一类有理函数不定积分的求解

◎徐英杰 范海宁 （中国矿业大学数学学院，江苏 徐州 221116）

不定积分是微积分中的重要内容，有理函数不定积分是其中的一个难点．对于分母次数较高的有理函数不定积分，利用传统的待定系数法求解时需要确定多个系数的值，因而计算量较大．本文将针对分母最高次项为4 次的一类有理函数不定积分，通过配项与凑微分［1］的方法来简化运算．这种方法的主要思想是通过配凑出合理的微分，将其转化为形式简单的、熟悉的不定积分来计算，从而减少计算量．

在下文中，笔者将以华东师范大学数学系编写的《数学分析上册（第四版）》中的一道题目为例进行分析，并针对这类问题的一般形式给出通解公式．

一、两种求解方法的对比及推广

问题一［2］求解不定积分

分析1首先将分母因式分解为然后利用待定系数法，确定系数后进行求解．

可以看出，利用常规的待定系数法需要确定4 个系数的值，计算量较大．下面我们利用配项与凑微分的方法来简化这个不定积分的运算．

分析2首先来看两个不定积分．

问题二求解不定积分

分析将分子、分母同时除以x2，可以配凑出这样一组微分，然后求解，即

我们还可以进一步将分母推广为更复杂的形式a4x4＋b4x2＋c4，如下．

问题三求解不定积分

分 析将 分 子、 分 母 同 时 除 以x2， 可 以 配 凑 出这样一组微分，然后求解，即

我们进一步将分子推广为更复杂的形式d4x2＋e4，如下．

问题四求解不定积分

分析我们仍然可以将分子、分母同时除以x2，然后配凑出这样一组微分，不过此题更为复杂，需要先利用待定系数法确定两个系数再求解，即

二、结 论

对于有理函数不定积分的求解，传统的方法是待定系数法，但分母次数较高时采用此方法计算量较大．本文通过分析华东师范大学数学系编写的《数学分析上册（第四版）》中的一道题目，对待定系数法进行了改进，并将其推广，给出了该类有理函数不定积分更一般形式的通解公式．由计算过程可以看到，综合运用配项与凑微分的方法，即把分子配凑成分母因子的组合，能够将复杂的不定积分转化为我们熟悉的、较为简单的不定积分，从而降低计算的难度．从计算过程来看，配凑出一个合适的微分对计算的简化有重要作用．