《线性代数》课程思政的案例及思考

◎王 涛 马新顺 郭 燕 （华北电力大学数理系，河北 保定 071003）

在2016 年12 月召开的全国高校思想政治工作会议上，习近平总书记指出要把思想政治工作贯穿教育教学全过程．党的十九大报告中指出，要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人．2019 年3 月习近平总书记在学校思想政治理论课教师座谈会上又指出，我们党立志于中华民族千秋伟业，必须培养一代又一代拥护中国共产党领导和我国社会主义制度、立志为中国特色社会主义事业奋斗终身的有用人才．高校的思政课程是大学生思想政治教育的主渠道．课程思政是将高校思想政治教育元素融入课程教学的各环节，实现立德树人润物无声，其实质是一种课程观，不是增开一门课，也不是增设一项活动［1］．课程思政要求所有课程的知识体系都体现思政德育元素，所有教学活动都肩负起立德树人的功能，全体教师都承担起立德树人的职责．这样大学生德育教育就可以从以往单纯的思政课教育转变为覆盖各专业、各学科、各课程体系的大思政和大德育，并将“课程育人”提升为“全课程育人”．

新时代要落实党的三全育人任务，高校教师必须研究所授课程的课程思政建设方法．上海高校已经推出了特色的“课程思政”教育，推出了如“大国方略”“中国道路”“中国共产党治国理政理论与实践”等一系列示范课，这些成果转变了专业课教师对思想政治的教育观念．但这些成果主要集中在人文社科类课程范畴内，与全员、全过程、全课程的思政教育目标仍有很大的差距［2］．针对专业课程教学环节如何开展课程思政的问题，华北电力大学线性代数课程团队于2019 年5 月启动了线性代数课程思政的教研课题．课程团队将教学目标和育人目标相统一，通过课程思政激发学生的学习兴趣，提高教学质量，形成协同育人效应．

一、课程特点及现状

线性代数是工科各专业重要的工程数学课程，它既是各专业后继专业课程学习的基础，又是培养学生学习方法和提高学生综合创新能力的重要途径．该课程的教学质量是事关整个本科人才培养质量的大问题，因此该课程的课程思政建设既要关注思想教育，还要强调传授专业知识．

线性代数主要讲授行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵等内容．课程内容抽象、概念多、联系紧密及转换灵活．在以往的教学中存在重理论轻工程实践的问题．在教学内容设计上过于重视理论和手工计算，轻视工程理论背景及其应用．我校一直采用国内高校普遍采用的经典教材，该教材具有表达精练、阐述严密的特点．但该教材过分注重数学本身的逻辑严密性，忽视了相关知识的历史沿革、文化背景及相关工程应用［3］，导致许多学生不了解线性代数的真实用途．线性代数的授课对象是理工类大学生，在一个高度信息化的时代，大学生学习渠道多样化，学生随时可以通过互联网了解、学习教师所传授的知识．如果在课堂教学中，教师刻意地穿插思想教育内容，反而会使学生产生抵触心理，效果往往会适得其反［4］．在分析上述教学与学生现状的基础上，课程团队认为要做好线性代数的课程思政工作就必须协调好讲授专业知识和思想教育二者的关系，尤其是要坚持润物无声地开展课堂思政．教师需要在讲解知识点时，选取合适的案例，通过案例鼓舞学生的学习兴趣，同时传递思政育人元素，以达到利用课堂思政提高教学质量的目的．

二、线性代数课程思政的案例

合适的教学案例既能激发学生的学习兴趣，又能发挥思想政治教育效果．要实现这个目标，教师则要深入挖掘课程思政案例，这里介绍三个案例．

1．行列式定义式案例

在经典教材中，n 阶行列式Dn可以定义为：

其中，τ（j1j2…jn）表示列标排列的逆序数．n 阶行列式是由n！ 项组成的．因此，这个定义式的实际计算复杂度是非常高的．教师在讲解这部分内容时，除了讲清楚该式的含义，还必须强调这个定义式其实只是具有理论价值，实际计算中很少使用，并可以通过介绍我国的超级计算机来说明．

超级计算机的研制与国家实力有着密切的联系，在2018 年最新的超算排名中，虽然我国失去了最强大超级计算机的位置，但是在500 强榜单中中国依然占据了数量优势，以206 台排名世界第一．而美国以124 台排名第二，第三、四、五位分别是日本、德国、法国．中、美、日、德、法这五个国家正好是世界上GDP 排名前五的国家．我国的“神威·太湖之光”超级计算机目前世界排名第三，“神威·太湖之光”是之前四届超算500 强排名的冠军，它全部使用中国自主知识产权的芯片，共有处理器10649600 个，峰值速度为125436 TFlop／s，TFlop／s 表示每秒1 千万亿（1015）次的浮点运算．按照（1）式计算，29 阶的行列式一共有29！ 个乘积项，每个乘积项还需计算28 次乘法．因此，若使用神威“太湖之光”计算29 阶的行列式，则其花费的时间t 可以估算为：

这个案例不仅能证明按照定义式计算行列式的局限性，启发学生的学习兴趣，引出后续的行列式计算方法，还能在课堂上普及我国超算的基本情况，弘扬科学精神和爱国主义情怀．

2．线性方程组的消元法案例

消元法作为解线性方程组的重要方法，最早出现在我国的《九章算术》中［5］．在该书的第八章“方程术”描述了如下问题：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？

这里禾、秉、实分别为庄稼、捆、粮食之意．用现代符号表达，该问题相当于解如下的三元一次线性方程组：

其中，x1，x2，x3分别表示上、中、下禾各一秉之实．在《九章算术》中，用算筹（一种带有颜色的竹签）将各个系数及常数在一个“计算板”上排列成一个长方阵，按照“遍乘直除”算法进行计算．后来，这种方法传到世界各地，算筹被数字取代，而“计算板”也被笔和纸取代．在欧洲，这个方法被称为高斯消元法，以纪念伟大的数学家高斯．

高斯消元法是西方国家对行列式或方程组的上三角形化简的“尊称”．事实上，这种方法最早出现在公元一世纪前后我国的《九章算术》一书中，后来经日本传入欧洲．由于并不具体知道由哪个人发明，所以西方人将这一方法取名为“高斯消元”，因为他们认为只有当时最聪明的数学家高斯才能发明出这样神奇的方法．事实上，在高斯出生的德国，很多线性代数教科书中把这一方法称为“Traditional method of China”．

消元法案例不仅能介绍清楚消元法的核心思想，有利于学生掌握，还能在课堂上普及中华文明的大智慧，弘扬民族自豪感．

3．向量空间的概念案例

2013 年12 月14 日，中国的嫦娥三号探测器成功落月，中国成为世界上第三个有能力独立自主实施月球软着陆的国家．空间飞行器是一个不稳定的中机体，在大气层时需要不断地使用计算机进行监控．嫦娥三号安装有大推力主减速发动机1 台，位于正下方；小型姿态调整发动机16 台，分布在相对前、后左右四个侧面，用以控制飞行器的俯仰角以及各种姿态调整．为了跟踪和控制嫦娥三号安全着陆，需要系统不断地向所有推进器发送命令．从数学的角度看，工程学中控制系统输入和输出的信号都是函数，如图1［6］所示．这些函数的加法和数乘是控制系统的基本运算．系统工程学的数学基础依赖于函数的向量空间，因此把n 维空间中向量的理论推广到包括这些函数的范围，这对于控制系统的研究和设计是不可或缺的．

在给出向量空间的基本概念后，教师可以举例说明双向无穷序列空间，解释说明一个控制信号在离散时间上被测量时，测量信号总体就可以构成双向无穷序列空间．嫦娥三号探测器的控制系统就是使用了各类传感器采集的离散数字信号，最终实现自主导航控制的．

向量空间的概念案例不仅可以让学生了解我国科技发展现状，启迪学生追求科学的精神，还能增强大学生的民族自豪感，培养学生爱国主义精神．

三、线性代数课程思政实践的思考

我校线性代数课程团队探索了专业理论课开展课程思政新的教学实践．线性代数是工科专业的公共基础数学课程，开展课程思政实践的受益学生广泛．通过课程思政深入挖掘了课程内容的育人元素，不仅改进了教学设计、弥补了理论教学与工程实践的脱节，同时提高了学生的学习兴趣、推动了教学质量的提高．案例设计是课程思政的关键，案例设计既要结合生活实际或工程实践，又要让课堂教学传播的正能量自然流露，让学生潜移默化地吸收．虽然团队教师已经总结了一些教学案例，但仍远远不够．课程思政元素的挖掘，是一个长期性、系统性、基础性的工程，需要长期坚持、群策群力．课程思政是新时代高校教师的历史使命，只有任课教师形成思想共识、不断思考，才能让课程思政建设真正承担起新时代立德树人的根本任务．