把这一发现告诉他的老师毕达哥拉斯。可是毕达哥拉斯也无法解释这是怎么回事，因为他的全部知识理论都是以有理数为基础的，于是他不准希帕索斯再谈论。可是希帕索斯就想着，如果我们不承认这个数，那岂不是等于说正方形的对角线长度不存在吗。后来他为了坚持自己所得到结论，就将生命置之度外，把这件事传扬了出去，最后却被学派的人扔进了海里，失去了生命。那希帕索斯当年到底发现了什么？现在我们就沿着前人的足迹来探索这位神秘的“外星人”。

（二）无理数的发现过程

首先教师出示边长为1的正方形，让学生指出其对角线，然后引出问题1.

问题1： 你能拼出来吗？

将两个边长为1 的正方形进行裁剪，拼成一个大正方形，使得大正方形的边长刚好是小正方形的对角线，你和你的同伴能合作拼出来吗？

学生以小组为单位，用准备好的完全一样的正方形纸片进行剪拼，然后在全班交流讨论。出乎意料，学生给出了以下两种不同拼图。

接着引导学生找出拼图前后所蕴含的等量关系，得到此时的正方形面积为2，然后出示问题2。

问题2：面积为2的正方形边长怎样表示？

解：设正方形的边长为x，依题意可得x2=2

根据平方根的定义及实际意义，得到，这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。

思考：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？

类似地，用来分别表示面积为3和5的正方形的边长。

问题3：是有理数吗？

在七年级的学习中，我们知道整数和分数统称为有理数，且任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数。如：，，，。

但当年希帕索斯做了很多尝试，却发现并不能表示成这种形式，也就是说不是一个有理数。后来人们才意识到它是一个无限不循环小数。对于无理数的经典证明，欧几里得的《几何原本》当中就有，其中我们的课本阅读材料中就给出了 不是有理数的证明过程。

问题4：无限不循环的小数还有哪些？

除了，等，我们在小学阶段就已熟悉的圆周率π也是无限不循环小数。当然，我们也可自己构造，

如：0.303003000300003……（每两个3之间0的个数逐渐多1个）

概括：无限不循环小数叫做无理数。

看来毕达哥拉斯学派虽然“惩罚”了希帕索斯，却“惩罚”不了，反而还出现了更多，如…。毕达哥拉斯学派就这样错过了让学派光荣的机会。

真理终究是不会被淹没的，毕氏学派抹杀了真理才是“无理”。后来人们为了纪念希帕索斯的牺牲，就把这些数取名“无理数”。

总结：常见的一些无理数：

（1）含π的一些数;

（2）含开不尽方的数;

（3）有规律但不循环的小数，如4.04004000400004…

接着教师通过例题及练习加深学生对无理数的理解和辨别。

引入了无理数，数的家族更加壮大了，由此教师引出实数的概念。

（三）数系的扩充

问题5：我们将有理数和无理数统称为实数。仿照有理数的分类，你能给实数分类吗？

引导学生类比有理数的分类，以小组讨论的形式分享自己对实数的分类的看法，体会类比的数学思想，从而得到以下两种不同的分类方法。

在此基础上，设计一个区分实数家族中不同类型的数的练习，加深学生对实数的理解。

最后，为了让学生有一个更加完整的数系发展的脉络，以一段微视频来结束本节课。

三、结束语

本节课以无理数的发现故事为背景，让数学史贯穿整个教学过程，从而说明了引入无理数的必要性，体现了人类文明与实际活动的联系;学生在感受到当每一次面临数的“不够用”时就需要出现新的数的同时，既领略了数的扩展的基本思想，也了解了无理数的发现所经历的坎坷，这一重大发现是人类理性思维和科学精神的伟大胜利;以数学历史故事为主，问题驱动为辅，既顺应了数学课程标准的要求，又让学生处于感兴趣的状态，提高了学生学习的乐趣和积极性。

参考文献

[1]汪晓勤.数学史与数学教育[J].教育研究与评论（中学教育教学），2014

[2]杨馨元.有理数与无理数概念的课程与教学研究.《陕西师范大学》，2015