“正弦定理”新授课的教学设计

吴荣燕

（广东省广州市美术中学，510060）

本文对“正弦定理”新授课进行创新性教学设计如下.

一、教学过程设计

在课前编写好“导学稿”，在课堂上发给学生，要求学生课堂上在老师的组织、引导下独立完成填空.整节课采用“问题带动知识点”的教学策略，即学生在完成填空的过程中逐渐探究、得出新知并巩固新知.

第一部分：知识回顾

操作说明：让学生在1分钟内独立完成填空.本部分通过三个问题，即问题1，2，3及其思考题，引发学生对基础知识的回顾，主要考查“圆的直径所对的圆周角是直角”，“同弧或等弧所对的圆周角相等”等初中数学知识.侧重在学生的已有认知的基础上逐步引出新知识.教师通过个别提问了解学生的解答情况.

假设在 △ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c.请完成以下问题.

图1

思考1 由问题1可得2R=a／（ ）=b／（ ）=c／（ ）.

图2

图3

思考2 由问题2可得2R=a／（_______）=b／（_______）=c／（_______）.

思考3 由问题3可得2R=a／（_______ ）=b／（_______）=c／（_______）.

总结与反思 上述问题的解答为什么都要作直径为辅助线？如此做法的作用是什么？

设计意图 突出“作直径为辅助线”，是为了突出“直径”在上述问题探究中的重要性，也是为了让学生学习、理解和感悟“化归与转化”的数学思想：把锐角三角形和钝角三角形转化为直角三角形.

归纳 从问题1—3，我们可以得出一个结论：在△ABC中，若∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，则有______________.这就是著名的正弦定理.上述问题1，2，3的探究过程运用了我们平常很熟悉的_______数学思想.

设计意图 在上述分别对直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行探究的基础上，得出它们具有的共同性质：正弦定理.这符合学生认识、学习和探究数学问题的认知特点，也体现了从易到难的问题探究的层次性，运用了转化与化归的数学思想.教师鼓励学生大胆“说”出自己的解答［1］.

第二部分：新知学习

操作说明：第二部分是学生在完成第一部分的学习任务并经过老师的讲评之后开始的，突出“正弦定理”的内容及其简单应用.学生先独立完成填空，然后老师及时讲评，鼓励学生大胆“说过程”，“说异见”，“说体会”［2］.老师把“新知运用”和“巩固练习”部分给学生作课堂限时训练.学生完成之后，老师利用实物投影仪投影学生的解答过程并进行讲评.

1.知识要点

正弦定理：在 △ABC中，若R为 △ABC外接圆的半径，则______.

问题4 由正弦定理可以通过变换得到哪些等式？

设计意图 让学生动手写出尽可能多的正弦定理的变形结果，促进学生对正弦定理数学表达式的认知。

问题5 在△ABC中，如果我们要求这个三角形外接圆的半径R，那么只需知道______，或______，或______.

问题6 你觉得正弦定理漂亮吗？式子有什么结构特点呢？

设计意图 从数学美的角度启发学生对正弦定理数学表达式的认知，促进学生进一步感受正弦定理的结构美，帮助学生强化对正弦定理的表达式的记忆.

2.新知运用

例1 已知在 △ABC中，a，b，c分别为角A，角B，角C的对边，A=60°，B=75°，c=6，求△ABC外接圆的半径R及a.

设计意图 已知三角形的两个内角大小和其中一条边的长度，直接代入正弦定理的数学表达式就可以求出其外接圆的半径和未知的边长.这属于正弦定理的正向简单应用，难度不大.

例2 （1）已知在 △ABC中，a，b，c分别为角A，角B，角C的对边，45°，求∠B与△ABC的外接圆半径R.

（2）已知在 △ABC中，a，b，c分别为角A，角B，角C的对边，，求∠B及c.

设计意图 例2是已知三角形的两条边的长度和一个内角的大小，直接代入正弦定理的数学表达式就可以求出其外接圆的半径、未知的内角大小和边长.这是对正弦定理的正向简单应用，难度不大.

3.知识总结

正弦定理的基本作用为：

（1）已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a= ______；

（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA=______.

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素，求其它元素的过程叫作解三角形.

设计意图 在两道例题解答和讲评的基础上，总结正弦定理的应用，强调正弦定理的工具性作用.在此基础上给出“解三角形”的概念，显得比较自然.

4.巩固练习

（1）已知在 △ABC中，a，b，c分别为角A，角B，角C的对边，∠A=60°，a=，求

设计意图 “巩固练习”侧重考查正弦定理的变形及其应用，突出“化归与转化”数学思想的考查；故意设计三角形的内角为“特殊角”，淡化计算器的使用，突出本节课的教学重点.

第三部分：课堂学习小结

（1）正弦定理：在 △ABC中，R为 △ABC外接圆的半径，则_______ .

（2）正弦定理的应用范围：

① 已知两角和任一边，求其它两边及一角；

② 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角.

（3）解三角形的定义.

（4）主要的数学思想方法有：

设计意图 课堂学习小结是在老师的引导下完成，鼓励学生自主总结并口头表达出来.以此培养学生良好的数学学习习惯，强化学生对本节课的基础知识、基本方法与技能以及基本数学思想方法的回顾和提炼.

二、分析与讨论

教材的使用需服务于教学目标的达成.教师是教材的使用者和建设者.如何更好地使用教材，有效促进教学目标的达成，考验教师的教学智慧.

1.创造性地设计问题情境，促进学生更好地学习新知

上述教学设计充分考虑了学生的数学现实（已有知识基础、认知策略），进而创设情境，为学生架设了已有数学现实与新知学习之间的桥梁.在初中阶段学习过圆的相关知识，对圆心角、圆周角等相关知识比较熟悉，这就是学生的已有数学现实.在此“现实”的基础上，设计了圆内接三角形这个情境，具有很强的目的性，就是为了推导得出正弦定理.这情境紧密联系初中数学知识，以问题的形式给出，这些问题之间具有一定的层次性，对学生学习正弦定理具有较强的暗示功能和启发功能.

2.创造性地设计教学内容，促进教学目标的有效达成

上述教学设计里的“例题”和“巩固练习”中的角都是特殊角，没有复杂的运算技巧和过程.其中，既有正弦定理的正向应用，也有适当变形的考查，让学生能较快找到解题思路，运用正弦定理本身或者其变形解决问题.相对而言，本设计与学生的已有知识联系很紧密、较自然，有助于学生理解正弦定理的本质.其例题和练习题的设计更有助于教学目标的达成；有助于学生识记正弦定理及其结构；有助于学生理解并运用正弦定理及其有关变形.同时，强化了化归与转化数学思想的应用，有效促进教学目标的达成.

3.创造性地设计教学方式，促进学生数学核心素养的发展

上述教学设计采用的是探究式教学方式.让学生借助“导学案”进行探究，在独立完成填空的过程中得出了正弦定理，然后经过老师组织的学习成果展示、老师的及时讲评和当场纠错，加深了对新知的认识、理解；接着运用正弦定理及其变形独立完成练习题；最后是老师引导学生进行课堂小结.如此的教学方式完全“以学生为主体，教师为主导”，“精讲多练”，用“导学案”来启发学生的思考，通过学习成果展示促进师生、生生之间的交流，让学生在掌握正弦定理本身的同时，深刻体会到正弦定理的本质——圆的内接三角形的边长、内角与圆的半径之间的关系，在完成一系列问题解决的过程中积累了数学思维和问题解决的实践经验.

4.创造性地设计教学过程，促进学生数学思维能力的提高

5.搭建交流平台，增强学生数学学习的成功感

上述教学设计搭建了一系列问题解决平台，设计了多道变式练习题.在学生的训练完成之后，老师及时投影个别学生的解答，让学生“说”自己的数学思考过程与结果［3］.老师及时评价学生的数学学习表现，鼓励学生之间“说异见”，开展数学交流活动.这充满了“师生互动”和“生生互动”，创设了激发学生的成就动机的机会，搭建了师生交流、生生交流的平台，能较好地促进学生形成自我概念，增强学生的数学学习成功感.

6.通过创造性地设计、使用教材，促进教师的专业化发展

数学教学服务的对象是学生，开展创新性教学设计是为了使学生更好地学习数学.上述教学设计的问题情境、教学内容、教学方法、教学评价等和A版教材呈现方式存在较大差异.对正弦定理的新授课进行创新性设计，有助于教师更好地理解正弦定理的相关知识，准确地确定和把握这节课的教学重点和难点.老师应能将正弦定理“深入浅出”地处理，传授给学生.能否“深入”，取决于老师本身的数学知识水平、对正弦定理的理解；当然，能否“浅出”，取决于老师的数学教学水平.这就需老师较好地理解教学和理解学生.老师应努力组织和促进学生进行理解性学习，关键就是建构知识之间的联系，理解的程度是由联系的数目和强度来确定的［4］.这需老师科学地创设合适的问题情境、运用适当的教学方法和评价策略.因此，创造性地设计、使用教材，有助于促进教师的专业化发展.