建构知识体系 落实核心素养

刘兴安

[摘  要] 以二次函数复习教学为例，根据新课程标准的要求，大胆设计教学内容，有效组织实施教学过程，取得了良好的教学预期，有效实现了学生知识体系的构建，以及核心素养的生成.

[关键词] 二次函数;复习课;核心素养

九年级的数学复习课，不能就是讲几道典型例题了事，而应厘清数学对象的基本思路与方法，勾起学生回忆，让学生重构知识体系，通过一系列有序的问题提升学生的思维水平，通过典型例题的解读提高学生分析问题、解决问题的能力;同时，在各个环节不断渗透数学基本思想方法，全面落实核心素养. 笔者在前不久执教了一节数学复习课，课题为“二次函数”，根据新课程标准的要求，大胆设计教学内容，有效组织实施教学过程，赢得了一致好评. 现将本节课作一呈现，以供点评.

学情分析

本节课所授班级的学生数学基础知识扎实，知识接受能力强，普遍成绩比较好.二次函数的相关知识学生在新知学习时已经掌握，能够用二次函数的模型解决具体的实际问题，对于函数的学习积累了一些基本方法与经验，学生有一定的观察能力、总结概括能力，知道数形结合、分类讨论、特殊与一般等数学思想.但学生的思维还是以形象思维为主，处于由形象思维向抽象思维过渡的阶段.

复习目标

（1）掌握二次函数：形式、图像与性质，学会运用不同的方法确定二次函数解析式;理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的相互联系.

（2）亲历二次函数相关知识的梳理过程，进一步熟悉研究函数的基本思路与方法，提升观察图形、分析图形的能力，体会数形结合等数学思想.

（3）体验数学知识之间的相互联系，学会从生活化问题中抽象函数模型，并应用其解决生活问题，使数学抽象与数学建模的核心素养落地生根.

教学呈现

1. 温故知新，知识再构

师：二次函数是我们九年级学习的一类函数，关于二次函数我们学习了哪些内容？这些内容又是如何学习得到的？

生：二次函数我们学习了它的概念、图像与性质;二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的相互关系;二次函数在实际生活中的应用;二次函数图像与几何图形的综合;等等.

生：二次函数的研究是这样的：由实际生活的事例，提取二次函数模型;由二次函数的表达式用描点法画出二次函数的图像;由二次函数的图像来研究二次函数的性质，在研究二次函数的性质时，按从特殊到一般的规律进行研究;然后探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，最后应用二次函数的性质解决实际问题.

师：在学习二次函数的过程中，我们学习了哪些数学思想与方法？

生：待定系数法、配方法、数形结合思想、从特殊到一般的思想、方程思想、函数思想.

师：请同学们用自己的方式表示二次函数所有知识点之间的纵横关系.

经过15分钟的讨论、争论，师生共同总结的内容如图1.

设计意图  在复习前，在学生头脑中二次函数的知识是孤立的、分散的，所以，复习中，教师应引导学生再建知识结构图，理清二次函数相关知识的发生、发展脉络，掌握二次函数的核心知识与研究函数的一般方法，不仅要通过文字语言表述二次函数的相关内容，而且要与图形语言、符合语言相互配合与转化，加深学生对数学语言的理解与掌握，从而提高学生对二次函数性质、相关思想方法的理解与认识.

2. 数形联手，构建联系

师：画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的一般步骤是什么？

生：画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的一般步骤是：（1）先将二次函数的表达式配方成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;（2）以对称轴为中心列表;（3）描点，连线.

师：如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图2所示，观察函数图像，你能从中得到什么信息呢？

生：抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点坐标为（0，-2），根据抛物线的对称性，得到抛物线与x轴的两个交点的坐标为（-1，0），（3，0）.

生：当x<-1或x>3时，y>0;当x=-1或3时，y=0;当-1

生：根据抛物线与坐标轴的三个交点坐标，可求得抛物线的解析式为y=■x2-■x-2，顶点坐标为1，-■.

生：一元二次方程■x2-■x-2=0有两个不相等的实数根，一元二次方程■x2-■x-2=-■有两个相等的实数根.

师：如图3，如果增加直线y=-■x，观察图像，你又能得到什么样的结论？

生：联立得方程组y=■x2-■x-2，y=-■x，解得x■=-2，y■=■;x■=■，y■=-■.说明直线与抛物线的交点坐标为-2，■，■，-■.

师：根据图像信息，可以求出函数解析式、方程的解或方程组的解，可以得到不等式的解集，那么同学们能从中得到不等式组的解集吗？

生：不等式组■x2-■x-2>0，-■x>0 的解集是x<-1;不等式组■x2-■x-2>0，-■x<0 的解集是x>3.

设计意图  函数解析式反映了函数中两个变量之间的数量关系，而函数图像则是用图形反映了两个变量之间的变化趋势，函数解析式精确不直观，函数图像直观不精确，当两者结合时，就能发挥两者的优势，通过观察函数图像，利用函数图像与坐标轴的交点坐标，两个函数图像的交点坐标等特殊点的坐标，学生发现了诸多有用的结论，从而将二次函数、二次方程、二次不等式三个二次有机结合在一起，加强了三者之间的沟通与比较.

3. 应用模型，回归生活

数学知识抽象于生活，同时又服务于生活，通过数学模型建构解决生活中的实际问题，是落实核心素养的有效举措，对促进学生的核心素养生成具有重要作用.

例如，大华超市在销售一种商品时发现，商品每月卖出的数量是销售单价的一次函数，其中某种商品的销售单价与月销售量之间有如下的对应关系. 注：月销售利润=月销售量×（售价-进价）.

（1）①求y关于x的函数表达式;

②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润.

（2）为控制销量，大華超市提高了销售单价，在原来的基础上增加了m元，但是超市又不想让单价超过40元，超市要想得到2600元的利润，应该增加多少元？

设计意图  二次函数的实际应用体现了二次函数模型的应用价值. 学生根据实际问题抽象出二次函数的模型，然后应用二次函数最值的性质确定获得最大利润时的单价，使数学抽象与数学建模的核心素养落地生根，在应用的过程中，提高了学生分析问题解决问题的能力.

教学感悟

梳理旧知时，要注重知识与方法并重，不仅要让学生回忆学过的知识与方法，再建知识结构，而且将知识的发生与发展的历程也作为梳理的重点. 本节课就重新梳理了一下研究函数的一般套路与程序，学生可以使用这种方法研究其他的函数，为进一步学习做好铺垫;重视数学思想方法的渗透，数学思想方法是数学知识的提炼与升华，它对数学知识的生成、研究方法的使用、解答试题的策略都有很强的指导意义，如本节复习课就向学生渗透了数形结合、分类讨论、从特殊到一般、方程思想、函数思想等;重视模型的回归应用，落实核心素养，本节课要求学生根据实际问题抽象出二次函数的模型，然后应用二次函数最值的性质确定获得最大利润时的单价，使数学抽象与数学建模的核心素养落地生根，在应用的过程中，提高了学生处理关键问题的能力.