“六何”认知链理论指导下的教学设计＊——以“等差数列前n项和公式”为例

张丽杰 周 莹

（广西师范大学数学与统计学院，541004）

数列在生产实际中的应用范围很广，是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，是学生进一步学习数学的必备的基础知识，同时对于学生来说也是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要.

所谓“六何”，可看成由对知识来龙去脉及总结反思的发问而构成的认知链，即“从何→是何→与何→如何→变何→有何”认识链.［1］值得注意的是，“六何”认知链并不是简单的单向进行，而是多种开端，多种组织方式，可以根据实际教学情况，灵活运用.本节教学将选取“从何、是何、如何、变何、有何”展开设计.

一、创设情境，感悟“从何”

如图1，一个堆放铅笔的V形三脚架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支铅笔，最上面一层放100支.问这个三脚架一共有多少支铅笔？

图1

图2

由图1，有S100=1+2+…+100， ①

由图2，有S100=100+99+…1. ②

设计意图 从学生生活引入，激发学生学习数学的积极性，为后面的公式推导打下基础.

二、探讨发现，体验“是何”

1.类比归纳

师：大家观察一下③式，能否根据它得出等差数列前n项和公式呢？

设计意图 引导学生通过特殊推出一般公式，培养学生观察、总结归纳能力.

2.精益求精

师：由特殊类比出一般的公式是否缺乏严谨性呢？下面我们一起来证明④式的合理性.

已知等差数列｛an｝.

设计意图 让学生体会数学的严谨性，提高学生逻辑推理能力.

3.等差数列前n项和公式一

其中，a1为等差数列｛an｝的首项，an为尾项，n为项数.

三、数学应用，把握“如何”

例1 计算下列等差数列的和：

解析 （1）a1=101，an=60，n=42；

（2）a1=2，an=2n+4，n=n+2.

代入等差数列前n项和公式一即可.

说明 通过上述两个例题我们发现，要想正确运用等差数列前n项和公式一，就必须找对项数n.

设计意图 对本知识点进行巩固练习，加深对等差数列前n项和公式的理解.

四、变换条件，探究“变何”

1.渐入佳境

等差数列2，4，6，… 中前多少项的和是9 900？

说明 此时，我们会发现直接应用等差数列前n项和公式已经不能够计算出结果，那么就应该对等差数列前n项和公式进行变形.经过观察，我们发现，只能对an进行变形，使an=a1+nd，则等差数列前n项和公式可变形为

即为等差数列前n项和公式的变形公式.

对于上述问题有

解之得n=99.

2.等差数列前n项和公式二

其中，a1为等差数列｛an｝的首项，d为公差，n为项数.

设计意图 通过实例，让学生明白，当已知公式不适用时，可以将公式变形来解决问题.

3.总结方法

在本节课开始时，计算三脚架所含铅笔个数过程中，我们将①式反序相加得到 ②式，再将①②相加，得到最终结果.在推导等差数列前n项和过程中，可以依旧采取相同的方法得到了最终结果.故把这种方法叫做倒序相加法.

五、反思提升，归纳“有何”

今天你学会了什么？你有什么收获与体会？

两个公式：

一种方法：倒序相加法.

马克思主义哲学认为任何事物都是普遍联系的，反对孤立片面的观点.“六何”认知链将课堂教学完整地呈现出来，以整体视角把握知识结构，通过问题驱动，调动学生兴趣，将数学课堂变成充满思考的探究“实验室”，正蕴含了这样的哲学思想.整个过程，通过提出分析解决问题，让学生经历知识“从何”、“是何”、“如何”、“变何”、“有何”的认知过程，加强学生对数学概念本质的理解，依托六个任务，各环节之间环环相扣，步骤清晰，层次分明.

等差数列前n项和公式是高中阶段一个重要的内容，学生也是第一次接触，所以应该充分考虑到学生的接受能力及他们的认知水平.本节课从生动有趣的实际问题引入，通过对一般规律的探索，逐步学会从实际问题中推导出等差数列前n项和公式.再通过例题，进一步理解和体会等差数列前n项和公式和倒序相加法的内涵.通过上述过程，逐步形成用数学观点解决实际问题的能力，从而培养学生“逻辑推理、数学运算”等核心素养.