等差数列前n 项和的性质

2015-02-18 01:29赵伟波
新课程(下) 2015年7期
关键词:项数升学考试奇数

赵伟波

(山西省芮城县第一职业学校)

等差数列这节内容是对口升学考试的一个重点。若能巧用性质解决问题,便可提高解题的速度和准确度。下面,我着重介绍等差数列前n 项和的几个性质:

一、根据数列的前n 项和公式,求通项公式

例:已知数列{an}前n 项和Sn=3n2+n,求an。

解:当n=1 时,a1=S1=3+1=4

当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2+n-[3(n-1)2+(n-1)]=6n-2

∵n=1 时,a1=6×1-2=4 也适合此式

∴an=6n-2

点评:已知Sn,求an的过程:当n=1 时,a1=S1,当n≥2 时,an=Sn-Sn-1

二、已知等差数列前n 项和Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k为等差数列

例:已知等差数列前n 项和Sn,且S10=70,S20=60,求S30

解:∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列

∴2(S20-S10)=S10+(S30-S20)

2×(60-70)=70+S30-60

∴S30=-30

三、若{an}{bn}为等差数列,其前n 项和分别为Sn,Tn,则

例1.已知等差数列{an}{bn} 的前n 项和为Sn,Tn,且

②由等差数列性质解题:若m、n、p、q∈N*,m+n=p+q,则am+an=ap+aq

四、当项数为偶数项2n 项时:S偶-S奇=nd,

当项数为奇数项2n+1 时:S奇-S偶=an+1=a中,

例2.已知某等差数列共有2n+1 项,S奇=132,S偶=120,则n=_______

例3.已知某等差数列共有10 项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,求d。

解:∵项数为2n=10 即n=5,S偶-S奇=nd

∴30-15=5d,d=3

例4.在等差数列{an}中,d=,S100=45,则a1+a3+……a99=?

解:由题知,此数列共有2n=100 项,n=50

五、等差数列前n 项和的最值问题

例5.在数列{53-3n}中,前n 项和Sn取得最大值的项数n 为第几项?

例6.已知数列{an}中,a1=-11,an+1=an+2,求

(1)数列{an}前n 项和Sn

(2)Sn的最小值

解:(1)∵an+1=an+2∴an+1-an=2 ∴{an}是公差为2 的等差数列

(2)∵Sn=n2-12n=(n-6)2=36

∴当n=6 时,Sn的最小值是-36.

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