基于APOS 理论的指数函数概念教学设计

◎陈 丽 （贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550001）

一、APOS 理论的概念

APOS 理论是由美国的杜宾斯等人在数学教育与研究实践中发展起来的．杜宾斯等人认为学生学习数学概念时，需要经历四个心理建构过程，依次是操作、过程、对象、概型．［1］APOS 理论的四个阶段，每一个阶段对学生概念的获得都具有不同的意义，因此在运用APOS 理论时不可逾越．APOS 理论最初仅用于大学数学教育，现在在小学和中学的数学概念教学中也得到了越来越广泛的应用．

二、基于APOS 理论的指数函数的概念教学

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中对指数函数的概念的学习要求是“通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念［2］”．学生在学习指数函数的概念时常出现对指数函数的定义、符号、底数的限制条件不理解，以及对学习目标不明确，从而会在心理上对指数函数的学习产生抵触和厌学等情况．［3］因此，在数学课堂教学中，教师要注意学生的现有知识经验和认知发展方向，结合实际生活的需要讲解指数函数的知识．在教学当中，教师应以学生为主体，让学生主动探究、理解和掌握指数函数的概念．结合杜宾斯等人提出的APOS 理论，在指数函数及其性质一节中，“操作”阶段（Action）是学生通过操作来感知事物，理解所学习内容的意义．学生通过操作，对指数函数会有一定的感性认识，理解指数函数的意义．在这一阶段，教师要向学生提供符合指数函数的概念学习的材料或者情景动画，设计适合学生探究指数函数概念的数学活动，为归纳、概括指数函数的概念提供固着点．“过程”阶段（Process）是学生把“操作”阶段中的操作感受进一步内化压缩的过程．学生通过对数学活动的思考、分析、比较、抽象，得到指数函数的概念．在这一阶段，教师要适当地利用问题驱动启发学生思考，对指数函数的概念进行辨析，并用严谨和符合逻辑的数学语言准确地表述出指数函数的定义、符号及指数函数的定义域．［4］“对象”阶段（Object）是对“过程”阶段的进一步提升，让指数函数成为一个具体的对象．在这一阶段，教师应谨慎引导学生在动手操作、观察和分析、总结中得到指数函数的性质，让学生对指数函数的理解逐渐上升到“概型”阶段．到了“概型”阶段（Scheme），在学生的头脑中指数函数的概念和性质将以一种综合的图式呈现，并在学生的数学知识体系中占据独特的位置．［5］在这一阶段，学生对指数函数的概念有较为完整的认知结构或认知框架．在“概型”阶段，教师可利用例题，让学生通过练习丰富对指数函数概念的理解，帮助学生形成指数函数概念的图式．

APOS 理论反映的是由特殊的实例或者情境到一般的数学概念的过程．APOS 理论下的数学概念的教学是让学生勇于探索未知的领域，让学生在思考、探究、合作的模式中经历知识的发生过程，最终得到数学概念．它体现了课程改革中对学生学习的精神要求．APOS 理论的提出在一定程度上使传统的“填鸭式”教学的现状有所改变．

三、指数函数及其性质的相关分析

1．教学内容

本节课的教学内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学必修1．

2．教材分析

指数函数是基本初等函数之一．指数函数的概念与性质的研究是对函数的概念与性质的相关内容的深化，也为学生接下来学习指数函数的性质以及对数函数、幂函数、三角函数等内容提供了知识基础．指数函数与现实生活息息相关，但是在教材中对指数函数定义的介绍相对简单．

3．学情分析

知识储备方面：学生在学习指数函数之前，在初中阶段对函数有了一定的认识，有一次函数、二次函数学习的直接经验和在必修1 中对函数的概念和性质的深入学习，已经经历了高中关于函数概念的研究流程，熟悉了研究框架，对指数取值范围的扩充也有一定的了解；能力方面：学生具有一定的合作交流、活动探究、反思质疑的能力，有一定的猜想、推理和归纳的能力．

4．教学目标

（1）理解指数函数的概念与意义，会画指数函数的图像，掌握指数函数的性质并会运用．

（2）了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活的联系．

（3）在学习指数函数及其性质的过程中体会研究函数的一般流程和方法．

5．教学重难点

重点：掌握指数函数的性质；

难点：推导指数函数的性质．

四、基于APOS 理论的指数函数概念教学设计

1．“操作”阶段（Action）——创设情境，探索概念

引例1：通过动画演示引入，《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”［6］

问题1：

（1）在第x 次取后，写出木棍的剩留量y 与x 的关系式．

（2）这个变化过程中，如何用x 来表示y 呢？

【设计意图】通过动画演示引入，帮助学生从现实生活中分析得到指数函数模型．学生由每一次取了之后剩下的量和次数的关系归纳总结，不难发现第x 次取时剩下的量y与x 的关系式为学生在操作中切实体会变量之间的关系，建立对指数函数的概念的理解．

引例2：一位富翁对他的儿子说：“我会直接给你10 万元，但你须要承担一定的任务：从今天开始，第一天给我2元，第二天给我4 元，第三天给我8 元，第四天给我16 元．依此类推，假设我想签订一个15 天的合同，你同意吗？ 假设我要和你签订一个30 天的合同，你签吗？ 在第x 天你应给我多少元钱？”

【设计意图】学生在引例中发现问题，思考给出的钱y和时间x 的数量关系，通过归纳得出第x 天需要给出的钱y与x 的关系式为y＝2x（x∈N）．在讨论交流、归纳、抽象共性的情况下，学生将经历从简单到复杂、从特殊到一般的过程，体会指数函数是现实生活中的一种有效的数学模型．

2．“过程”阶段（Process）——梳理特征，概括概念

问题2：在上面的两个引例中得到了两个关系式y ＝2x它们是不是函数表达式？

【设计意图】教师引导学生观察表达式，通过分析引例1 中得到的表达式和引例2 中得到的表达式y＝2x（x∈N），结合函数的定义思考，学生很容易得出结论．

问题3：这两个函数表达式有什么共同特征？

【设计意图】学生通过观察分析这两个函数表达式的特点，从整体上体验指数函数的一般特征．

学生活动：这个函数是我们学习过的函数吗？

【设计意图】学生不断比较这两个函数表达式与已经学习过的函数表达式，很容易得出：这两个函数表达式与已经学习过的函数表达式不同．［7］

学生活动：写出这个新函数的一般表达式．

问题4：请同学们发挥自己的想象力，联系这个新函数的特征，给它取一个合适的名字．

【设计意图】让学生发挥想象力，联系已经学习过的函数的名称，经历给函数取名的过程，降低学生对新知识的陌生程度，从而轻松得到指数函数的定义．

问题5：指数函数y＝ax中的底数a 取任何数都可以吗？

教师引导学生对底数a 的讨论分为三个部分进行：

（1）若a＜0 会有什么问题？

（2）若a＝0 会有什么问题？

（3）若a＝1 又会怎么样？

学生活动：小组讨论．

（2）若a＝0，x＞0 时，ax＝0；x≤0 时，ax无意义．

（3）若a＝1，ax＝1x＝1 是常量，没有研究的必要．

【设计意图】教师引导学生取特殊值讨论每种情况，体会为什么要规定a＞0 且a≠1，理解底数的取值属于特殊的规定，深刻理解指数函数的定义，并为接下来学习指数函数的性质打下基础．

问题6：指数函数y＝ax中，x∈R 都有意义吗？

指数函数的定义：一般地，函数y ＝ax（a＞0 且a≠1）叫作指数函数，定义域为R．

【设计意图】学生在交流讨论归纳出共同特征的基础上，深入分析指数函数的概念中的底数a，发现当x 取正数、负数或0 时都有对应的函数值，总结概括出指数函数的具体概念，将指数函数看成一个独立的整体进行研究．

3． “对象”阶段（Object）——辨析特征，巩固概念

例1结合指数函数的定义，判断下列函数是否为指数函数．

【设计意图】通过练习，运用指数函数的定义解决问题，区别指数函数和二次函数的不同，深入理解指数函数的概念．［8］

学生活动：指数函数的性质探究．

【设计意图】让学生通过作图探究指数函数的性质，巩固画函数图像的步骤及方法，引导学生从具体的函数图像出发，观察归纳对底数的分类讨论的思维方式，让学生从整体上强化对指数函数的图像的认识．

4．“概型”阶段（Scheme）——练习巩固，形成结构

例2已知指数函数f（x）＝ax（a＞0 且a≠1）的图像经过点（3，π），求f（0）， f（1）， f（-3）的值．

例3比较下列各题中的两个值的大小．

（1）1．72．5，1．73（2）0．8-0．1，0．8-0．2

（3）1．73，0．93

【设计意图】引导学生在解决问题的过程中逐渐完善指数函数的概念、图像、性质的综合图式．

五、教学建议

在本节课的设计中，通过两个引例，让学生经历“操作”阶段，理解指数函数的意义；再经历“过程”阶段，将第一阶段的操作过程综合，得到对指数函数的概念的初步认识，辨析底数a 的取值，得到指数函数的概念；在“对象”阶段，将指数函数看成一个独立的对象，探究指数函数的性质；最后在“概型”阶段，通过适当的练习，引导学生将指数函数模型运用到实际生活中．

APOS 理论的四个阶段是循序渐进的过程，每个阶段对学生概念的获得都具有不同的意义．数学知识体系是学生在学习过程中逐渐建构起来的，因此教师在教学中要联系学生已有的知识，设计适当的教学过程，引导学生主动建构数学概念．